上海市上海中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

上海中学2025学年第二学期期终考试 数学试题 高二__________班 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 一、填空题（每题3分，共36分） 1．函数，则__________． 2．若函数是偶函数，，则__________． 3．已知随机变量的所有可能取值为1，2，3，且（，2，3），则__________． 4．已知函数的导函数，则是的极__________值点．（选填“大”或“小”） 5．若一组成对数据（，2，…，）的相关系数，则数据（，2，…，）的相关系数为__________． 6．设随机变量服从正态分布，记，，，则，，的大小关系为__________． 7．已知随机变量服从二项分布，服从二项分布．若，则__________． 8．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是__________． 9．若直线过原点，且与相切，则的斜率为__________． 10．某工厂需设计一种容量为、底面半径为的圆柱形罐头，罐头外壳由金属板制成（材料单价为0.001元），其中侧面由矩形金属板卷成，不产生浪费；上、下底面各从一个边长为的正方形金属板上切割而成，并产生边角废料（包含在材料费用内）．若不计其余成本，当变化时，制造单个罐头外壳的材料费用最小值为__________元． 11．已知函数有两个零点．分别作在与处的切线，若这两条切线与轴围成的三角形恰是等边三角形，则该三角形的面积为__________． 12．设，．若对任意，存在，使得在处的切线与在处的切线垂直，则的取值范围是__________． 二、选择题（每题4分，共16分） 13．若随机变量的方差，则（ ）． A． B． C． D． 14．某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（ ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A．9.1，10.5 B．9.3，10.2 C．9.4，10.2 D．9.4，10.3 15．将1，2，…，20分为没有公共元素的两组，每组各10个数．现从这两组中独立且随机地各选择一个数，，定义随机变量．在所有分组方式中，的最大值与最小值分别为（ ）． A．0.2，0 B．0.2，0.01 C．0.19，0 D．0.19，0.01 16．函数与其导函数都是定义在上的连续函数，且只有有限个零点．记函数的极值点个数为，的极值点个数为．对于以下命题：①，必为奇数；②．判断正确的是（ ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，解答各题须写出必要的步骤） 17．（本题8分）一个不透明袋子中有2个白球与4个黑球（大小质地均相同）．每次操作中，从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色，再放回袋子中，共进行三次操作． 定义随机变量为这三次操作中摸出的黑球总数．求的分布、期望与方差． 18．（本题8分）设． （1）当时，证明：是上的严格增函数． （2）当时，求在上的所有极值点． 19．（本题10分）为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下列联表： 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 每周自主学习时间 大于12小时 60 76 不足12小时 64 总计 180 （1）补全上述表格，并取显著性水平，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联． （2）为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否大于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时．现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值．求的分布与期望． （注：，其中） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20．（本题10分）设函数． （1）当时，解不等式：． （2）若对任意，在处的切线与轴交点纵坐标小于0，求的取值范围． 21．（本题12分）已知随机变量服从如下分布： 其中，对应概率，，…，且．此时我们定义了的方差． （1）证明，并进一步证明． （2）方差也被称为的2阶中心矩，记作．仿照该定义，可以再定义的4阶中心矩． 记，完成以下问题． ①给出一组常数，（用含的式子表示），使得对任意成立，且等号成立当且仅当或1．并证明该不等式． ②求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $