上海市闵行中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷答案 一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的 空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分. 6 拒绝 1 3 2 6 7 8 9 10 11 12 5+5 40x+9y-1640=0 70 32 99 3>3 1+n2)e2 二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题， 每题有且只有一个正确答 案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14 选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.BAAB 三.解答题（本大题共有5题，满分8分）解答下列各题必须在答题纸的相应位 置写出必要的步骤。 17.(本题满分14分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题 满分5分. 从0,1,2,3,4,5这6个数中选择若干个不重复的数字. (1)能组成多少个无重复数字且不含0的四位数？ (2)能组成多少个无重复数字且被5整除的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且小于1000的数？ 【解】(1)从0,1,2,3,4,5这6个数中选择若干个不重复的数字， 能组成不含0的四位数的个数为C4P4=120 .能组成120个不含0的四位数.；…4分 (2)个位为0的情况有：P=60个， 个位为5的情况有：C4P=48个， .能组成108个被5整除的四位数.；…5分 (3)一位数的情况有：6个， 1 两位数的情况有：CC=25个， 三位数的情况有：CP=100个， .能组成131个小于1000的数.；…5分 18.(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知实数x0,在(+录的=现限开式中。 (1)求x4项的系数： (2)若第三项不大于第五项，求x的取值范围， 【解】(1)（√+。）的二项展开式的通项 2x 工-C白v-0,1.2,…4分 令4-3=4得1=0， 故x4项的系数为1；…3分 （2)>0,若第三顶不大于第五项，即Cx≤C(x2:…4分 整理得0<xs5 解得0<x≤ 5 3 故x的取值范围为 05 3分 2 19.(本题满分14分)本题共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题 满分4分. 许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，一轮“套娃娃”游戏规则是： ①规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，即中途不放弃，直到成功一次为止或套 4次结束：②每次套娃娃费用是10元，例如第一、二次未成功，第三次成功，费用30元。 每次套娃娃成功的概率为}且相互独立. (1)求小朋友一轮套娃娃成功的概率； (2)记随机变量X为小朋友一轮套娃娃的次数，求X的分布列和数学期望； 2 (3)假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩一轮套娃娃游戏，求摊主每 天利润的期望， 【解】1)血愿意可知，小朋友在娃娃末成功的餐率为令 81 则小朋友套娃娃成功的概率为1-16_5 …5分 8181 (2)由题意知，随机变量X的可能取值为1,2,3,4， 则=0=多x=0=令击 P(X=2)= 339 所以X的分布列为： X 2 3 4 1 2 8 3 27 27 3分 3*2 B()=1x 8 65 9 +3x 27+4x 27-27 …2分 (3)由(1)可知，小朋友套娃娃成功的概率为1-16=65 8181 记摊主每天利润为Y元，则Y的期望为 B()=30×[B(X)×10- 81×18=30× ×1065 65 27 81 18=2600 9 故雅士每天利洞的期塑为2600元。4分 20.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分. 设椭圆r: +y2=1的左顶点为A. 4 （1)求T的离心率； (2)设D的左焦点为F,上顶点为B,若点P在T上且位于y轴右侧，AB//FP,求点P 的横坐标： (3)设直线1：x-y+m=0,1与T交于不同的两点C和D,若点A在以CD为直径的圆 外，求实数m的取值范围. 【解】(1)由椭圆方程可得a=2,b=1,c=√d-b2=√3， 所以e=C=3,」 a2:…4分 (2)由条件可知A(-2,0),B(0,1),F(-V3,0), 设直线AB的斜率为ks,直线FP的斜率为k, e》分因为孤D,所以k切号 1 0+22 所以直线FP的方程为y=（x+),:2分 2 +=1 联立椭圆： 4 →x2+(x+V3)2=4→2x2+2V5x-1=0,；…2分 y=. 所以x5,5或-65 2 2 又因为点P位于y轴右侧，所以P的横坐标为x=5-5,: ;…2分 2 (3)设C(,),D(2’y2) x-y+m=0 联立椭圆 3=m+y2=1今5y2-2w+m2-4=0:…1分 4+=14 先确定有两个交点，即△=(-2m2-4×5×(m2-4)>0, 即4m2-20mm2+80>0→-162+80>0→m2<5, 所以-√5<<V5,;…2分 因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角， 而点A在以CD为直径的圆外，所以∠CAD<90°，等价于AC.AD>0,;2分 由AC=(1+2,y),AD=(2+2,y2), 所以AC·AD=(K+2)2+2)+yy2>0, 即2-(0m-2)0+2)+(m-2)2>0, 4 将片+巧=2 ,5=m-4 5； 代入可得2旷4m-习200m-20=2m-0-2m-2-5m2>0. 5 2m2-8-2m2+4m+5(m2-4+4)>0→5m2-16m+12>0→(5m-6)(2-2)>0, 解得m<或m>2,结合-5<m<5, 所以me(V5,U2,V5).…3分 D 21.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分. 已知函数f)= Inx (1)求f(x)的单调区间： (2)存在x,∈(0,1UL,+0,使得1之，成立，求实数k的取值范国： f(x) (3)若对于Ym,neVE,e2,不等式f0m）f0四≤1恒成立，求实数a的取值范围. a-2026 【解】(1)f)=m=1, I'x 当1<x<e或0<x<1时，f(x)<0,当x>e时，f"(x)>0, 所以f(x)的减区间是(0,1)，1，e)…2分 增区间是(e,+o);…2分 (2)≥，即为匹≥，hm。-≥0， f() 题意等价于r-c2≥0在(0,1U1+o)上有解. 设g(x)=lr-ac2, g0m=1-2=1-2kx2 …2分 5 当k≤0时，g'(x)≥0,8(x)递增，g(1)=1-k>0, 所以存在>1，即x∈(0,1)J1,+0),使得g(x)≥0成立： 有00及0d,8ga层网0,8 所以0-8)=号 11 …2分 分0得0≤此时 由g)as=2k2 1 >1, V2k 所以存在>1，即x∈(0,1)U(1,+0),使得g(x)≥0成立， 综上，e人o克.…2分 【也可参变分离解决】存在6∈(0，Ua,+o): 1一≥k 即血r≥在(0，)UL,+o)有解 血x≥k在(0,1)U1,+0)有解 x 所以 Inx 2k,…2分 max 令g(x)= ,xe(0,U0,+o) Inx g9-上2nx,e@DU0.+网 x 当x∈(0,1)U(1,Ve),g'()>0,g(w在(0,1)，1，Ve)递增 当x∈(e,+o),g(x)<0,g()在(E,+o)递减…2分 (s6ou-g同-云pAs品 皖上，（心.2分 8》mm-[eel网gr-g (nx) 由(1)得f)在[Ve,e]上递减，在[e,e2]上递增， f(x)m=f(e)=e, 6 a=mOe以-nx26号}-号2分 wj动好 派e]-}2m以f22分 也可求导解决：设M)=(的=1，则H)=2- I'x xln'x x∈[Ve,e]时，hw)>0,h)递增，（√e)≤h(x)≤h(e), 即-2≤s年所以2≤5子 ①当a-2026>0时，对于vmn∈Ve,e],不等式f00m≤1恒成立， a-2026 等价Ta-2036>e-f-号 +2,所以a≥2+2028 ②当a-2026<0时，对于mn∈[VE,e2门，不等式fm0四≤1恒成立， a-2026 3 等价于a-2026≤f(wam-f'()x=e-4,所以a≤2025+e 4 且a-2026<0,所以a<2026 综上可知：实数α的取值范围是(-0,2026)U 2028+e） 中2t04分2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分150分 一，填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的 空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分。 1.已知P(0=子则P团- 2.直线x+2y+3=0的斜率为 3.若C2=10,则正整数n的值为 4.某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关 数据，绘制了2×2列联表，设原假设H。：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数 没有影响，计算出统计量X2=5.284,已知P(2y23.841)≈0.05，则在显著性水平u=0.05条 件下，推断的结论为 H。·(用“拒绝”或“接受”填空) 5.设4、B为两个事件，且P(④>0，若P(an)=写P-=号 则P(B|A)= 6.直线1：y=x-1与曲线C:x2+y2=2x+2y相交于A、B两点，则弦长AB= 7.某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温（单位：C之间有如下数据： x/C -2 0 2 y/百元 5 4 2 2 由表中数据可得回归方程)=ax+b中a=-1.试预测当天平均气温为-3.2C时，小吃店的 日盈利约为 百元 8.已知A(3,2),抛物线C:y2=8x的焦点为F,P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的 最小值为 9.某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1），运动员比赛时，从 某条跑道弯道处的起跑线AB上选取一点P作为起跑点，沿直线P?加速后从点Q切入弯道 内侧分道线，即PQ与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如 1 图2).若10A上40，|P2=9,则直线PQ的一批式方租为 外侧分道线 内侧分道线 APB主 图1 图2 10.某校蓝球队的成员是来自学校高三10个班的12位同学，其中高三、1)班、高多(2) 班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选5人作为主力队员，则这5名主力队员 来自不同的班级的概率为 11.已知函数f(x)=x(x-2),对任意x∈[0，m],都有f(x)≤m,则实数m的取值范围 为 12关于的两个方程c+e0+4e8-血x-5=0.V42+1-21血(bc+) =0均有实根，其中 a,b,c∈R,则a(2+c2)最小值为。 二，选择题（本大题满分18分)本大题共有4小题，每题有且只有一个正骑答 案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑， 13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分. 13.一批零件共有10个，其中有3个不合格.随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不 合格的概率是() A. C B.C C。 c. D. 14.老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与 物理成绩，结果列表如下： 学生 丙 丁 庚 王 平均值 标准差 数学成绩X分 62 X6 X7 X=60 r所 物理成绩Y7分 15 6 7=65 y*因 若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成鏯服从正态分布，用实线表示全班 数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成缋分布曲线，则下列正确的是() 15.如图，椭圆c:号茶=10>6>0)的左、右焦点分别为5、3， 过点E的直线与椭圆相交于P、2两点.若|Pr=3,P2=4, |E@=5,则椭圆c的方程为() A. 86 8 4 16.定义mar{x,y}={，mi血{x,y以={xy，已知互不相等的正实数 ,2,x,x4∈{1,2,3,4，a,b,c,d是为，x2,x3,x4的任意顺序排列，设随机变量X,Y满足： (X =maxminfa,by,minc,d 则() Y=minmaxfa,b},maxke,d A.E(X)<E(),D(X)>D( B.E(X)<E(Y),D(X)=D(Y) C.E(X)>E(Y),D(X)=DY) D.E(X)>E(),D(X)>D( 三解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位 置写出必要的步骤， 17.(本题满分14分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题 满分5分. 从0,1,2,3,4,5这6个数中选择若干个不重复的数字. (1)能组成多少个无重复数字且不含0的四位数？ (2)能组成多少个无重复数字且被5整除的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且小于1000的数？ 18.(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分， 已知实数x>0,在(+2”的二项展开式中： (1)求x4项的系数： (2)若第三项不大于第五项，求x的取值范围， 3 19.(本题满分14分)本题共3个小题，第1小题满分5分，第2小趣满分5分，第3小题 满分4分. 许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，一轮“套娃娃”游戏规则是： ①规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，即中途不放弃，直到成功一次为止或套 4次结束；②每次套娃娃费用是10元，例如第一、二次未成功，第三次成功，费用30元。 每次套娃娃成功的概率为且相互独立. (1)求小朋友一轮套娃娃成功的概率； (2)记随机变量X为小朋友一轮套娃娃的次数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩一轮套娃娃游戏，求摊主每 天利润的期望 20,(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分。 设椭圆T +y2=1的左顶点为A.(1)求T的离心率； 4 (2)设T的左焦点为F,上顶点为B,若点P在T上且位于y轴右侧，AB/FP,求点P 的横坐标； (3)设直线：x-y+m=0,I与厂交于不同的两点C和D,若点A在以CD为直径的圆 外，求实数m的取值范围。 21.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分， 已知函数f(x)=,x Inx (1)求f(x)的单调区间： (2)存在x,∈(0,1)U0,),使得≥c,成立，求实数k的取值范围： f(xo) (3)若对于m,ne[E,e],不等式fm)@s1恒成立，求实数a的取值范围 a-2026