上海市南汇中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

上海南汇中学2025学年第二学期期末考试 高二数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题：（本题共有12题，满分36分）． 1．设全集，若集合，则________． 2．函数（且）的图像过定点，则点的坐标是________． 3．曲线，则_____． 4．已知，函数在上是严格增函数，且图像关于原点对称，则________． 5．盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为__________．（用数字作答） 6．已知，，，则的最大值为______． 7．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为________． 8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 9．设是抛物线上一点，则点到椭圆的左顶点的距离的最小值为________． 10．函数在区间上有最小值，则的取值范围是________． 11．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以点为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为________． 12．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为____________． 二、选择题（本题共有4题，满分12分） 13．若，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（ ）． A． B． C． D． 15．如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是（ ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值 16．已知函数的导函数为，，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意，都有”是“在上为严格增函数”的充要条件（ ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 三、解答题：（第17、18题每题8分，19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 已知函数，其中，． （1）若，求方程的解； （2）若，求不等式的解． 18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 已知函数（，）． （1）讨论函数的奇偶性并说明理由． （2）讨论函数的零点个数． 19．（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分． 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）能否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求，的期望和方差． 参考公式：，其中． （） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分． 已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为． （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程； （3）求证：直线过定点． 21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分． 已知函数，正常数，记． （1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数既存在极小值也存在极大值，求实数的取值范围； （3）求证：对于任意正整数，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $