第3讲 1.2反比例函数图形与性质 第2课时 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九数学九年级上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第3讲 1.2反比例函数的图象与性质（第2课时） 【学习目标】 1. 观察反比例函数图象，归纳其形状特征与位置特征。 1. 掌握反比例函数图象与坐标轴无交点、无限靠近坐标轴的性质。 1. 能根据的符号判断图象所在的象限。 1. 初步体会“数形结合”的数学思想。 【知识梳理】 一、反比例函数 （）的图象 形状：反比例函数的图象是由两支曲线组成的，称为双曲线。 位置： 的符号 图象所在象限 举例 两支曲线分别位于第一、三象限 ， 两支曲线分别位于第二、四象限 ， 二、反比例函数图象的特征 1. 与坐标轴的关系：双曲线的两支都无限靠近坐标轴，但与坐标轴没有交点。 · 原因：，，所以图象不可能与轴或轴相交。 1. 延伸趋势：当无限增大时，无限接近于0；当无限接近于0时，无限增大。 1. 对称性（初步感受）：反比例函数的图象关于原点成中心对称。 做一做（即时练习）： 1. 反比例函数的图象是______，它由______支曲线组成。 1. 反比例函数 的图象在第______、______象限。 1. 反比例函数 的图象在第______、______象限。 1. 反比例函数的图象与轴______（填“有”或“没有”）交点，与轴______（填“有”或“没有”）交点。 1. 在反比例函数 中，若，则图象在______、______象限；若，则图象在______、______象限。 【典例精讲】 【例1】（由的符号判断图象位置） 下列反比例函数中，哪些图象在第一、三象限？哪些在第二、四象限？ （1）　　（2）　　（3）　　（4）　　（5）（） 【分析】 判断的符号：时图象在一、三象限；时图象在二、四象限。 【解答】 （1），图象在第一、三象限。 （2），图象在第二、四象限。 （3），，图象在第一、三象限。 （4），，图象在第二、四象限。 （5），图象在第二、四象限。 【反思】 判断图象位置的关键是确定的符号——正在一、三，负在二、四。 【例2】（由图象位置判断的符号） 反比例函数 的图象在第二、四象限，判断的符号，并写出一个符合条件的的值。 【分析】 图象在第二、四象限，说明。 【解答】 ∵ 图象在第二、四象限， ∴ 。 符合条件的值可以是 、、 等任意负数。 【反思】 看到图象在二、四象限，立即判断；看到图象在一、三象限，判断。 【例3】（反比例函数图象上点的坐标特征） 已知反比例函数 ，判断下列各点是否在它的图象上： ，， 【分析】 将各点的坐标代入 （即）检验即可。 【解答】 ：，成立，点在图象上。 ：，不成立，点不在图象上。 ：，成立，点在图象上。 【反思】 判断一个点是否在反比例函数图象上，只需验证该点的横纵坐标之积是否等于。 【跟踪练习1】 1. 反比例函数 的图象在第______、______象限； 的图象在第______、______象限。 1. 反比例函数 的图象在第一、三象限，则______0（填“>”或“<”）；图象在第二、四象限，则______0（填“>”或“<”）。 1. 判断下列各点是否在反比例函数 的图象上： · ，， 4.已知反比例函数，则下列描述正确的是（      ） A．图像必经过 B．图像位于一、三象限 C．随的增大而增大 D．如果点在它的图像上，则点也在它的图像上 【举一反三】 1. 反比例函数 的图象在第______、______象限。 1. 反比例函数 的图象在第______、______象限。 1. 反比例函数 （）的图象与坐标轴______（填“有”或“没有”）交点。 1. 反比例函数 的图象在第二、四象限，则______0（填“>”或“<”）。 1. 反比例函数 的图象经过点，则它还经过点______。（填一个即可） 1. 点在反比例函数 的图象上，则______。 1. 反比例函数 的图象______（填“是”或“不是”）关于原点对称。 8.如图，是反比例函数的图像的一支，根据图像回答问题： (1)常数m的取值范围是______；图像的另一支在第______象限；在每个象限内y随x的增大而______； (2)在该函数图像上取点，和，如果，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接，其结果为______； (3)若点，在反比例函数的图像上，求：m，n的值以及反比例函数解析式． 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 反比例函数的图象是______，由______支曲线组成。 1. 反比例函数 的图象在第______、______象限。 1. 反比例函数 的图象在第______、______象限。 1. 反比例函数 的图象在第二、四象限，则______0（填“>”或“<”）。 1. 反比例函数的图象与轴______交点，与轴______交点。（填“有”或“没有”） 1. 点在反比例函数 的图象上，则______。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 反比例函数 的图象在第一、三象限。（　　） 1. 反比例函数 的图象在第二、四象限。（　　） 1. 反比例函数的图象与轴有交点。（　　） 1. 反比例函数 （）的图象在第二、四象限。（　　） 三、选择题。 1. 反比例函数 的图象在（　　） · A. 第一、三象限　　B. 第二、四象限　　C. 第一、二象限　　D. 第三、四象限 1. 反比例函数 的图象在（　　） · A. 第一、三象限　　B. 第二、四象限　　C. 第一、二象限　　D. 第三、四象限 1. 下列各点中，在反比例函数 的图象上的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 已知反比例函数y＝的图像如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图像可能是(　　) A．B．C．D． · ◆ B组·能力提升 1. 判断下列各点是否在反比例函数 的图象上： · ，，， 1. 已知反比例函数 的图象经过点。 · （1）求的值； · （2）写出该函数图象所在象限； · （3）点是否在这个函数的图象上？ 1. 已知反比例函数 的图象经过点。 · （1）求的值； · （2）点在图象上，求的值； · （3）若点在图象上，求的值。 1. 在同一坐标系中，画出反比例函数 和 的图象，观察它们之间有什么关系？ ◆ C组·思维拓展 19. 如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 20.（2025·广州·中考真题） 若 ，则反比例函数 的图象在（　　） A. 第一、二象限　　B. 第一、三象限　　C. 第二、四象限　　D. 第三、四象限 21.（2024·四川遂宁·中考真题） 反比例函数 的图象在第一、三象限，则点在第______象限。 22.（2025·天津·中考真题） 若点，，都在反比例函数 的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. y1 < y2 < 　　B. < < 　　C. << 　　D. << 23.下列是在同一直角坐标系中函数和的图像如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 24. 若点，在反比例函数 的图象上，且，则的取值范围为______。 25. 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图像．根据这个函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．图像与轴没有交点 B．当时 C．图像与轴的交点是 D．随的增大而减小 26. 反比例函数 与正比例函数 的图象交于、两点，若点的横坐标为，则： （1）的值为______； （2）点的坐标为______。 27. 已知反比例函数 ，点、、都在图象上。下列说法正确的有______（填序号）。 ① 、关于直线对称； ② 、关于原点对称； ③ 在第三象限内，随的增大而减小； ④ 若在图象上，且，则。 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 图象形状 双曲线（两支） 用平滑曲线画出 图象在一、三象限 图象在二、四象限 与坐标轴关系 无交点，无限靠近 ， 对称性 关于原点中心对称 初识即可 常见错误提醒 错误类型 正确理解 误认为时图象在二、四象限 时，，、同号，在一、三象限 认为图象与坐标轴有交点 反比例函数图象与坐标轴没有交点，只能无限靠近 忘记双曲线有两支 反比例函数图象两支分别在两个象限 学习建议 1. 牢记“正一三，负二四”的口诀。 1. 判断点是否在图象上，用验证最快捷。 1. 画图时注意两支曲线要无限延伸但不能与坐标轴相交。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：双曲线；两 1. 答案：一；三 1. 答案：二；四 1. 答案：没有；没有 1. 答案：一、三；二、四 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：一、三；二、四 1. 答案：； 1. 答案：点在（），点在（），点不在（） 1. 答案：D 举一反三 1. 答案：一、三 1. 答案：二、四 1. 答案：没有 1. 答案： 1. 答案：（答案不唯一） 1. 答案： 1. 答案：是 1. 答案：（1）解：由图可知反比例函数的图像的一支在第一象限， ， ， 由反比例函数的图像和性质可知，图像的另一支在第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小． 故答案为：，三，减小； （2）解：由（1）知反比例函数的图像在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 如果，则， 故答案为：； （3）解：将代入，得：， 解得， ， 在反比例函数的图像上， ， 解得， 综上可知，，，反比例函数解析式为． A组·基础过关 1. 答案：双曲线；两 1. 答案：一；三 1. 答案：二；四 1. 答案： 1. 答案：没有；没有 1. 答案： 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：× 1. 答案：√ 1. 答案：A 1. 答案：B 1. 答案：A（） 1. 答案：C B组·能力提升 1. 答案：在（）；在（）；在（）；不在（） 1. 答案： （1）；（2）第二、四象限；（3）当时，，所以点在图象上。 1. 答案： （1）；（2）；（3） 1. 答案：略（图象关于轴对称或轴对称） C组·思维拓展 1. 答案：k1＜k2＜k3 1. 答案：C 解析：由可知，又反比例函数中，∴。时反比例函数图象在第二、四象限。故选C。 1. 答案：四 解析：反比例函数的图象在第一、三象限，则，。点中横坐标，纵坐标，在第四象限。 1. 答案：D 解析：中，图象在第二、四象限。在第二象限，；、在第四象限，且，在第四象限内随的增大而增大，∴。综上，。故选D。 1. 答案：A 1. 答案： 解析：点、都在的范围内（第一象限）。若，即增大时增大，则。 1. 答案：A 1. 答案：（1）；（2） 解析：（1）在上，横坐标为2，则纵坐标，。代入，得，。 （2）联立，，，。的横坐标为2，则的横坐标为，，。 1. 答案：①②③④ 解析：中。①与关于对称，正确；②与关于原点对称，正确；③，在每一象限内随的增大而减小，正确；④时点在第三象限，，正确。故①②③④均正确。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（4题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（9题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 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