第5讲 1.3 用反比例函数解决问题（第1课时）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第5讲　1.3用反比例函数解决问题（第1课时） 【学习目标】 1. 能从实际问题中识别反比例关系，建立反比例函数模型。 1. 能正确写出反比例函数表达式，并标注自变量的实际取值范围。 1. 掌握“审题→建模→求解→检验”的基本步骤。 1. 体会反比例函数是刻画现实世界数量关系的有效模型。 【知识梳理】 一、反比例函数模型的本质 若两个变量与满足（为常数，），则是的反比例函数。 关键识别：两个变量的乘积为定值，即为反比例关系。 二、常见的反比例关系模型 类型 关系式 说明 行程问题 路程一定时，时间与速度成反比例 工程问题 工作总量一定时，时间与工作效率成反比例 面积问题 面积一定时，长与宽成反比例 体积问题 体积一定时，底面积与高成反比例 说明：物理问题（欧姆定律、杠杆原理）和经济问题将在第2课时重点学习。 三、用反比例函数解决实际问题的基本步骤 步骤 名称 操作要点 第一步 审题 分析题意，找出不变量（定值），确定两个变量是否成反比例关系 第二步 建模 设出函数表达式（），代入已知条件求出 第三步 求解 代入所需条件，求出未知量的值 第四步 检验 检验结果是否符合实际意义，写出完整答案 注意：实际问题中，自变量的取值范围不仅要满足函数本身（），还要符合实际意义（如长度、时间、速度等通常为正数，有时还需考虑具体题目中的上下界）。 做一做（即时练习）： 1. 某工程队要完成一项工程，每天完成平方米，需要天完成。若工程总量为平方米，则与的函数表达式为______，自变量的取值范围为______。 1. 矩形面积为，长为，宽为，则与的函数表达式为______。 1. 某蓄水池的容积为 m³，注水速度为 m³/h，注满所需时间为 h，则与的函数表达式为______。 1. 如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（　　） A．B．C． D． 1. 在反比例函数中，当时，______。 【典例精讲】 【例1】（课本例题·录入问题） 小明要把一篇字的社会调查报告录入电脑，打印成文。 （1）如果小明以每分钟字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？ （2）完成录入的时间（min）与录入文字的速度（字/min）有怎样的函数关系？ （3）小明希望能在 min内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 【分析】 调查报告的总字数字为定值，录入时间与录入速度成反比例关系。第（4）问需利用反比例函数的增减性求解。 【解答】 （1）由题意，得 （min）。 答：他需要 min完成录入任务。 （2）录入时间录入速度总字数， 即。 ∴ （）。 答：与的函数关系式为（）。 （3）由，当时， ， 解得。 ∵ ，在时，随的增大而减小， ∴ 要在 min内完成，，则。 答：他每分钟至少应录入个字。 【例2】（课本例题·蓄水池问题） 某厂计划建造一个容积为 m³的长方体蓄水池。 （1）蓄水池的底面积（m²）与其深度（m）有怎样的函数关系？ （2）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为 m和 m，那么蓄水池的深度至少应为多少米？ 【分析】 长方体体积 = 底面积 × 高。容积 m³为定值，底面积与深度成反比例。第（2）问需先求出底面积的最大值，再利用增减性求深度的最小值。 【解答】 （1）由长方体体积公式，得 。 ∴ （）。 答：与的函数关系式为（）。 （2）由题意，蓄水池的长与宽最多为 m和 m， ∴ 底面积最多为（m²）。 由，当时， ，解得。 ∵ ，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 当时，。 答：蓄水池的深度至少应为 m。 【跟踪练习1】 1. 小明要把一篇字的调查报告录入电脑。 （1）完成录入的时间（分）与录入速度（字/分）有怎样的函数关系？ （2）如果小明每分钟录入字，他需要多长时间才能完成录入任务？ 1. 某蓄水池的容积为 m³，注水速度为 m³/h，注满所需时间为 h。 （1）写出与的函数表达式； （2）当注水速度为 m³/h 时，需要多少小时注满？ 1. 某工程队要铺设一条米长的管道，每天铺设米，需要天完成。 （1）写出与的函数表达式； （2）若每天铺设米，需要多少天完成？ 【举一反三】 1. 某蓄水池的容积为 m³，注水速度为 m³/h，注满所需时间为 h，则与的函数表达式为______。 1. 某工程队要完成一项工程，每天完成平方米，需要天完成。若工程总量为平方米，则与的函数表达式为______。 1. 矩形面积为 m²，长为 m，宽为 m，则与的函数表达式为______，自变量的取值范围为______。 1. 在反比例函数中，当时，______；当时，______。 1. 某商场出售一批商品，在销售中发现日销售量y（件）与销售价x（元）的变化关系如下表，写出y与x之间的函数表达式 ． 售价x（元） 200 240 250 400 日销售量y（件） 30 25 24 15 1. 判断下列各题中的两个量是否成反比例关系（填“是”或“否”）： · （1）路程一定时，速度与时间______； · （2）总价一定时，单价与数量______； · （3）工作效率一定时，工作总量与工作时间______。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 路程一定时，速度与时间成______比例关系。 1. 某矩形面积为，长为，宽为，则与的函数表达式为______。 1. 某工程队要完成一项工程，每天完成平方米，需要天完成。若工程总量为平方米，则与的函数表达式为______。 1. 在反比例函数中，当时，______；当时，______。 1. 某蓄水池的容积为 m³，注水速度为 m³/h，注满所需时间为 h，则与的函数表达式为______。 1. 某工厂要生产个零件，每天生产个，需要天完成，则与的函数表达式为______，自变量的取值范围为______。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 工作总量一定时，工作时间与工作效率成反比例。（　　） 1. 矩形面积一定时，长与宽成反比例。（　　） 1. 速度一定时，路程与时间成反比例。（　　） 1. 利用反比例函数解决实际问题时，只需要列式求解即可，不需要检验结果是否符合实际意义。（　　） 三、选择题。 1. 一辆汽车从甲地到乙地，速度为 km/h，所需时间为 h。若甲乙两地相距 km，则与的函数表达式为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 某工厂要生产个零件，每天生产个，需要天完成。下列函数表达式中，正确的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 在反比例函数中，当时，的值为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 · ◆ B组·能力提升 1. 某运输公司承担了一项运送土石方的任务，需要运送的土石方总量为立方米。 （1）写出每天运送量（立方米/天）与所需天数（天）的函数表达式； （2）若该公司每天可运送土石方立方米，则完成全部运输任务需要多少天？ 1. 某市去年计划用电度，平均每天用电度，能使用天。 （1）写出与的函数表达式； （2）如果平均每天用电度，能使用多少天？ 1. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（kPa）是气体体积（m³）的反比例函数，其图象经过点。 （1）求关于的函数表达式； （2）当气体体积为 m³ 时，气压是多少？ ◆ C组·思维拓展 18.如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 19. 某工厂生产一种产品，每天生产件所需的时间为小时，已知与成反比例，且当时，。 （1）求与的函数表达式； （2）当时，是多少？ （3）若要在小时内至少完成件产品的生产，每天至少应生产多少件？ 20. 如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子． （1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 （不写自变量取值范围）； （2）当y≥4m时，x的取值范围为 ； （3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 m． (3）当时，求的值。 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 模型本质 （） 两个变量的乘积为定值 常见模型 行程、工程、面积、体积 不同情境中识别反比例关系 解题步骤 审题→建模→求解→检验 四步缺一不可 注意事项 自变量取值范围 需同时满足函数和实际意义 常见错误提醒 错误类型 正确理解 混淆正比例与反比例关系 为正比例，为反比例，本质不同 忽略自变量的实际取值范围 实际问题中通常为正数（或正整数），要标注取值范围 忘记检验答案是否符合实际 结果要为非负数、整数等，不符合的要舍去 学习建议 1. 遇到实际问题，先问自己：哪个量是不变的定值？ 找到定值就找到了反比例关系的核心。 1. 列式后一定要标注自变量的取值范围，养成好习惯。 1. 检验答案时，看是否符合题目中的实际意义（如人数不能为小数、长度不能为负数等）。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：；（为正整数） 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案：A 1. 答案：（） 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1）（）；（2）分钟 1. 答案：（1）（）；（2）小时 1. 答案：（1）（）；（2）天 举一反三 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案：；（；，） 1. 答案： 1. 答案：（1）是；（2）是；（3）否（工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例） A组·基础过关 1. 答案：反 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案：；（；，） 1. 答案：（） 1. 答案：（，且为正整数） 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：×（速度一定时，路程与时间成正比例） 1. 答案：×（必须检验结果是否符合实际意义） 1. 答案：B 1. 答案：B 1. 答案：A（） 1. 答案：C B组·能力提升 1. 答案： （1）（）； （2）当时，（天）。 1. 答案： （1）（）； （2）当时，（天）。 1. 答案： （1）设，代入，，， ∴ （）； （2）当时，（kPa）。 C组·思维拓展 1. 答案：B 【解析】过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于. ，， ，. 又， ， ， 点坐标为 将点坐标为代入，可得=4. 与同理，可得到， ， 点坐标为，正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点坐标为 将点坐标为代入，可得=2. 故选B. 1. 答案： （1）设，代入，，， ∴ （）； （2）当时，（件）； （3）由，当时，（件）。 由，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 要在小时内至少完成件，，则。 答：每天至少应生产件。 1. 答案： 解：（1）依题意得：xy＝12， ∴y． 故答案为：y． （2）∵y，k＝12， 当x＞0时，y随x的增大而减小， ∵4≤y≤10， 即410， ∴1.2≤x≤3． ∴x的取值范围为1.2≤x≤3． 故答案为：1.2≤x≤3． （3）当x＝7.5时，y1.6； 当y＝7.5时，7.5， 解得：x＝1.6． ∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m． 故答案为：1.6． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（6题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $