第05讲 反比例函数中k与面积的综合运用（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材苏科版

第05讲 反比例函数中k与面积的综合运用（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+8个题型+课后作业】 模块二 反比例函数与一次函数的综合运用 老师在坐标系里画了一个反比例函数 的图像.现在，我在这条曲线上随便取一个点. 接下来请大家看两个动作： 第一个动作，过该点向轴和轴作垂线.大家看，围成的这个矩形，不管点在曲线上怎么移动，它的面积始终是一个定值，就是||. 第二个动作，如果我连接该点和原点，围成的这个直角三角形，它的面积也永远不变，刚好是矩形的一半，也就是. 为什么反比例函数图像上的点，能围出面积永远不变的图形？这个面积和系数到底有什么必然联系？今天这节课，我们就来彻底搞懂反比例函数中 的几何意义. 【题型1 由k求三角形面积】 【例1】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）如图，反比例函数的图象在平面直角坐标系中，点为 的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 【变式1-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．①在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．②在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知：的面积为，的面积为，的面积为， ， 的面积为． 故选D． 【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，故的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， 则， 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据，，即可求解． 【详解】解：由题意知， ， ， 故答案为：4． 【题型2 由k求四边形面积】 【例2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）反比例函数和的函数图象如图所示，若点在上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，，则四边形的面积为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k的几何意义得到，，结合图形计算即可． 【详解】解：∵点在函数上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，， ∴，， ∴四边形的面积为． 故答案为：2． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义求解即可，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：∵轴，轴，垂足分别为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，中点坐标公式，矩形面积的坐标表示，熟练掌握相关知识点和坐标代入法是解题的关键． 先设的坐标为，根据为的中点，表示出的坐标，代入反比例函数的表达式中可得，根据点的坐标可得出矩形的长和宽，进而表示出矩形的面积为，即可得解． 【详解】解：设矩形顶点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为， 对角线与反比例函数的图像相交于点， 将点代入函数得：， 化简得：， ， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是__________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．过点作轴于点，过点作轴于点，再根据反比例函数系数的几何意义，求得的面积的面积相等的面积的面积相等，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵平行四边形， 与的面积相等， 又∵顶点在反比例函数上， 的面积的面积相等， 同理可得：的面积的面积相等， ∴平行四边形的面积． 故答案为：16． 【题型3 由k求阴影部分图形面积】 【例3】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求各个阴影的面积表达式是解题的关键．由点，，，它们的横坐标依次为1，3，6，得，，，由，可求出k的值，进而求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵点在的图象上， ∴矩形的面积是k， ∴四边形的面积，故为定值，不变， 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是_______．    【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，过点作于点，作于点，有矩形的性质得到，，根据题意可得，，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵顶点在函数的图象上， ∴， ∵点是矩形内的一点， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键． 连接，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点，，，是反比例函数的图象上的点， 都垂直于x轴， ∴， ∵， ∴，，． 以此类推，解得． 故选：A． 【题型4 由k比较面积大小】 【例4】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为坐标原点，是反比例函数的图象上任意两点，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设的面积为的面积为，则与之间的大小关系为：___________．（填“”“”或“”） 【答案】= 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，熟练掌握的几何意义是解题的关键． 根据反比例图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积即可得出结论． 【详解】解：根据反比例函数的系数的几何意义可得：． 故答案是：=． 【变式4-1】（16-17九年级上·湖北十堰·期末）如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（     ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出S1、S2的值即可进行比较． 【详解】由于A、B均在反比例函数的图象上， 且AC⊥x轴，BD⊥x轴， 则S1＝； S2＝． 故S1＝S2． 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，找到相关三角形，求出k的绝对值的一半即为三角形的面积． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小：________（填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 【变式4-3】（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接、、，设的面积为、的面积为、的面积为，比较、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与双曲线的交点为Q，连接，根据反比例函数系数k的几何意义以及一次函数与反比例函数的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：如图，设与双曲线的交点为Q，连接， 由于点A、点Q、点B在反比例函数图象上， 即， 而根据图形可知：， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，一次函数与反比例函数的交点坐标特征，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提． 【题型5 由k求面积和差】 【例5】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积差为（    ）． A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】已知反比例函数的解析式为，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可； 【详解】解：如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数的图象上，所以设点B(m，)． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)， 由AD=BD，得n−=m−n，化简整理得m2−2mn=−16． ∴S△OAC−S△BAD=n2−(m−n)2=−m2+mn=−(m2−2mn)， 即S△OAC−S△BAD=8． 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，点，点都在反比例函数的图象上．过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作，的面积记作，则__________． 【答案】3:4 【分析】根据图象上点的坐标特征得到，，根据反比例函数系数k的几何意义求得，然后根据，即可得答案． 【详解】 解：点，点都在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴反比例函数为， ∴， 作，交PN的延长线于K， 则，，，， ∴， ∴， 故答案为：3：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键． 【变式5-2】（19-20九年级上·四川成都·期中）如图，点M是反比例函数y=在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于B．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且， 的面积记为；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且，的面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且，的面积记为；以此类推…；S1+S2+S3+…+S6=______． 【答案】 【分析】过点M作MD⊥y轴于点D，先求解矩形的面积，得到 结合，可得同法可求：，从而可得答案． 【详解】解：过点M作MD⊥y轴于点D， ∵点M是反比例函数在第一象限内图象上的点，MB⊥x轴于B． ∴矩形的面积 ∴ ∵，即为中点， ∴ 同理： ∴ 同理可得： ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及三角形面积关系，根据同底三角形对应高的关系得出面积关系是解题关键． 【变式5-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交反比例函数的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，轴于点E，交于点F．若图中四边形与的面积差为，则与的面积差为___． 【答案】 【分析】作于点H，根据反比例函数面积性质及四边形与的面积差为推出面积为，可求出，确定直线解析式，得到，从而将与的面积差转化为与的面积之差计算即可． 【详解】解：作于点H， ∵四边形与的面积差为，反比例函数 ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵直线分别交x轴，y轴于点C，D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定解析式，熟练掌握交点的意义，反比例函数的性质和k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键． 【题型6 由三角形面积求k】 【例6】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 【详解】解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过的顶点．若轴，点的坐标为，的面积为，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、三角形面积公式，熟练掌握利用坐标求线段长度及反比例函数解析式的求法是解题的关键．先根据平行于轴确定点的横坐标，再结合三角形面积公式求出点的纵坐标，最后代入反比例函数解析式求的值． 【详解】解：∵ 轴，点， ∴ 点的横坐标为3，设， ∵ 的面积为3， ∴ ， ∴ ， ∵ 点在第四象限（结合图象）， ∴ ，即 ∴ ， ∵ 点在上， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数值的几何意义，由题意可得，又，则，从而求出的值，熟练掌握反比例函数系数值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的交点，轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】作，根据对称性可知，为的中点，三角形的中线平分面积，得到，三线合一结合三角形的中线平分面积，求出，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两点关于原点对称， ∴为的中点， ∴， 作， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在二，四象限， ∴， ∴． 【题型7 由四边形面积求k】 【例7】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，的边交反比例函数图象于点，且，点、、在坐标轴上，已知的面积为12，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，设，则，得，设，则，由平行四边形的面积可求出，从而可求出的值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴； 设，则， ∵的面积为12， ∴，即， ∴， 又在反比例函数图象上， ∴， 故选：B． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·寒假作业）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点E的横坐标为6，点D的纵坐标为3， ∴点E的纵坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 【变式7-2】（2025·陕西商洛·一模）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，的几何意义，正确掌握的几何意义是解题的关键． 过点作轴于点，根据的几何意义和等腰三角形的性质，易求，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 在反比例函数（）的图象上，轴， ， ，轴， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26九年级下·四川甘孜·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，求k的值． 【答案】4 【分析】从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、矩形的面积与的关系，列出等式求出值． 【详解】解：∵、、位于反比例函数图象上， ∴，， 过点作轴于点，作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为矩形对角线的交点， ∴， ∵函数图象在第一象限， ∴， ∴ ， 解得：． 【题型8 由面积间关系求k】 【例8】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，根据题意得出两个菱形的面积为，根据反比例函数的意义得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵两个影阴部分的面积和为8， ∴两个菱形的面积和为， ∴ 又， ∴； 故答案为：． 【变式8-1】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，反比例函数在第一象限的图像经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值是_______． 【答案】12 【分析】本题考查了根据正方形面积求反比例函数的系数，正方形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设正方形、的边长分别为a和b，则可表示出，，，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，然后利用正方形的面积公式易得． 【详解】解：设正方形、的边长分别为a和b，则，， ∴， ∵点E在反比例函数上， ∴， ∴， ∵两正方形的面积差为12， ∴． 故答案为：12． 【变式8-2】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用矩形和反比例函数的对称性得出，并能正确表示出和的长． 根据矩形和反比例函数的对称性得出，设，然后表示出点、的坐标，得出和的长，最后由三角形面积即可求出的值． 【详解】解：矩形的对称轴与坐标轴重合， ，点是矩形的对称中心， 反比例函数的图象也关于点成中心对称， ， ， ， ， ， 设，则，， 点、都在反比例函数的图象上， ，， ，， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式8-3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，的顶点A、B的坐标分别是，，顶点C，D在双曲线上．边交y轴于点E，四边形的面积是面积的6倍，则________． 【答案】 【分析】如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，交于M点，过C点作，垂足为H，证明，根据已知条件可设点C和D的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，再根据四边形的面积是面积的6倍，求出点C或点D坐标． 【详解】解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，交于M点，过C点作，垂足为H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 设，， 则， 解得， ∴D的坐标是． 设直线解析式为， 将A、D两点坐标代入得： ， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P位于第一象限，且在反比例函数的图象上．过点P作x轴垂线，垂足为Q，则的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键，根据反比例函数解析式，得到，结合即可得到答案． 【详解】解：在反比例函数中， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系是解题的关键． 根据题意，设，则，，根据平行四边形的面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：在反比例函数的图象上， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， 解得，， 故选：D ． 3．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数和比例系数几何意义得到，，然后利用面积相减即可，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点， ∴，， ∴的面积为， 故选：． 4．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，O、C在x轴上，若点，，则实数k的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形面积 计算是关键根据A，B的纵坐标相同以及点A在反比例函数上得到的A坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， O，C在x轴上， ，B的纵坐标相同． ， 的纵坐标是3． 顶点A在反比例函数的图象上， 将代入函数中，得到．则． ． ． ，B的纵坐标为3， ，即． 解得． 故选：C． 6．（2025·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若，且图中阴影部分的面积为，则k的值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，由反比例函数的几何意义可得：，结合推出即可求解； 【详解】解：如图所示： 由反比例函数的几何意义可得：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 7．（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为_________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过该点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的系数的几何意义得到，由，得，然后计算． 【详解】解：根据题意得， 而， ∴， ∴． 故答案为：6． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数（为常数，且，的图象上，连接 轴，过点作轴于点，连接，若四边形的面积为2，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握图象上的点的坐标特点是解题的关键． 设，则用表示、的坐标，再根据三角形的面积和矩形面积公式求解即可． 【详解】解：延长交轴于点D， ∵轴， ∴轴， 设，则，， ∴， ∵四边形的面积为2， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点为轴上任意一点，且的面积为2，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，可证明得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴，即， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·福建·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，然后根据求解即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 则，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，B为中点．若，则该反比例函数的表达式为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是正确的运用面积求的值． 由点为的中点，可以求得的面积，根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，图象在第二象限， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， 为中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ， 故该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点M，与相交于点N，若点B的坐标为，的面积是，则的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，根据图形面积求比例系数（解析式），根据矩形的性质求线段长，求矩形在坐标系中的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先用k表示出N、M两点的坐标，再根据三角形的面积列出关于k的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴点N的纵坐标为2，点M的横坐标为4， ∵反比例函数的图象与相交于点M，与相交于点N， ∴，， ∴,,，，，， ∵， ∴， ∴， 又的面积是， ∴， 解得：（负值舍去）， 故答案为：7． 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数 的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，． （1）求的值． （2）若为中点，求四边形的面积． 【答案】（1）8；（2）10． 【分析】（1）将点的坐标为代入，可得结果； （2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果． 【详解】解：（1）将点的坐标为代入， 可得， 的值为8； （2）的值为8， 函数的解析式为， 为中点，， ， 点的横坐标为4，将代入， 可得， 点的坐标为， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键． 14．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； （3）解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，反比例函数图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____； (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值． 【答案】(1)三， (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象和性质得出即可； （2）求出B、C的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象的一支位于第一象限， ∴该函数图象的另一支在第三象限，且， ∴k的取值范围是； 故答案为：三，； （2）解：设点A的坐标为， ∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称， ∴，，点B的坐标是，点C的坐标是， ∴，． ∵的面积为6， ∴． ∴． ∴． ∵点A在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴． 解得． 16．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3)见解析 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． （3）证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 17．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求的值； (2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式 是解题的关键． （1）根据解析式求出点的坐标，根据点的坐标和点的坐标得出三角形的面积，根据面积比求出三角形的面积，设出点的坐标，根据面积求出的值，再用待定系数法求出即可； （2）根据点的坐标得出点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交点为， ∴， 即 ， ∵点的横坐标为， ， ， ， 设， ， 解得， ∵点在双曲线上， 把点代入得 ，； （2） 解： ∵将四边形分成两个面积相等的三角形， 解得 或 (不符合题意，舍去)， ∴点的坐标为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 反比例函数中k与面积的综合运用（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+8个题型+课后作业】 模块二 反比例函数与一次函数的综合运用 老师在坐标系里画了一个反比例函数 的图像.现在，我在这条曲线上随便取一个点. 接下来请大家看两个动作： 第一个动作，过该点向轴和轴作垂线.大家看，围成的这个矩形，不管点在曲线上怎么移动，它的面积始终是一个定值，就是||. 第二个动作，如果我连接该点和原点，围成的这个直角三角形，它的面积也永远不变，刚好是矩形的一半，也就是. 为什么反比例函数图像上的点，能围出面积永远不变的图形？这个面积和系数到底有什么必然联系？今天这节课，我们就来彻底搞懂反比例函数中 的几何意义. 【题型1 由k求三角形面积】 【例1】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）如图，反比例函数的图象在平面直角坐标系中，点为 的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【变式1-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C． D． 【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-3】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为______． 【题型2 由k求四边形面积】 【例2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）反比例函数和的函数图象如图所示，若点在上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，，则四边形的面积为_____． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为______． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 【变式2-3】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是__________． 【题型3 由k求阴影部分图形面积】 【例3】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为_____． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【变式3-2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是_______．    【变式3-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．4 【题型4 由k比较面积大小】 【例4】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为坐标原点，是反比例函数的图象上任意两点，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设的面积为的面积为，则与之间的大小关系为：___________．（填“”“”或“”） 【变式4-1】（16-17九年级上·湖北十堰·期末）如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（     ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小：________（填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为________． 【变式4-3】（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接、、，设的面积为、的面积为、的面积为，比较、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【题型5 由k求面积和差】 【例5】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积差为（    ）． A．32 B．16 C．8 D．4 【变式5-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，点，点都在反比例函数的图象上．过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作，的面积记作，则__________． 【变式5-2】（19-20九年级上·四川成都·期中）如图，点M是反比例函数y=在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于B．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且， 的面积记为；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且，的面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且，的面积记为；以此类推…；S1+S2+S3+…+S6=______． 【变式5-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交反比例函数的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，轴于点E，交于点F．若图中四边形与的面积差为，则与的面积差为___． 【题型6 由三角形面积求k】 【例6】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【变式6-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过的顶点．若轴，点的坐标为，的面积为，则的值等于___________． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则______． 【变式6-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D．8 【题型7 由四边形面积求k】 【例7】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，的边交反比例函数图象于点，且，点、、在坐标轴上，已知的面积为12，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·寒假作业）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式7-2】（2025·陕西商洛·一模）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 【变式7-3】（25-26九年级下·四川甘孜·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，求k的值． 【题型8 由面积间关系求k】 【例8】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为__________． 【变式8-1】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，反比例函数在第一象限的图像经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值是_______． 【变式8-2】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为_______． 【变式8-3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，的顶点A、B的坐标分别是，，顶点C，D在双曲线上．边交y轴于点E，四边形的面积是面积的6倍，则________． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P位于第一象限，且在反比例函数的图象上．过点P作x轴垂线，垂足为Q，则的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．4 2．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 3．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，O、C在x轴上，若点，，则实数k的值为 （    ） A． B． C． D． 6．（2025·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若，且图中阴影部分的面积为，则k的值为（   ） A．6 B．9 C． D． 7．（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为_________． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数（为常数，且，的图象上，连接 轴，过点作轴于点，连接，若四边形的面积为2，则的值为_____． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点为轴上任意一点，且的面积为2，则的值为______． 10．（2025·福建·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为______． 11．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，B为中点．若，则该反比例函数的表达式为____． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点M，与相交于点N，若点B的坐标为，的面积是，则的值为______． 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数 的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，． （1）求的值． （2）若为中点，求四边形的面积． 14．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 15．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，反比例函数图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____； (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值． 16．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 17．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求的值； (2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $