期末提升必刷（解答题30题）热点题型专练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦期末高频解答题，以代数建模、几何推理、统计应用及动态探究为核心，覆盖初中数学核心知识点，注重数学眼光、思维与语言的综合运用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合|8题|函数关系建立、化简求值、方程求解|从数量关系抽象到模型构建，强化运算能力与符号意识| |几何作图与证明|7题|尺规作图、平行四边形及特殊三角形证明|以图形性质为基础，培养几何直观与推理能力| |统计与应用|5题|数据分析、方案优化、利润计算|通过真实情境发展数据意识与应用意识| |动态与创新|10题|旋转、动点、新定义问题|结合运动变化，提升空间观念与创新意识|

期末提升必刷（解答题30题） 1．绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张元，学生票每张元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案：购买一张成人票赠送一张学生票；方案：按总价的付款，某校有名老师与若干名不少于人学生听音乐会． (1)设学生人数为人，付款总金额为元，分别建立两种优惠方案中与的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案． 2．（1）已知，求的值． （2），．求值：． 3．先化简再求值：，其中． 4．计算： (1) (2)解方程组： 5．先化简，再求值：，其中． 6．计算 (1)； (2)． 7．如图，在中，，点D在边上．    (1)求作：点E，使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)以（1）中的边为斜边作等腰直角三角形，若点F在射线的延长线上，求证：． 8．在日常生活中，图形的面积等分问题常常蕴含着丰富的数学原理与构造方法，如分蛋糕、规划土地等场景都与这类问题密切相关．下面我们通过探究，感受面积等分中的数学严谨性与构造之美． 【基础探究】 (1)如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上． ①用无刻度的直尺，过点画一条直线，使直线将分成面积相等的两部分； ②若在此网格内找一个格点（不与点重合），使得的面积和的面积相等，则符合条件的格点有__________个． 【迁移应用】 受到上述探究的启发，小明同学思考：在任意三角形中，能否过边上任意一点作一条直线平分三角形的面积呢？ (2)如图2，在任意中，点是边上一点，．请用圆规和无刻度的直尺，过点作一条直线，使直线将分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹） 【创新应用】 (3)某社区有一块四边形空地（如图3），现计划要从边上一点出发修建一条笔直的小路（看作线段）交于点，使得小路将这块空地分为面积相等的两部分，分别用于种植两种不同的绿植． ①请在图中画出小路的示意图（不需要尺规作图），并适当说明步骤： ②若上述四边形满足，，，，，点仍是边上一点，且小路将四边形分为面积相等的两部分，小路交于点，连接，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 9．尺规作图：如图，在中，．作菱形，使得在上，在上，在上；（不写作法，保留痕迹） 10．如图，在中，．    (1)尺规作图：在上截取，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：平分． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，作∠DAB的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：试猜想DC与BE有怎样的数量关系，并说明理由． 12．新定义：在直角三角形中，过锐角顶点剪一刀，若剪痕将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条剪痕为直角三角形的“斜腰线”． (1)如图1，在中，，请画出的“斜腰线”，并标出被斜腰线分得的两角的度数． (2)如图2，在中，，分别是 和的“斜腰线”，若，，求的长． 13．2025年，“人形机器人”“”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生的信息技术水平进行测试，现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析(得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，组：，组：，组：，组：)下面给出了部分信息： 九年级被抽取的学生测试得分中组的所有数据为：，，，，，，，． 八年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 九年级被抽取学生测试得分扇形统计图 平均数 众数 中位数 八年级 分 分 分 九年级 分 分 分 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)上述图表中：______________，______________，______________； (2)在测试中等级为及以上说明学生对人工智能的关注与了解程度就达标．该校八、九年级共有学生人，估计该校八、九年级中达标的学生共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校八年级和九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度较好？请说明理由． 14．素材1：某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天， 素材2：经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3：由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． (1)求甲、乙两部门每天分别生产多少个传统艺术织品？ (2)若设甲部门工作m天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少是多少？ 15．山西省打造标准化可复制的社区“养老托育”新模式，树立山西“养老托育”的新标杆，某政府为进一步健全社区工作者职业体系，计划招募3000名乙社区助理，已知A，B两社区招募的人数占总招募人数的，该政府欲为A，B两社区的社区助理每人配备一套办公桌椅，现有甲、乙两种办公桌椅可供选择，已知甲种办公桌椅的单价是乙种办公桌椅单价的，购置1套甲种办公桌椅和3套乙种办公桌椅共需要3000元． (1)求甲、乙两种办公桌椅的单价； (2)若要求购置甲种办公桌椅的数量不超过乙种办公桌椅数量的1.5倍，平均每套办公桌椅还需要运费50元，求该政府所花总费用最少的购置方案． 16．我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 17．为响应“绿色校园”号召，某班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆18元，多肉每盆10元．设该班购买了绿萝盆（为整数，且），花店提供两种采购方案，两种方案只能选择其中一种． 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． (1)请分别写出方案一所需费用，方案二所需费用与购买绿萝的数量之间的函数表达式； (2)请帮助该班确定选用哪种方案更省钱？ 18．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 19．如图，在中，，垂直平分，垂足为O，，且． (1)求证：； (2)求的长． 20．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 21．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤≤360°）． （1）如图1，当＝0°时，DG与DN的关系为____________________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝时，连结GN，请直接写出GN的长． 22．在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形； (3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 23．如图，等边中，点E是上一个动点，且运动过程中始终满足． (1)如图1，若，，求出的长； (2)如图2，以为边，在的右侧作等边，延长，使得，连接，再过点F作，交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）问条件下，若，连接，当取得最小值时，请直接写出此时四边形的面积． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF． （1）求证：四边形CFBD是菱形； （2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长． 25．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若，两点同时出发． ①______，______； ②若为何值时，四边形为平行四边形？ ③若为何值时，四边形为矩形？ (2)若点先运动秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为______时， 为直角三角形（直接写出答案）． 26．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题． （1）求的周长； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由. 27．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交点分别为点和点，直线过点且与轴交于点，将直线向下平移个单位长度得到直线，已知直线刚好过点且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积． 28．“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示．    (1)当和时，求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A，B两种图书共300本，已知B种图书每本22元．若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买A，B两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？ 29．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题． (1)甲登山的速度是______． (2)乙到达A地后决定提速，提速后乙的速度是甲登山速度的3倍，求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式； (3)在（2）的条件下，直接写出当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为85米？ 30．如图，已知，，，，长方形的面积为，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长度． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末提升必刷（解答题30题） 1．绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张元，学生票每张元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案：购买一张成人票赠送一张学生票；方案：按总价的付款，某校有名老师与若干名不少于人学生听音乐会． (1)设学生人数为人，付款总金额为元，分别建立两种优惠方案中与的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)； (2)当购买张票时，两种优惠方案付款一样多，时，，优惠方案1付款较少；当时，，优惠方案2付款较少 【分析】（1）首先根据优惠方案：付款总金额购买成人票金额除去人后的学生票金额； 优惠方案：付款总金额购买成人票金额购买学生票金额打折率，列出关于的函数关系式， （2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论． 【详解】（1）按优惠方案可得 ， 按优惠方案可得 ； （2）因为， 当时，得，解得， 当购买张票时，两种优惠方案付款一样多． 当时，得，解得， 时，，优惠方案付款较少． 当时，得，解得， 当时，，优惠方案付款较少． 【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点的取值，再进一步讨论． 2．（1）已知，求的值． （2），．求值：． 【答案】（1）14；（2）3 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、分式的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据，计算出，，然后将所求式子变形，整体代入计算即可； （2）由，，得出，再通分，最后代入求出答案即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 3．先化简再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算，原式利用完全平方公式，多项式乘多项式法则计算，最后把值代入计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 当，原式． 4．计算： (1) (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减，解二元一次方程组． （1）根据二次根式的加减计算即可求解． （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：                   （2）解方程组： 解：得：③      得：          将代入①得：      所以原方程组的解是 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 6．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可； （）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．如图，在中，，点D在边上．    (1)求作：点E，使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)以（1）中的边为斜边作等腰直角三角形，若点F在射线的延长线上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧，以点D为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，即为所求； （2）根据等腰直角三角形的性质得出，．根据平行四边形的性质得出．通过证明，得出，即可求证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．    ∵, ∴四边形为平行四边形． （2）解：如图：∵是等腰直角三角形， ∴，． ∴． ∵， ∴，． ∴．    ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形；全等三角形对应边相等，对应角相等． 8．在日常生活中，图形的面积等分问题常常蕴含着丰富的数学原理与构造方法，如分蛋糕、规划土地等场景都与这类问题密切相关．下面我们通过探究，感受面积等分中的数学严谨性与构造之美． 【基础探究】 (1)如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上． ①用无刻度的直尺，过点画一条直线，使直线将分成面积相等的两部分； ②若在此网格内找一个格点（不与点重合），使得的面积和的面积相等，则符合条件的格点有__________个． 【迁移应用】 受到上述探究的启发，小明同学思考：在任意三角形中，能否过边上任意一点作一条直线平分三角形的面积呢？ (2)如图2，在任意中，点是边上一点，．请用圆规和无刻度的直尺，过点作一条直线，使直线将分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹） 【创新应用】 (3)某社区有一块四边形空地（如图3），现计划要从边上一点出发修建一条笔直的小路（看作线段）交于点，使得小路将这块空地分为面积相等的两部分，分别用于种植两种不同的绿植． ①请在图中画出小路的示意图（不需要尺规作图），并适当说明步骤： ②若上述四边形满足，，，，，点仍是边上一点，且小路将四边形分为面积相等的两部分，小路交于点，连接，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见；②2 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要三角形平分三角形面积、特殊四边形的判定和性质、格点作图、勾股定理等；解题关键是利用平行进行等积变换. （1）①根据矩形对角线互相平分作出的中点即可，根据等底等高的三角形面积相等，②作的平行线，再找格点即可得出答案； （2）方法一：利用平行线在的延长线上去点，将面积转化为，再过点作的中线即可得；方法二：先作的中线将的面积平分，再过点作，交于点，则，故，方法三：利用中线平分三角形面积，再利用平行线转化三角形面积，即可求解． （3）①利用平行线先将四边形面积转化三角形以为顶点得三角形面积，再平分三角形面积即可；②根据作图可得为中点，利用平行四边形、矩形的判定和性质转化线段关系，再利用勾股定理列方程即可求解. 【详解】（1）解：①如图，直线为所求； ②如图，、的面积和的面积相等， 故符合条件的格点有2个． （2）如图，，为所求． 方法一，如图： 方法二，如图： 方法三，如图： ， （3）解：①方法一：如图，连接、，过作交延长线于，过作交延长线于，取中点，连接即可； 方法二：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可； ②如图（同①方法二作图）：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可； ∵， ∴， ∴，即， 同理可得：， ∵是中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图， 设， ∵， ∴四边形、、是矩形， ∴，，， ， 则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由图可知：， ∴当是等腰三角形时，即， ∴， 解得 ，不合题意舍去， 即：当是等腰三角形时，线段的长为. 9．尺规作图：如图，在中，．作菱形，使得在上，在上，在上；（不写作法，保留痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作角平分线与垂直平分线，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作平分交于点D，作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 根据作图可得垂直平分，是的角平分线， ∴，， ∴，， 又∵是的角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 10．如图，在中，．    (1)尺规作图：在上截取，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用等腰三角形的性质，平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）证明：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，作∠DAB的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：试猜想DC与BE有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DC＝BE，理由见解析． 【分析】（1）以A点为圆心，任意长为半径画弧交AB、AD于M、N，再以M、N为圆心，大于MN为半径画弧交于P，射线AP交直线BC于E，交CD于F； （2）利用AE平分∠BAD得到∠DAE=∠BAE，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到DC=AB，∠E=∠DAC，所以∠E=∠BAE，然后根据等腰三角形的性质和等量代换得BE=DC． 【详解】解：（1）如图，AE为所作； （2）DC=BE． 证明如下：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE， ∵AD∥BC，AD＝BC． ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴DC=AB，AD∥BC， ∴∠E=∠DAC， ∴∠E=∠BAE， ∴BA=BE， ∴BE=DC． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质． 12．新定义：在直角三角形中，过锐角顶点剪一刀，若剪痕将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条剪痕为直角三角形的“斜腰线”． (1)如图1，在中，，请画出的“斜腰线”，并标出被斜腰线分得的两角的度数． (2)如图2，在中，，分别是 和的“斜腰线”，若，，求的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）如图1：在上取一点D，使得，连接，线段即为所求；再根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余； （2）先证明，求出，再利用可得结论． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求， ∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵分别是 和的“斜腰线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．2025年，“人形机器人”“”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生的信息技术水平进行测试，现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析(得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，组：，组：，组：，组：)下面给出了部分信息： 九年级被抽取的学生测试得分中组的所有数据为：，，，，，，，． 八年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 九年级被抽取学生测试得分扇形统计图 平均数 众数 中位数 八年级 分 分 分 九年级 分 分 分 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)上述图表中：______________，______________，______________； (2)在测试中等级为及以上说明学生对人工智能的关注与了解程度就达标．该校八、九年级共有学生人，估计该校八、九年级中达标的学生共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校八年级和九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度较好？请说明理由． 【答案】(1)、、 (2)估计该校八、九年级中达标的学生共有人 (3)九年级学生对人工智能的关注与了解程度较好，理由： 由表知，九年级学生成绩的中位数大于八年级， 所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级， 故九年级学生对人工智能的关注与了解程度较好． 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图中获取信息，理解相关概念是解题的关键． （1）根据中位数、众数的概念求解即可； （2）总人数乘以样本中级及以上人数所占比例即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 九年级组人数为%人，组人数为%人，组人数为%人， 九年级被抽取的学生测试得分中组的所有数据为：，，，，，，，． ∴， 所以其成绩的第、个数据分别为、， 故答案为：、、； （2）人， 答：估计该校八、九年级中达标的学生共有人； （3）略 14．素材1：某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天， 素材2：经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3：由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． (1)求甲、乙两部门每天分别生产多少个传统艺术织品？ (2)若设甲部门工作m天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少是多少？ 【答案】(1)甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品 (2)应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出甲部门完成的工作总量及乙部门的工作时间再根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产个传统艺术织品，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天，可列出关于x的分式方程，即可得解； （2）利用甲部门完成的工作总量甲部门的工作效率甲部门的工作时间，可用含m的代数式表示出甲部门完成的工作总量，再利用乙部门的工作时间乙部门完成的工作总量乙部门的工作效率，即可用含m的代数式表示出乙部门的工作时间；根据甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设支付的总费用为w元，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产个传统艺术织品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （个）． 答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品； （2）根据题意得：若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品个， 乙部门工作时间可表示为（天）． 根据题意得： 解得：． 设支付的总费用为w元， 则， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最小值，最小值为， 此时（天）． 答：应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 15．山西省打造标准化可复制的社区“养老托育”新模式，树立山西“养老托育”的新标杆，某政府为进一步健全社区工作者职业体系，计划招募3000名乙社区助理，已知A，B两社区招募的人数占总招募人数的，该政府欲为A，B两社区的社区助理每人配备一套办公桌椅，现有甲、乙两种办公桌椅可供选择，已知甲种办公桌椅的单价是乙种办公桌椅单价的，购置1套甲种办公桌椅和3套乙种办公桌椅共需要3000元． (1)求甲、乙两种办公桌椅的单价； (2)若要求购置甲种办公桌椅的数量不超过乙种办公桌椅数量的1.5倍，平均每套办公桌椅还需要运费50元，求该政府所花总费用最少的购置方案． 【答案】(1)甲种办公桌椅的单价为600元，乙种办公桌椅的单价为800元 (2)购置甲种办公桌椅120套，乙种办公桌椅80套 【分析】本题考查一元一次方程、不等式以及一次函数的应用，找出等量关系或者不等量关系列出方程、不等式和函数解析式是解题的关键． （1）设乙种办公桌椅的单价为元，则甲种办公桌椅的单价为元，根据“购置1套甲种办公桌椅和3套乙种办公桌椅共需要3000元”列出方程求解即可； （2）设该政府所花总费用为元，购置甲种办公桌椅套，则购置乙种办公桌椅套，根据“购置甲种办公桌椅的数量不超过乙种办公桌椅数量的1.5倍”求出m的取值范围，用m表示出y，再根据一次函数的增减性即可解题． 【详解】（1）解：设乙种办公桌椅的单价为元， 根据题意，得， 解得， ． 答：甲种办公桌椅的单价为600元，乙种办公桌椅的单价为800元． （2）根据题意，得共需要购置办公桌椅(套)， 设该政府所花总费用为元，购置甲种办公桌椅套，则购置乙种办公桌椅套， 根据题意，得， 解得， 根据题意，得， ， 随的增大而减小， 又是正整数， 当时，该政府所花总费用最少，此时购置乙种办公桌椅(套)． 答：该政府所花总费用最少的购置方案为购置甲种办公桌椅120套，乙种办公桌椅80套． 16．我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【答案】(1) (2)种 (3)当转运A种脐橙的车辆，转运B种脐橙的车辆，转运C种脐橙的车辆时，利润最大为元 【分析】（1）根据题意列式：，整理后即可得到； （2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，，，解不等式组即可； （3）设利润为W元，则，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y， ∴装运C种水果的车辆数为， ∴， 整理得． （2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x， 由题意得， 解得， ∵， ∴． ∵x为整数， ∴x的值为，，，，， ∴安排方案共有种． （3）设利润为W元， ∴ ， 因为，且x的值为，，，，， ∴W的值随x的增大而减小， ∴当时，销售利润最大． 当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大． 最大利润（元）． 【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． 17．为响应“绿色校园”号召，某班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆18元，多肉每盆10元．设该班购买了绿萝盆（为整数，且），花店提供两种采购方案，两种方案只能选择其中一种． 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． (1)请分别写出方案一所需费用，方案二所需费用与购买绿萝的数量之间的函数表达式； (2)请帮助该班确定选用哪种方案更省钱？ 【答案】(1)， (2)当购买绿萝的盆数时，选用方案一更省钱，当购买绿萝的盆数为20盆时，两种方案费用相同；当购买绿萝的盆数时，选用方案二更省钱 【详解】（1）解：由题意得，     ． （2）解：当时，即，解得，     当时，即，解得，     当时，即，解得， 当购买绿萝的盆数时，选用方案一更省钱， 当购买绿萝的盆数为20盆时，两种方案费用相同， 当购买绿萝的盆数时，选用方案二更省钱． 18．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理运算求解即可； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴绳子长度； （2）解：如图进行标注： 若物体升高，则此时， ∴在中，， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 19．如图，在中，，垂直平分，垂足为O，，且． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，平行线的性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、平行线的性质得到，得到，于是得到结论； （2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）连接， ∵垂直平分， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）在中，，即， 解得，， ∴． 20．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质、勾股定理、三角形全等的判断和性质等知识点，是正确做出辅助线、构成全等三角形是解题的关键． （1）如图：过点E作于点Q，作于点P，证明得到，可说明为菱形，根据，即可证明结论； （2）根据正方形性质得出，，，根据勾股定理求出，再证明可得、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图：过点E作于点Q，作于点P，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）解：如图：连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴． 21．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤≤360°）． （1）如图1，当＝0°时，DG与DN的关系为____________________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝时，连结GN，请直接写出GN的长． 【答案】（1）DG＝DN，且DG⊥DN；（2）成立，理由见解析；（3）GN＝或 【分析】（1）如图1中，连接AE，AF，CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论； （2）如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论； （3）分两种情形：如图3-1中，当点G落在AD上时，如图3-2中，当点G落在AB上时，分别利用勾股定理求出GN即可． 【详解】解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CB=CD，∠B=∠ADF=90°， ∵CE=CF， ∴BE=DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF， ∵EN=NF， ∴AN⊥EF，CN=NF=EN， ∵CE=CF，EN=NF， ∴CN⊥EF， ∴A，N，C共线， ∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF=90°， ∴四边形ANFG是矩形， ∴AG=FN=CN，∠GAN=90°， ∵∠DCA=∠DAC=45°， ∴∠GAD=∠NCD=45°， ∴△GAD≌△NCD（SAS）， ∴DG=DN，∠ADG=∠CDN， ∴∠GDN=∠ADC=90°， ∴DG⊥DN，DG=DN． 故答案为：DG⊥DN，DG=DN； （2）结论成立． 理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN． ∵四边形ANFG是平行四边形， ∴AG∥KJ，AG=NF， ∴∠DAG=∠J， ∵AJ∥BC， ∴∠J=∠CKE， ∵CE=CF，EN=NF， ∴CN=NE=NF=AG，CN⊥EF， ∴∠ECN=∠CEN=45°， ∴∠EKC+∠ECK=∠ECK+∠DCN， ∴∠DCN=∠CKE， ∴∠GAD=∠DCN， ∵GA=CN，AD=CD， ∴△GAD≌△NCD（SAS）， ∴DG=DN，∠ADG=∠CDN， ∴∠GDN=∠ADC=90°， ∴DG⊥DN，DG=DN； （3）如图3-1中，当点G落在AD上时， ∵△ECN是等腰直角三角形，EC=5， ∴EN=CN=NF=5， ∵四边形ANFG是平行四边形， ∴AG=NF=5， ∵AD-CD=12， ∴DG=DN=7， ∴GN=7． 如图3-2中，当点G落在AB上时， 同法可证，CN=5， ∵△DAG≌△DCN， ∴AG=CN=5， ∴BG=AB-AG=7，BN=BC+CN=17， 综上所述，满足条件的GN的值为或 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 22．在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形； (3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，从而证得，然后利用平行四边形面积公式得，最后利用三角形面积公式得． （2）取的中点H，连接，，先证明，再利用直角三角形的性质证得，残存后由等腰三角形“三线合一”性质得到垂直平分，即可由垂直平分线性质得出结论． （3）过点E作交延长线于H，过点A作于M，利用直角三角形的性质先求出，再求出，，然后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． （2）证明：取的中点H，连接，， 由（1）可知：四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：过点E作交延长线于H，过点A作于M，如图， ∵， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，梯形面积公式和三角形面积公式．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23．如图，等边中，点E是上一个动点，且运动过程中始终满足． (1)如图1，若，，求出的长； (2)如图2，以为边，在的右侧作等边，延长，使得，连接，再过点F作，交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）问条件下，若，连接，当取得最小值时，请直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点E作于点P，则，设，则，分别根据含30度的直角三角形和等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可； （2）在线段上取一点M，使得，连接，根据等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质证明即可； （3）先证明点F的运动轨迹是射线，由此可得当时，取得最小值，再作出此时的图形，进而计算即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点E作于点P，则， ∵在等边中，， ∴，， ∴在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 即的长为； （2）证明：如图，在线段上取一点M，使得，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图2，连接， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点F在射线上运动，且， ∴当时，取得最小值， 如图，此时，点C与点H重合，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴当取得最小值时，四边形的面积为． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF． （1）求证：四边形CFBD是菱形； （2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）证明四边形CFBD是平行四边形，再证明∠1＝90°，即可判定四边形CFBD是菱形． （2）根据菱形的性质求得EF＝1，再由勾股定理求得CE＝3，由三角形的中位线定理可得AC＝2，再由勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：∵E是边BC的中点， ∴BE＝EC， ∵ DE＝EF，BE＝EC， ∴四边形CFBD是平行四边形， ∵D是AB边中点，E是BC中点， ∴DE∥AC， ∴∠1＝∠ACB＝90°， ∴四边形CFBD是菱形． （2）∵四边形CFBD是菱形， ∴∠CEF＝90°． ∵DF＝2， ∴EF＝1， ∵， ∴由勾股定理得，CE＝3， ∵D，E分别是边AB，BC的中点，DE＝1， ∴AC＝2， ∵∠ACB＝90°， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 25．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若，两点同时出发． ①______，______； ②若为何值时，四边形为平行四边形？ ③若为何值时，四边形为矩形？ (2)若点先运动秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为______时， 为直角三角形（直接写出答案）． 【答案】(1)①，；②；③ (2)或 【分析】（1）①先表示出和的值，再根据求出的值； ②根据平行四边形的对边相等得出四边形为平行四边形，此时，据此列出方程，解方程求出的值； ③先根据求出的值，再根据矩形的对边相等得出当四边形为矩形，此时，据此列出方程，解方程求出的值； （2）先根据题意判断出，再分和两种情况进行讨论：当时，根据两直线平行，内错角相等得出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等得出，求出的值，结合列出方程，解方程求出的值；当时，过点作交于，根据两直线平行，内错角相等得出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等得出，，求得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：①根据题意，得，， ∵， 则， 故答案为：，． ②如图：    当四边形为平行四边形， 此时， 即， 解得：， 故当秒时，四边形为平行四边形． ③∵，， ∴， 如图：    当四边形为矩形， 此时， 即， 解得：， 故当秒时，四边形为矩形． （2）解：∵点先运动秒后停止运动，此时点从点出发， 即当时，，点与点重合，此时； 当时，如图：    ∵，， ∴， 故四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时，如图：过点作交于，    ∵，， ∴， 故四边形为矩形， ∴，， 故， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 解得：； 故为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解一元一次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题． （1）求的周长； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由. 【答案】（1）△ABC的周长为；（2）△ABC不是直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的长，然后可求周长； （2）利用勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：（1）如图，根据题意由勾股定理，得 ，， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=， （2）△ABC不是直角三角形，理由是： ∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64， 即AB2+BC2≠AC2， ∴△ABC不是直角三角形. 【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交点分别为点和点，直线过点且与轴交于点，将直线向下平移个单位长度得到直线，已知直线刚好过点且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求直线的解析式以及四边形的面积，正确求出四点的坐标是解题的关键． （1）根据直线的解析式求出．根据上加下减的平移规律求出直线的解析式为，求出．根据直线过点，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据，即可求出四边形的面积． 【详解】（1） 直线：与轴、轴交点分别为点和点， 时， 解得： 时，， ． 将直线：向下平移个单位长度得到直线 直线的解析式为：，即， 时，，解得， 时，， ． 设直线的解析式为， 直线过点、点， ，解得： 直线的解析式为； （2） ， ， ． 28．“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示．    (1)当和时，求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A，B两种图书共300本，已知B种图书每本22元．若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买A，B两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？ 【答案】(1) (2)购进A种图书200本，购进B种图书100本时，总费用最少为6450元． 【分析】（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进A种图书x本，则购进B种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ， 当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ， 综上，； （2）∵购进A种图书x本，则购进B种图书本， 根据题意得，， ∴解得， ∴购进两种图书的总费用， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最小值， ∴， ∴当购进A种图书200本，购进B种图书100本时，总费用最少为6450元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． 29．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题． (1)甲登山的速度是______． (2)乙到达A地后决定提速，提速后乙的速度是甲登山速度的3倍，求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式； (3)在（2）的条件下，直接写出当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为85米？ 【答案】(1)10米/分 (2) (3)分，分，分 【分析】（1）根据图象，利用甲登山的路程除以所用时间，即可得解； （2）分两段，用待定系数法求解析式即可； （3）分甲在前和乙在前两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：米/分； 故答案为：10米/分； （2）解：米/分，（分钟）， 设2到11分钟，乙的函数解析式为， ∵直线经过，，∴，解得， ∴当时，， 设当时，乙的函数关系式为过，∴ 解得，∴当时，，综上，； （3）解：由题意得，甲的函数解析式为： 当甲在前时：，解得：分； ，解得：分； 当乙在前时：，解得：分； 综上：分或分或分，甲、乙两人距地面的高度差为85米． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据图象，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 30．如图，已知，，，，长方形的面积为，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长度． 【答案】对角线长度为或 【分析】本题考查了勾股定理，能够正确画出长方形的对称轴，注意根据对称轴的性质得到相关的线段相等，熟练运用勾股定理．因为长方形的对称轴有两条，所以此题要分情况讨论．计算的过程中主要运用了勾股定理． 【详解】解：分两种情况： （1）如图，以、为对称点， ， ， 根据对称性，， 根据勾股定理得 （2）如图，以、为对称点， 得． ，根据勾股定理得 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $