初升高数学提前课+课时二+集合的表示方法

课时二　集合的表示方法 第一章　集合与常用逻辑用语 1 除了用自然语言描述一个集合外,我们还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 精彩课堂 思考1 你能用列举法表示例1中的集合吗? 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 解： （1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么. （2）设方程方程的所有实数根组成的集合为B， 那么B= 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 注意:用列举法表示集合，应先明确集合中的元素是什么． 思考2 你从下面的“思考”问题中想到了什么? (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗? (2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗? 描述法 一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. 描述法：一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 思考3 你能分别用列举法和描述法表示例2中的集合吗? 例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A; （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解：（1）设A，则x是一个实数，且，因此，用描述法表示为. 方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为 （2）设，则x是一个整数，即,且10<x<20.因此，用描述法表示为. 大于10且小于20的所有整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19.因此，用列举法表示为 描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母． 思考4 通过例2,你认为集合的不同表示方法有什么优缺点? 列举法: 优点:直观、灵活、简便,在表示元素不太多的集合时宜采用. 缺点:表示元素多或元素个数无法确定的集合不太方便. 思考4 通过例2,你认为集合的不同表示方法有什么优缺点? 描述法: 优点:省时省力,概括性强,表示元素个数多或无法列举的集合时宜采用. 缺点:较为抽象,不利于判断选择. 补充例题 例3、用列举法表示下列集合： (1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合； 【解】方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1，2}． (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； 【解】由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}． 例4、用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的正整数的集合； 【解】被除数＝商×除数＋余数，此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}． (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； 【解】 不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． (3)坐标平面内第一象限的点的集合． 【解】第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}． 例5、若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 【解】　若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足． 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 例3、若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值， 并用列举法表示集合A. 2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围． (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； 解：函数y＝－2x2＋x的图象上所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝ －2x2＋x}． (2)3和4的所有正的公倍数构成的集合； 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}． 课堂练习 3．(多选)已知集合A＝{x|－1＜x＜，x∈Z}，则一定有(　　) A．－1∈A    B．2(1)∈A C．0∈A    D．1∈A 解析：－1不在集合范围内，2(1)∉Z，－1<0<，－1<1<，故选CD. 答案：CD 4．下列说法中正确的是(　　) ①0与{0}表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 A．①④　　B．②③　　C．②　　D．②④ 解析：①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举． 答案：C 5．用列举法表示集合 A＝{y|y＝x2＋1，|x|≤2，x∈Z}＝________． 解析：因为集合A＝{y|y＝x2＋1，|x|≤2，x∈Z}，所以A＝{y|y＝x2＋1，x＝－2，－1，0，1，2}＝{1，2，5}． 答案：{1，2，5} 6．试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. 解：(1)描述法表示为A＝{x∈R|x2－5＝0}，列举法表示为A＝{，－}； (2)描述法表示为{x∈N|0≤x<8}(形式不唯一)，列举法表示为{0，1，2，3，4，5，6，7}． 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用列举法表示有限集． 2.理解描述法的格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合． 3.学会在集合的不同表示法中作出选择和转换． 1.数学抽象：列举法、描述法表示集合． 2.数学运算、直观想象：用描述法表示的集合转化为用列举法表示的集合． 小结： 课 时 结 束 $