四川省渠县中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

**基本信息** 2026年八年级数学期末卷（A、B卷，150分）以“赵爽弦图”“国家宝藏”等文化素材和端午节粽子进价等生活情境为载体，覆盖几何变换、代数运算等核心知识，突出抽象能力、推理意识与应用意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|中心对称图形、不等式性质、分式值为零|结合文化标志（第1题）考查几何直观| |填空题|10/40|因式分解、旋转性质、分式方程无解|第11题旋转求角度，培养空间观念| |解答题|8/78|图形变换（第16题）、实际应用（第17题）、配方法（第24题）|第17题粽子进价问题体现应用意识；第25题溶液浓度证明发展推理能力|

2026年春季学期八年级数学期末试题 （满分150分，时间120分钟） A卷 一．选择题（每小题4分，共32分） 1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若a＜b，则下列各式中，错误的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣a＜﹣b C．﹣＞﹣ D．3a＜3b 3．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．2或﹣2 4．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中c＝13，b﹣a＝7，则每个直角三角形的面积为（　　） A．24 B．30 C．36 D．49 6．如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移4cm，得到直角三角形DEF．已知AB＝8cm，DH＝3cm，则有下列说法：其中一定错误的是（　　） A．CH∥DF B． HE＝5cm C．∠DHA＝∠F D．四边形DHCF的面积为26cm2 7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．给出以下条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，现从四个条件中任意选两个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 8．已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 二．填空题（每小题4分，共20分） 9．分解因式：2x2﹣8＝　 ． 10．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是　 ． 第10题图 第11题图 11．如图，把△ABC绕点A逆时针方向旋转58°后与△AB1C1重合，则∠AB1B的度数是　 °． 12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，若BC＝6，AD＝2，则△BCD的面积为 　 　 ． 13．若分式方程无解，则m的值为　 ． 三．解答题（共5小题，共48分） 14．（本小题8分）计算： （1）（4分）； （2）（4分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 15．（本小题8分）先化简，再从﹣1，2，3三个数中选一个合适的数求代数式的值． 16．（本小题10分）课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．” （1）（5分）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程； （2）（5分）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的． 17．（本小题10分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某超市预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价与节后的进价比为6：5，节前用600元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少10千克．根据以上信息，解答下列问题： （1）（5分）该超市节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）（5分）如果该超市计划在节前和节后共购进A粽子200千克，且总费用不超过2300元，那么该超市节前至多购进A粽子多少千克？ 18．（本小题12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BE平分∠ABD，交AC于点E，DF平分∠CDB，交AC于点F，点G在BE的延长线上，且BE＝EG，连接DG． （1）（6分）求证：△BOE≌△DOF； （2）（6分）若BD＝2AB，DF＝5，AC＝8，求四边形DGEF的周长． B卷 1． 填空题（每小题4分，共20分） 19．用反证法证明命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”，首先应假设 　 ． 20．如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，CM垂直平分AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为　 　 ． 21．关于x的不等式组的解集为x＜a，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 　 　 ． 22．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法： ①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3； ④d﹣b＝3（a﹣c）． 其中正确的有　 　 ． 23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点M是边BC上的动点，连接AM，以AM为边在其右侧作正△AMN，连接CN．则CN的最小值为　 　，此时△CMN的面积为　 ． 2． 解答题（共3小题，共30分） 24．（本小题8分）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：x2﹣4x+3． 解：原式＝x2﹣4x+4﹣4+3 ＝（x2﹣4x+4）﹣1 ＝（x﹣2）2﹣12 ＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣3） 再如，求代数式2x2﹣4x+5的最小值． 解：原式＝2（x2﹣2x）+5 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5 ＝2（x﹣1）2﹣2+5 ＝2（x﹣1）2+3 可知，当x＝1时，2x2﹣4x+5有最小值，最小值是3． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）（4分）请用配方法把x2﹣6x﹣7因式分解． （2）（4分）多项式﹣2x2+4x﹣1有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 25．（本小题10分）【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质）/g 水（溶剂）/g 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：a＝1，b＝3， ①（2分）请直接写出同学甲配制的溶液浓度x＝　 　 ； ②（2分）若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量d＝4.5g，同学丙准备氯化钠的质量e＝2g，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，通过计算混合后溶液的浓度，得出猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）（3分）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）（3分）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且a+b+c≠0，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 26．（本小题12分）问题提出： （1）（2分）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，点D为BC的中点，则AD的取值范围是 　 　 ； 问题探究： （2）（5分）如图2，正方形ABCD的边长为2，点E为BC的中点，DF平分∠ADE交AB于点F，求AF的长； 问题解决： （3）（5分）如图3，公园里有一块所示的花园ABCD，在AD边的中点处安装一个水泵P，AD∥BC，AB＝70m，CD＝m，∠B+∠C＝135°，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路PQ（点Q在BC边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为100元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？ 2026年春季学期八年级数学参考答案以及评分标准 满分150分，时间120分钟 A卷（100分） 一．选择题（每小题4分，共32分) 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C B B C C D 二．填空题（每小题4分，共20分) 9． 2（x+2）（x﹣2 10． x＜﹣3 11． 61 12． 6 13． ﹣8 三．解答题（本大题共5个小题，共48分) 14．（本小题8分）解：（1） ＝3+3+ ------------------------------------（2分） ＝3+3﹣4-----------------------------------（1分） ＝2；------------------------------------（1分） （2）， 由不等式①得：x＞﹣1，------------------------------------（1分） 由不等式②得：x≤3，------------------------------------（1分） ---------------（1分） ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3．------------------------------------（1分） 15．（本小题8分）解：原式 • ----------------------（2分） ，------------------------------------（2分） ∵x+1≠0且x﹣1≠0且x﹣2≠0， ∴x可以取3，------------------------------------（2分） 当x＝3时，原式2．----------------------（2分） 16．（本小题10分）解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求，将△A2B2C2绕着点B1顺时针旋转90°，即可得到△A1B1C1．-------------（2分） ----------------------（3分） （2）如图所示，连接CC1，BB1，作CC1的垂直平分线，BB1的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心．----------------------（2分） ----------------------（3分） 17．（本小题10分）解：（1）设超市节前每千克粽子的进价是6x元，则节后每千克粽子的进价为5x元，----------------------（1分） 由题意得：10，----------------------（1分） 解得：x＝2，---------------------（1分） 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，---------------------（1分） ∴5x＝5×2＝10， 答：该超市节后每千克A粽子的进价是10元；---------------------（1分） （2）由（1）可知，节前每千克粽子的进价为6×2＝12（元）， 设该超市节前购进A粽子y千克，则节后购进A粽子（200﹣y）千克，---------------------（1分） 由题意得：12y+10（200﹣y）≤2300，---------------------（1分） 解得：y≤150，---------------------（2分） 答：该超市节前至多购进A粽子150千克．---------------------（1分） 18．（本小题12分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OB＝OD， ∴∠ABD＝∠CDB，---------------------（2分） ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠EBOABD，∠FDOCDB， ∴∠EBO＝∠FDO， ∴△BOE≌△DOF（ASA）；---------------------（3分） （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD， ∴BD＝2OB， ∵BD＝2AB， ∴OB＝AB＝OD＝CD， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴BE⊥AC，DF⊥OC，OE＝AE，CF＝OF， ∴BE∥DF， ∴EG∥DF，---------------------（3分） ∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BE＝EG， ∴EG＝DF， ∴四边形DGEF是平行四边形， ∴EF＝DG，---------------------（2分） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝AOAC8＝4， ∴AE＝OEAO＝2， ∴EF＝OE+OF2+2＝4， ∴四边形DGEF的周长为2（DF+EF）＝2×（5+4）＝18．---------------------（2分） B卷（50分） 1． 填空题（每小题4分，共20分) 19． a≤b 20． 2 21． 19 22． ①②④　 23． 4 ； 二．解答题（本大题共3个小题，共30分) 24．解：（1）原式＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7）；---------------------（4分） （2）当x＝1时，有最大值，最大值为1，理由如下： ﹣2x2+4x﹣1 ＝﹣2（x2﹣2x）﹣1 ＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）﹣1 ＝﹣2（x﹣1）2+2﹣1 ＝﹣2（x﹣1）2+1， ∵﹣2（x+1）2≤0， ∴﹣2（x﹣1）2+1≤1， ∴当x＝1时，有最大值，最大值为1．---------------------（4分） 25．（1）解：①∵甲配制的溶液浓度， ∴当a＝1，b＝3时，x25%， 故答案为：25%；---------------------（2分） ②∵依题意，， ∴当d＝4.5时，， 解得c＝1.5；---------------------（1分） ∵， ∴当e＝2g时，， 解得f＝6；---------------------（1分） （2）证明：∵，a，b，c，d，e，f均为正数， ∴a＝（a+b）x，c＝（c+d）x，e＝（e+f）x， ∴a+c+e＝（a+b）x+（c+d）x+（e+f）x， ∴ ＝x， 即；---------------------（3分） （3）解：∵设k， ∴a﹣b﹣c＝ka，﹣a+b﹣c＝kb，﹣a﹣b+c＝kc， ∴（a﹣b﹣c）+（﹣a+b﹣c）+（﹣a﹣b+c）＝ka+kb+kc， ∴﹣a﹣b﹣c＝k（a+b+c）， ∵a，b，c均不为0且a+b+c≠0， ∴k＝﹣1， ∴﹣a﹣b+c＝kc＝﹣c，﹣a+b﹣c＝kb＝﹣b，a﹣b﹣c＝ka＝﹣a， ∴a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a， ∴ ＝2．---------------------（3分） 26．解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，则AE＝2AD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝6， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5；---------------------（2分） （2）延长DE至H，使得EH＝DE，连接BH，EH． ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE． 在△CDE与△BME中， ∴△CDE≌△BME（SAS）， ∴DC＝BH＝2，∠DCB＝∠HBC＝90°，∠CDE＝∠BHE， ∴A、B、H三点共线．---------------------（2分） 过点F作FG⊥DM于点G． ∵DF平分∠ADE，FA⊥AD， ∴FG＝AF＝x， ∴FB＝2﹣x， ∴HF＝BH+BF＝4﹣x． 在Rt△DEC中，DC＝2，EC＝1， 由勾股定理，得 ∴,EG＝﹣2 在Rt△FGH中，HF＝4﹣x，FG＝x,HG＝HE+EG＝﹣2, 由勾股定理得， ∴， ∴；---------------------（3分） （3）取BC的中点Q，连接PQ，则PQ将四边形ABCD平分， 过点P作PE∥AB交BC于点E，过点P作PF∥CD交BC于点F，延长PQ至点M，使得QM＝PQ，连接MQ， ∴∠B＝∠PEQ，∠C＝∠PFQ． ∵AD∥BC，AB∥PE， ∴四边形ABEP是平行四边形， ∴AB＝PE＝70m． 同理：m． 在△PQF与△MQE中， ， ∴△PQF≌△MQE（SAS）， ∴（m），∠PFQ＝∠MEQ． 又∵∠B+∠C＝135°， ∴∠PEQ+∠PFQ＝135°， ∴∠PEM＝∠PEQ+∠MEQ＝135°． 过点M作MH⊥PE交PE的延长线于点H， ∴∠MEH＝180°﹣∠PEM＝180°﹣135°＝45°， ∴EH＝MH＝50m， ∴PH＝PE+EH＝70+50＝120m． 在Rt△PHM中，由勾股定理得m， ∴m， ∴总费用（元）， ∴师傅修建这条路所需的总费用为6500元．---------------------（5分） 八年级数学试卷第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $