第二十三章 一次函数（解答题30题） 热点题型专练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数核心素养，以30道解答题构建从概念到综合应用的完整训练体系，强化数学建模与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与解析式|第2、28题|正比例函数定义、待定系数法求解析式|从正比例函数到一次函数概念延伸，强化代数表达| |图像与性质应用|第1、7、10题|函数图像分析、交点与面积计算|结合图像理解斜率与截距意义，培养几何直观| |实际问题建模|第3、4、13题|弹簧长度、浮箭漏计时、购票方案|从物理/生活情境抽象函数关系，发展模型意识| |几何综合应用|第5、6、20题|垂点定义、平行四边形存在性、折叠问题|函数与几何图形结合，提升推理能力与空间观念|

第二十三章 一次函数（解答题30题） 1．某校甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树20棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为（棵），乙班植树的总量为（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时），分别与x之间的部分函数图象如图所示．    (1)当时，分别求与x之间的函数关系式． (2)如果甲、乙两班均保持前4个小时的工作效率，通过计算说明，当时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过180棵． 2．已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图像上，求a的值． 3．小南在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．他通过实验验证了这个事实，他的测量结果如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 弹簧的长度 3 4 5 6 (1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式 (2)小南妈妈在市场买了水果，小南将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你通过计算帮助小南确定该市场老板的称是否足称． 4．《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校课外小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 (1)【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点； ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． (2)【结论应用】应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午7∶30，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 5．对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足或，则称M为线段的垂点．特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点． (1)如图1，在点中，线段的垂点是 ； (2)直线分别交坐标轴于点和点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点M，求b的值； ②如图3，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的最小值是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C． (1)直线的解析式为________________； (2)求点C的坐标； (3)若点M为x轴上一动点，当的值最小时，求点M的坐标； (4)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 7．画出一次函数的图象． 8．如图1，△为等边三角形，，点从点出发，以每秒个单位长度沿着运动到点停止，作交直线于，设，点的运动时间为． (1)直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质． 9．周末，小阳一家人准备去离家的公园野餐，小阳和爸爸为了锻炼身体骑自行车以的速度从家先出发，后妈妈带着户外野餐装备从家开车沿同一条路追赶小阳，小阳到达公园后妈妈赶到．如图①是小阳一家所走路程y(单位：)关于出发时间x(单位：)的函数关系图象．    (1)求点B的坐标； (2)求线段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)请在图②中画出小阳和妈妈之间的距离 (单位：)关于出发时间x(单位：)的函数图象． 10．已知一次函数的图象经过点和．    (1)求此函数的解析式，并画出图象． (2)求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积． 11．已知一次函数. (1)点和点是否在图象上？ (2)求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；并在平面直角坐标系中，画出函数的图象 (3)在（2）的条件下，求出的面积； 12．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，．点P从点A出发，沿运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t秒，的面积为S． (1)写出S关于t的函数解析式：当时，函数解析式为__________；当时，函数解析式为；当时，函数解析式为__________； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出______， ______． (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当______时，． 13．五一假期结束后，为了吸引游客，甘肃定西的贵清山国家森林公园推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费，门票每人每次25元． 乙：购买一张贵清山国家森林公园年卡后，门票每人每次按五折优惠． 设某人一年内去贵清山国家森林公园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数解析式． (2)购买一张贵清山国家森林公园年卡的费用为_____元． (3)小明准备利用本学期的周末去贵清山国家森林公园完成“生物多样性”的课题实践活动，他选择哪种购票方式更划算？请说明理由． 14．每年4月23 日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示： (1)请求出当时，y与x的函数关系式； (2)若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25 元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？ 15．“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？ (2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 16．随着《哪吒2》票房大卖，周边玩偶也开始热销起来．某商店老板准备购进A款和B款两种玩偶进行销售，已知两种玩偶的进价和售价如下表所示： A B 进价（元） 10 15 售价（元） 12 20 (1)商店老板打算购进A、B两款玩偶共100件，其中A款玩偶x件， A、B两款玩偶全部出售完共获利润为W元，请写出W与x之间的函数关系式． (2)若A款玩偶数量不少于B款玩偶数量的一半，请你根据计算说明，当A、B两款玩偶各购进多少件时，商店老板获得的总利润最高，最高是多少元？ 17．中超联赛蓉城主场门票分为普通票和优选区票，已知优选区票单价比普通票贵100元；用1320元购买普通票的数量，与用2420元购买优选区票的数量相等． (1)普通票和优选区票的单价分别为多少元？ (2)某球迷协会计划购买这两种门票共40张，计划总费用不超过7000元，且优选区票数量不少于普通票数量的一半，有多少种购票方案？哪种方案总费用最少？最少是多少元？ 18．综合与实践 如何设计购买方案？ 素材1 AI教学的引进能提升学习效率，培养创新思维，适应未来社会需求．某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购，两种型号的设备共20台． 素材2 购买3台A型号设备和4台B型号设备共需11万元，购买5台A型号设备和2台B型号设备共需9万元． 问题解决 任务1 确定价格 求两种型号设备的单价． 任务2 探究函数关系 若该校准备采购型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 该校负责人考虑到预算等问题，得出的取值范围为（为整数），则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少万元？ 19．建立模型： (1)如图1，已知在中，，，顶点C在直线l上．过点A作于点D，过点B作于点F．求证：． (2)模型应用：（问题解决） 如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，． a：点A、B的坐标分别为A______，B______； b：求点C坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标． (3)类比探究： 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B坐标为，过点B作x轴的垂线l，点P是直线l上一个动点，点D是直线上的一个动点，若是以点D为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点．判断四边形OACB的形状并证明 (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的边，在轴的正半轴上，点与点重合，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕所在直线的函数解析式． 22．如图，已知在平面直角坐标系中，，，，将沿直线OB折叠，点A落在点D处，OD交BC边于点E， (1)求证：四边形OABC为矩形； (2)求直线OD的解析式． 23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点，． (1)点，的坐标分别为 ， ； (2)求证：点，，在一条直线上． 24．在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值，直接写出的取值范围． 25．如图，直线的函数表达式为：与x轴和y轴分别交于A，B两点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若P为直线上一点，连接，当面积为6时，求P的坐标； (3)若直线，与直线、直线不能围成三角形，请直接写出m的值． 26．在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 27．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，． (1)求直线的函数表达式； (2)求线段的长度； (3)将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形． ①直接写出点坐标； ②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式． 28．已知一次函数的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2），求这个函数的解析式． 29．为巩固拓展脱贫攻坚成果，开启乡村振兴发展之门，某村村民组长组织村民加工板栗并进行销售．根据现有的原材料，预计加工规格相同的普通板栗、精品板栗共4000件．某天上午的销售件数和所卖金额统计如下表： 普通板栗（件） 精品板栗（件） 总金额（元） 甲购买情况 2 3 350 乙购买情况 4 1 300 (1)求普通板栗和精品板栗的单价分别是多少元． (2)根据（1）中求出的单价，若普通板栗和精品板栗每件的成本分别为40元、60元，且加工普通板栗a件（），则4000件板栗的销售总利润为w元．问普通板栗和精品板栗各加工多少件，所获总利润最多？最多总利润是多少？ 30．如图，直线，相交于点．试求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数（解答题30题） 1．某校甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树20棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为（棵），乙班植树的总量为（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时），分别与x之间的部分函数图象如图所示．    (1)当时，分别求与x之间的函数关系式． (2)如果甲、乙两班均保持前4个小时的工作效率，通过计算说明，当时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过180棵． 【答案】(1) (2)甲、乙两班植树的总量之和能超过180棵，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程相结合． （1）通过看图，分析各数据，根据一次函数的性质，列出方程组，求出k、b的值，再列出函数关系式，需注意取值范围； （2）将数据代入函数关系式即可求出． 【详解】（1）设， 将坐标代入，得 则， ∴， ∴， 当时，， 设， 将和分别代入， 解得，， ∴； （2）当时， ， 即甲、乙两班植树的总量之和能超过180棵； 2．已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图像上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，以及已知函数值求函数自变量的问题． （1）设该函数的解析式为：，把，代入一次函数解析式，求出k值，整理得出该函数的解析式． （2）把代入（1）求出的一次函数解析式中，解方程就可以求出a值． 【详解】（1）解：设， 把，代入得． 解得：． ∴， 即 （2）把点代入 得：， 解得． 3．小南在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．他通过实验验证了这个事实，他的测量结果如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 弹簧的长度 3 4 5 6 (1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式 (2)小南妈妈在市场买了水果，小南将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你通过计算帮助小南确定该市场老板的称是否足称． 【答案】(1)； (2)该市场老板的称足称． 【分析】（1）设与的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的关系式，求出的值，即可得解． 【详解】（1）设弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得， ∴； （2）将代入得， ， 解得， ∵， ∴该市场老板的称足称． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式． 4．《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校课外小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 (1)【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点； ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． (2)【结论应用】应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午7∶30，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】(1)①见解析，②在一条直线上， (2)①箭尺的读数为78厘米，  ②当箭尺读数为90厘米时是21∶30 【分析】（1）、①在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点，②用待定系数法求解即可； （2）、①将，代入（1）求出的解析式即可，②将代入（1）求出的解析式即可． 【详解】（1）①、描点如下图： ②、观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上， 设这条直线的解析式为： ， 将 代入得： ， 解得： ， ， 这条直线所对应的函数表达式为：； （2）①、当时，， ∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米； ②、当 时， ，解得 ， ∴供水时间为14个小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午7∶30， ∴当箭尺读数为90厘米时是21∶30． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，待定系数法求解析式，坐标轴中描点等知识，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键． 5．对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足或，则称M为线段的垂点．特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点． (1)如图1，在点中，线段的垂点是 ； (2)直线分别交坐标轴于点和点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点M，求b的值； ②如图3，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的最小值是 ． 【答案】(1) (2)①b的值为或；② 【分析】（1）根据求出，根据，得，得，点C不是线段的垂点；根据，得，得，点D是线段的垂点；根据，得，得，点E不是线段的垂点；根据，得，得，点F是线段的垂点； （2）①当时，得点，则线段的等垂点M在上，过点M作轴于点G，或过点作轴于点H，可证得，进而可得或，代入，即可求得b的值；②过点Q作，交y轴于点E，设，由，，得，解得（舍去），，得，求出直线解析式，当过点时，；当过点时，；当过点时，；得；过点P作交x轴于点F，求出解析式，当过点时，；当过点时，；当过点时，；得；综上，．即得t的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点D是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点E不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点F是线段的垂点； 综上所述，点D、F是线段的垂点； 故答案为：； （2）解：①当时，点， 设点M是直线上存在线段的等垂点， 过点M作轴于点G，或过点作轴于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可得：， ∴， 解得； ∴b的值为或； ②过点Q作，交y轴于点E，设， 则， ∵，， ∴，，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当过点时，； 当过点时，； 当过点时，． ∴． 过点P作交x轴于点F， 则， ∴设直线解析式为， 把代入， 得， ∴， 当过点时，； 当过点时，； 当过点时，． ∴． 综上，． ∴t的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义——线段的垂点．熟练掌新定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，一次函数图象和性质，一次函数平移，分类讨论，是解决问题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C． (1)直线的解析式为________________； (2)求点C的坐标； (3)若点M为x轴上一动点，当的值最小时，求点M的坐标； (4)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点N的坐标为或或 【分析】（1）根据“左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减”即可求解； （2）将直线与解析式联立，解二元一次方程组，即可得到点C的坐标； （3）作点C关于x轴的对称点，根据轴对称的性质可得，当三点共线时，取最小值，求出直线与x轴的交点坐标即可； （4）设点N的坐标为，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：直线：向下平移4个单位长度得到直线：， 故答案为：； （2）解：将直线与解析式联立， 得：， 解得， 点C的坐标为； （3）解：如图，作点C关于x轴的对称点，则， 当三点共线时，等号成立，取最小值，最小值为的长度，如图： 由（2）知点C的坐标为， ， 直线：中，令，得， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 令，得， 解得， 点M的坐标为； （4）解：存在，点N的坐标为或或． 理由如下： 直线：中，令，得， 解得， 点A的坐标为， 直线：中，令，得， 解得， 点B的坐标为． 设点N的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为； 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为； 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为． 综上可知，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，平行四边形存在性问题，轴对称的性质等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 7．画出一次函数的图象． 【答案】见解析 【分析】本题考查作一次函数的图象，理解一次函数图象的性质，根据两点确定一条直线作出函数图象是解题关键． 分别求得一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，从而作出函数图象． 【详解】解：在一次函数中， 当时，； 当时，； ∴一次函数的图象与两坐标轴交于和两点， 如图： 8．如图1，△为等边三角形，，点从点出发，以每秒个单位长度沿着运动到点停止，作交直线于，设，点的运动时间为． (1)直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y取最小值3(答案不唯一) 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及一次函数及图象，解题关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，，可得，，分两种情况：当时可得；当时，可得． （2）描点再顺次连接各点可得函数图象，由图象可得函数一条性质． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ； ， ，， ； 当，如图， ， ， 当时，如图， ， ， ； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 画出函数图象如下： 由图象可知，当时，y取最小值3(答案不唯一)． 9．周末，小阳一家人准备去离家的公园野餐，小阳和爸爸为了锻炼身体骑自行车以的速度从家先出发，后妈妈带着户外野餐装备从家开车沿同一条路追赶小阳，小阳到达公园后妈妈赶到．如图①是小阳一家所走路程y(单位：)关于出发时间x(单位：)的函数关系图象．    (1)求点B的坐标； (2)求线段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)请在图②中画出小阳和妈妈之间的距离 (单位：)关于出发时间x(单位：)的函数图象． 【答案】(1)点B 的坐标为 (2) (3)    【分析】（1）由路程除以速度可得小阳所用时间，化单位后可得B的坐标； （2）用待定系数法可得函数表达式； （3）求出特殊点时y的值，描点连线即可得函数图象． 【详解】（1）解：∵小阳和爸爸到达公园的时间为 ， ∴点B 的坐标为； （2）解：由题图①可知，点A 的坐标为， ∵小阳到达公园 后妈妈赶到，， ∴点C的坐标为， 设线段的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段的函数表达式为； （3）解：由题图①可知： ①小阳出发，妈妈未出发时，小阳和妈妈之间的距离可表示为； ②妈妈出发，小阳还未到达公园时，小阳和妈妈之间的距离可表示为 ； ③小阳到达公园，妈妈未到达公园时，小阳和妈妈之间的距离可表示为； 故画出函数图象如解图所示． 【点睛】本题考查了一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式及运用数形结合思想． 10．已知一次函数的图象经过点和．    (1)求此函数的解析式，并画出图象． (2)求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积． 【答案】(1)，图象见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，然后用描点法画出一次函数图象； （2）先求出一次函数图象与坐标轴的两交点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 根据题意得，解得， 所以一次函数解析式为， 函数图象，如图所示，    （2）直线与坐标轴相交于、两点，如图， 当时，，当时，， 则，，即： 所以， 即函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积及画函数图象． 11．已知一次函数. (1)点和点是否在图象上？ (2)求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；并在平面直角坐标系中，画出函数的图象 (3)在（2）的条件下，求出的面积； 【答案】(1)点C不在函数图象上，点D在函数图象上 (2)，；图见解析 (3)4 【分析】（1）把、分别代入解析式，即可判断是否在图象上． （2）把、分别代入解析式，即可求出A、B的坐标，根据A、B的坐标即可画出函数图象． （3）根据即可求出答案． 【详解】（1）由题意知，一次函数解析式为 当时，代入解析式得： 点不在函数图象上 当时，代入解析式得： 点在函数图象上 点C不在函数图象上，点D在函数图象上； （2）当时，代入解析式得： 与y轴的交点B的坐标为 当时，代入解析式得： 解得： 与x轴的交点A的坐标为 A的坐标为，B的坐标为； 函数的图象为： （3） 的面积为4． 【点睛】本题考查了一次函数图象性质，掌握一次函数图象相关知识点是解题的关键． 12．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，．点P从点A出发，沿运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t秒，的面积为S． (1)写出S关于t的函数解析式：当时，函数解析式为__________；当时，函数解析式为；当时，函数解析式为__________； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出______， ______． (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当______时，． 【答案】(1)； (2)2；4 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据三角形面积公式，写出函数解析式即可； （2）根据函数解析式，得出m、n的值即可； （3）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （4）把分别代入和，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴， ∵E为的中点， ∴， 当时，点P在上，，则： ； 当时，点P在上，，则： ； （2）解：把代入得：，即； ∵时，函数解析式为， ∴时，，即； （3）解：函数图象，如图所示： （4）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； 综上，当或时，． 13．五一假期结束后，为了吸引游客，甘肃定西的贵清山国家森林公园推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费，门票每人每次25元． 乙：购买一张贵清山国家森林公园年卡后，门票每人每次按五折优惠． 设某人一年内去贵清山国家森林公园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数解析式． (2)购买一张贵清山国家森林公园年卡的费用为_____元． (3)小明准备利用本学期的周末去贵清山国家森林公园完成“生物多样性”的课题实践活动，他选择哪种购票方式更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)100 (3)当次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当次数大于8时，选择乙种购票方式更划算，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，两直线的交点问题．利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式，即可直接得出答案； （3）求出两直线交点，结合图象即可解答． 【详解】（1）解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为； 设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为； （2）解：∵选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 当时，， ∴购买一张动物园年卡的费用为100元． 故答案为：100； （3）解：联立，解得：， ∴直线与直线的交点为． ∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即， ∴此时选择甲种购票方式更划算； 当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算； 当时，直线在直线的图象上方，即， ∴此时选择乙种购票方式更划算． 14．每年4月23 日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示： (1)请求出当时，y与x的函数关系式； (2)若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25 元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)应购买甲种图书180本，乙种图书120本，利润最大，最大为是1800元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键． （1）利用待定系数法求出关系式即可； （2）先求出当时，设y与x的函数关系式，再设书店所获利润为w元，可得w关于x的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为； （2）解：当时，设y与x的函数关系式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 设书店所获利润为w元，则有 ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 答：应购买甲种图书180本，乙种图书120本，利润最大，最大为是1800元． 15．“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？ (2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元 (2)冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元 【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价是x元，可得，解方程并检验可得“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元； （2）设“冰墩墩”购进m个，一月份销售利润为w元，则，解得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”的销售单价是x元，则“雪容融”的销售单价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴（元）， 答：“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元； （2）解：设1月份销售利润为w元，“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”玩具为个， 则， 解得：， 由题意得：， ∵， ∴随m的增大而减小， ∴当时，w最大值， 答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元． 【点睛】本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程、不等式及函数关系式． 16．随着《哪吒2》票房大卖，周边玩偶也开始热销起来．某商店老板准备购进A款和B款两种玩偶进行销售，已知两种玩偶的进价和售价如下表所示： A B 进价（元） 10 15 售价（元） 12 20 (1)商店老板打算购进A、B两款玩偶共100件，其中A款玩偶x件， A、B两款玩偶全部出售完共获利润为W元，请写出W与x之间的函数关系式． (2)若A款玩偶数量不少于B款玩偶数量的一半，请你根据计算说明，当A、B两款玩偶各购进多少件时，商店老板获得的总利润最高，最高是多少元？ 【答案】(1) (2)商场购进A款玩偶件，购进B款玩偶件，商店老板获得的总利润最高，最高是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，主要利用了一次函数的增减性，理清题目数量关系并列式是解题的关键． （1）由购进A款玩偶x件，则购进B款玩偶件，然后根据题意列出函数解析式即可； （2）根据A款玩偶数量不少于B款玩偶数量的一半，列出一元一次不等式，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． 【详解】（1）解：商店购进A款玩偶x件，则购进B款玩偶件， 由题意可得：， ∴W与x之间的函数关系式：； （2）解：根据题意：， 解得：， ∵为非负整数， ∴（为整数）， ∵， ∴,随的增大而减小， 当时，取得最大值为（元）， 此时（件）． 答：商场购进A款玩偶件，购进B款玩偶件，商店老板获得的总利润最高，最高是元． 17．中超联赛蓉城主场门票分为普通票和优选区票，已知优选区票单价比普通票贵100元；用1320元购买普通票的数量，与用2420元购买优选区票的数量相等． (1)普通票和优选区票的单价分别为多少元？ (2)某球迷协会计划购买这两种门票共40张，计划总费用不超过7000元，且优选区票数量不少于普通票数量的一半，有多少种购票方案？哪种方案总费用最少？最少是多少元？ 【答案】(1)普通票单价为120元，优选区票单价为220元； (2)共有9种购票方案，当购买普通票26张、优选区票14张时总费用最少，最少总费用为6200元 【分析】（1）设普通票单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买普通票张，根据题意列一元一次不等式组，得到的取值范围，再取整数解得到购票方案的数量；再设总费用为，得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设普通票单价为元，则优选区票单价为元， 则， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 答：普通票单价为120元，优选区票单价为220元； （2）解：设购买普通票张，则购买优选区票张， 则， 解得：， 为整数， 的可能取值为18、19、20、21、22、23、24、25、26， 共有9种购票方案， 设总费用为，则， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值为，此时， 即当购买普通票26张、优选区票14张时总费用最少，最少总费用为6200元． 18．综合与实践 如何设计购买方案？ 素材1 AI教学的引进能提升学习效率，培养创新思维，适应未来社会需求．某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购，两种型号的设备共20台． 素材2 购买3台A型号设备和4台B型号设备共需11万元，购买5台A型号设备和2台B型号设备共需9万元． 问题解决 任务1 确定价格 求两种型号设备的单价． 任务2 探究函数关系 若该校准备采购型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 该校负责人考虑到预算等问题，得出的取值范围为（为整数），则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少万元？ 【答案】任务1：A型号为1万元，B型号为2万元 ；任务2：；任务3：当采购型号设备7台，型号设备13台时，才能使总费用最低，总费用最低为33万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． 任务1：设型号设备的单价为万元，型号设备的单价为万元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：采购型号设备台，则采购型号设备台，根据题意列函数关系式即可； 任务3：根据一次函数的性质作答即可． 【详解】任务1：解：设型号设备的单价为万元，型号设备的单价为万元． 根据题意，得 解得 答：A型号设备的单价为1万元，B型号设备的单价为2万元． 任务2：解：采购型号设备台，则采购型号设备台． 所以． 所以与的函数关系式为． 任务3：解：在中，因为，所以随的增大而减小． 又因为，且为整数，所以当取最大值7时，的值最小． ． 此时（台）． 答：当采购型号设备7台，型号设备13台时，才能使总费用最低，总费用最低为33万元． 19．建立模型： (1)如图1，已知在中，，，顶点C在直线l上．过点A作于点D，过点B作于点F．求证：． (2)模型应用：（问题解决） 如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，． a：点A、B的坐标分别为A______，B______； b：求点C坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标． (3)类比探究： 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B坐标为，过点B作x轴的垂线l，点P是直线l上一个动点，点D是直线上的一个动点，若是以点D为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)a：，；b； (3)，或， 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据坐标轴上点的特点建立方程即可求出点A、B的坐标，过点C作轴于点D，证明，从而求得、，即可求得点D的坐标； （3）同（2）的方法构造出，分两种情况，建立方程求解即可求出结果． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， ∴在和中， （2）解：由题意可得：将代入，得， ∴点B的坐标为； 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为； ，， 如图，过点C作轴于点D， 由（1）同理可证 ， ，， ， ∴点C的坐标为 ， 故答案为：a：，；b：． （3）解：如图，过点D作轴于点F，延长交于G，则， ∵点D在直线， ∴设点， ∴，， 轴，， ， ∵点A坐标为，所以． 由（2）同理可得， ，， ， ，解得或， ∴所以点D的坐标为或． 当时，，， 所以，，所以，所以， 当时，，， 所以，，所以， 所以． 综上所述，点D与点P的坐标为，或，． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用、全等三角形的判定和性质和方程的思想，构造全等三角形是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点．判断四边形OACB的形状并证明 (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线l₂的解析式为y=2x－5 (2)四边形OABC是菱形，证明见解析 (3)存在，点P的坐标为：（3，－9），（7，－6），（，） 【分析】（1）解方程得到A（4，3），待定系数法即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，折叠的性质得到：OB＝OC，OA＝AC，从而有OA＝OB＝BC＝AC，于是得到结论； （3）如图，过C作CM⊥OB于M，求得CM＝OD＝4，得到C（4，−2），过P1作P1N⊥y轴于N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线l1：与直线l2：y＝kx＋b相交于点A（a，3）， ∴A（4，3）， ∵直线交l2交y轴于点B（0，−5）， ∴y＝kx−5， 把A（4，3）代入得，3＝4k−5， ∴k＝2， ∴直线l2的解析式为y＝2x−5． （2）解：四边形OABC是菱形，理由如下： ∵， ∴OA=OB， ∵将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB， ∴OB=BC，OA=AC， ∴OA=OB=BC=AC， ∴四边形OABC是菱形． （3）解：如图，过C作CM⊥OB于M， 则CM＝OD＝4， ∵BC＝OB＝5， ∴BM＝3， ∴OB＝2， ∴C（4，−2）， 过P1作P1N⊥y轴于N， ∵△BCP是等腰直角三角形， ∴∠CBP1＝90°， ∴∠MCB＝∠NBP1， ∵BC＝BP1， ∴△BCM≌△P1BN（AAS）， ∴BN＝CM＝4， ∴P1（3，−9）； 同理可得，P2（7，−6）； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴当时，为的中点， ∴P3（，）； 综上所述，点P的坐标是（3，−9）或（7，−6）或（，）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的求得P点的坐标是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的边，在轴的正半轴上，点与点重合，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕所在直线的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，由折叠的性质可得：，则，根据等角对等边可得，即可证明为等腰三角形； （2）由点坐标可知，，由折叠的性质得：，设，根据勾股定理求出，求出点，点，设折痕所在直线的函数解析式，求出函数解析式即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰三角形； （2）解：四边形是矩形，点坐标为， ，， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ，， 点，点 设折痕所在直线的函数解析式， 则， 解得， ∴折痕所在直线的函数解析式． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，等腰三角形的判定，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 22．如图，已知在平面直角坐标系中，，，，将沿直线OB折叠，点A落在点D处，OD交BC边于点E， (1)求证：四边形OABC为矩形； (2)求直线OD的解析式． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据点的坐标，即可得到OA=BC=4，OC=OB=2，即可证得四边形OABC是平行四边形，由∠AOC=90°，即可证得四边形OABC为矩形； （2）根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB=∠EBO，进而可得出OE=BE，设点E的坐标为（m，2），则OE=BE=4-m，CE=m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式． 【详解】（1）证明：∵A（4，0），B（4，2），C（0，2），O（0，0）， ∴OA=BC=4，OC=OB=2， ∴四边形OABC是平行四边形， ∵∠AOC=90°， ∴四边形OABC为矩形； （2）解：∵四边形OABC为矩形， ∴∠EBO=∠AOB． 又∵∠EOB=∠AOB， ∴∠EOB=∠EBO， ∴OE=BE． 设点E的坐标为（m，2），则OE=BE=4-m，CE=m， 在Rt△OCE中，OC=2，CE=m，OE=4m， ∴（4-m）2=22+m2， ∴m=， ∴点E的坐标为（，2）． 设OD所在直线的解析式为y=kx， 将点E（，2）代入y=kx中， 2=，解得：k=， ∴OD所在直线的解析式为y=． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点，． (1)点，的坐标分别为 ， ； (2)求证：点，，在一条直线上． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了点坐标的平移变换、求一次函数的解析式，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． （1）根据点坐标的平移变换规律求解即可得； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线经过点，由此即可得证． 【详解】（1）解：∵将点，分别向下平移3个单位长度得到点，， ∴，， 即，， 故答案为：，． （2）证明：设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴直线经过点， ∴点，，在一条直线上． 24．在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据函数解析式求出交点横坐标，根据坐标特征进行证明； （2）根据题意得出，然后分三种情况进行讨论，根据一次函数的性质等即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴即两直线的交点的横坐标为， ∵， ∴， ∴点一定不在直线上； （2）解：∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值， ∴， ∴， 当时，恒成立，故满足题意； 当时，随的增大而减小，需满足时值大于等于0，即， 解得； 当时，解得，这与当时，矛盾，应舍去； ∴． 25．如图，直线的函数表达式为：与x轴和y轴分别交于A，B两点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若P为直线上一点，连接，当面积为6时，求P的坐标； (3)若直线，与直线、直线不能围成三角形，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或1或3 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，，进而求出，则点P只能在点E上方或在点D下方，据此画出对应的示意图，讨论求解即可； （3）根据题意可得直线与直线平行或直线与直线平行或这三条直线交于一点，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，且点C在y轴的正半轴上， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵P为直线上一点，且面积为6，且， ∴点P只能在点E上方或在点D下方， 当点P在点E上方时，如图所示， ∴， ∴， 解得， ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 当点P在点D下方时，如图所示， ∴， 即， 解得 ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：∵直线，与直线、直线不能围成三角形， ∴直线与直线平行或直线与直线平行或这三条直线交于一点， 当直线与直线平行时，则， 当直线与直线平行时，则， 当这三条直线交于一点，即直线经过点时， 则， ∴， 综上所述，m的值为或1或3． 26．在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用， （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）当时，，当时，，根据题意可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知：点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 当时，， ∵当时，函数的值大于函数的值且小于5， ∴， 解得：． 27．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，． (1)求直线的函数表达式； (2)求线段的长度； (3)将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形． ①直接写出点坐标； ②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式． 【答案】(1) (2)5 (3)①点坐标为；②或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形全等的判定及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题可知，求出，即可求； （3）①过点作轴交于，可得，则，，即可求； ②求出直线的解析式为，直线的解析式为，则点在直线关于直线对称的直线a∶上，或点在直线a∶关于直线的对称直线∶上． 【详解】（1）解：将点、代入， ， 解得， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：①过点作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②， ∴ ∴，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴设直线的解析式为， 把代入，得 解得∶， 直线的解析式为， 当时，则， 设直线交y轴于F，则， ∴ 当与正方形面积相等时， 则点P在直线关于直线对称的直线a上，或在直线a关于直线对称的直线 上，如图， ∴ 设直线a交y 轴于G ， 则， ∴， ∴直线a的解析式为， 设直线交y 轴于H ， 则， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ∴点在直线或上． 28．已知一次函数的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2），求这个函数的解析式． 【答案】 【分析】设这个函数的解析式为，利用待定系数法即可得． 【详解】解：设这个函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， 则这个函数的解析式为． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 29．为巩固拓展脱贫攻坚成果，开启乡村振兴发展之门，某村村民组长组织村民加工板栗并进行销售．根据现有的原材料，预计加工规格相同的普通板栗、精品板栗共4000件．某天上午的销售件数和所卖金额统计如下表： 普通板栗（件） 精品板栗（件） 总金额（元） 甲购买情况 2 3 350 乙购买情况 4 1 300 (1)求普通板栗和精品板栗的单价分别是多少元． (2)根据（1）中求出的单价，若普通板栗和精品板栗每件的成本分别为40元、60元，且加工普通板栗a件（），则4000件板栗的销售总利润为w元．问普通板栗和精品板栗各加工多少件，所获总利润最多？最多总利润是多少？ 【答案】(1)普通板栗的单价为55元，精品板栗的单价为80元； (2)普通板栗加工1000件，精品板栗加工3000件，所获总利润最多，最多总利润是75000元． 【分析】（1）设普通板栗的单价为x元，精品板栗的单价为y元，根据表格列出二元一次方程组，求解即可得； （2）加工普通板栗a件，则加工精品板栗件，根据题意可得利润的函数关系式，根据一次函数的性质及自变量的取值范围可得当时，所获总利润w最多，代入求解即可得． 【详解】（1）解：设普通板栗的单价为x元，精品板栗的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：普通板栗的单价为55元，精品板栗的单价为80元； （2）解：加工普通板栗a件，则加工精品板栗件， 由题意得：， ∵，， ∴当时，所获总利润w最多， ， ∴， 答：普通板栗加工1000件，精品板栗加工3000件，所获总利润最多，最多总利润是75000元． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及一次函数的最大利润问题，理解题意，列出方程及函数解析式是解题关键． 30．如图，直线，相交于点．试求出点的坐标． 【答案】点的坐标为． 【分析】根据待定系数法解出两个直线的解析式后列出方程解答即可． 【详解】解：设直线l2的解析式为y=kx+b， 因为经过点，， 所以 解得 ∴的表达式为． 同理，可求出的表达式为． 解方程组得 所以，点的坐标为． 【点睛】此题考查两直线相交问题，关键是根据待定系数法解出两直线的解析式列出方程． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $