精品解析：江苏泰州市靖江市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试卷

高一数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，则， ． 2. 已知圆台的上、下底面的半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的结构特征，利用上下底面半径差、高与母线构成直角三角形的性质，结合勾股定理计算母线长. 【详解】根据圆台的结构性质：圆台的母线长、高、下底面半径与上底面半径的差值构成直角三角形的三边，其中母线为斜边， 由题意可知，，，，故上下底面半径的差值为， 根据勾股定理可得母线长：，故C正确. 3. 已知向量，都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合非零向量共线的充要条件，分别验证充分性和必要性是否成立即可得. 【详解】充分性验证：若存在实数使得，且向量，都是非零向量， 根据向量数乘的几何意义，与方向相同（）或相反（），符合平行向量的定义，因此，充分性成立. 必要性验证：已知均为非零向量，若，根据共线向量基本定理，必然存在唯一实数，使得，必要性成立. 因此甲是乙的充要条件. 4. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将边的等式转化为角的三角函数关系，结合三角形内角的取值范围求解角； 【详解】已知在中，，由正弦定理 （为外接圆半径），可得，代入原式得： ，得， 因为为三角形内角，即，故，化简得，即，又为三角形内角，即，因此， 5. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由向量的加减法运算可得的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以，解得. 6. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用概率的基本性质及已知得，结合及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设， 又，则，整理得， 由，且，可得， 所以. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的余弦公式展开已知条件中的，再结合二倍角公式将式子转化为关于和的等式，通过辅助角公式化简后，结合的取值范围确定对应角的三角函数符号，最后利用两角差的正弦公式求解的值. 【详解】∵ ， ∴ . 即得，即. 得，即. ∵ ，∴ ，故. 又，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， 代入数值计算得：. 8. 在长方体中，已知，．关于长方体有下列三个命题： 甲：与所成的角的余弦值为； 乙：与所成的角的余弦值为； 丙：． 如果其中有且只有2个真命题，则长方体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，解法一：先通过平移找到异面直线所称的角，求出相关边长，利用余弦定理和勾股定理得到的方程组，分别计算检验两真一假的情况即可求得的值，进而求得长方体的体积；解法二：建系后求出相关点的坐标，分别利用向量夹角的计算公式与向量模的计算公式将甲乙丙三个命题转化为的方程组，分别计算检验两真一假的情况即可求得的值，进而求得长方体的体积. 【详解】 如上图在长方体中，设. 解法一：当甲命题为真时，连接，因，且，则得， 则，故即与所成的角，连接， 易得， 在中，由余弦定理可得， 整理得，即① 当乙命题为真时，由上分析，，则 即与所成的角， 连接，则， 在中，由余弦定理可得， 整理得② 当丙命题为真时，由图知，，即③ 因为其中有且只有2个真命题，可分三种情况考虑： （I）甲与乙命题为真，由①-②，得，解得，代入①，得， 代入③的左式，即丙命题为假，符合题意， 因，可得，即，时不合题意； (II)甲与丙命题为真，由①-③，得，结合， 可知可看成方程，即的两根， 而，即此情况不合题意； (III)乙与丙命题为真，由②-③，得， 将代入，整理得，解得（负值舍去）， 则，代入①得左式，， 即甲命题为假，符合题意，此时长方体的体积为，故A正确. 解法二：如下图，以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系. 当甲命题为真时，因，设与所成的角为， 则，整理得，即① 当乙命题为真时，，设与所成的角为， 则，整理得② 当丙命题为真时，因，依题意得，即③ 下面求解过程与解法一相同，在此略. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，为自然数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据虚数单位的幂次以为周期循环，核心性质为、，结合该性质逐一判断选项即可. 【详解】对于A，根据虚数单位的定义，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 一只不透明的口袋内装有大小一样的2个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出两个球，记“取出的两球同色”为事件，“第一次取出的是黑球”为事件，“第二次取出的是黑球”为事件，“取出的两球不同色”为事件，则（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用对立事件的性质判断选项A；利用互斥事件的性质判断选项B；利用独立事件乘法公式计算判断选项C,D． 【详解】“取出的两球同色”与“取出的两球不同色”互为对立事件，故A正确； “第一次取出的是黑球”与，“第二次取出的是黑球”可以同时发生，不互斥，故B错误； ， 故事件独立，故C正确； ， ， 则，与独立，故D正确． 11. 在中，，，的角平分线交于点，则（ ） A. 的最小值为1 B. 当最小时， C. 当为锐角三角形时， D. 当时，的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理结合二次函数性质计算可判断A；由角平分线性质计算可判断B；根据为锐角三角形可得，由三角形面积公式可得，根据函数单调性计算求解判断C；结合C代入计算可得，再根据三角形面积公式计算判断D. 【详解】对于A，设，由余弦定理可得， 因为， 所以当时，有最小值为，故A错误； 对于B，由角平分线性质可得，即， 因为在上，所以，故B正确； 对于C，当为锐角三角形时，则三个角均为锐角， 当为锐角时，由余弦定理可得，即，解得， 当为锐角时，由余弦定理可得，即，解得， 因为， 即，化简可得， 因为在上单调递增， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，即，解得， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据4，6，5，7，4，4，则这组数据的方差为_____． 【答案】 【解析】 【详解】由题设，数据平均值为， 则方差为. 13. 在直三棱柱中，已知，，．该三棱柱的底面的面积的最大值为______；当底面的面积最大时，直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空借助余弦定理结合基本不等式求的最大值，代入三角形面积公式得结果；第二空先确定底面为等边三角形，根据线面角的定义，计算点到平面的距离与线段长度的比值即可。 【详解】第一空：在中，，， 由余弦定理得：  ， 代入已知得.由基本不等式， 代入上式可得， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 的面积，故底面面积的最大值为. 第二空：当底面面积最大时，， 结合，可知为边长为的等边三角形. 直三棱柱中，平面平面，交线为，取中点，连接， 则，又因为在直三棱柱中，，所以 平面， 即点到平面的距离为。. 因为，平面，平面， 故平面，因此点到平面的距离等于。. 又底面，故，因此. 设直线与平面所成角为，则 . 14. 在中，已知，．若点满足，在上的投影向量为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量线性运算转化得到的值，再根据判断为的重心，得到的向量表达式，结合投影向量的模长公式将表示为关于的函数，最后利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ ，∴ . 代入已知条件，，可得：，∴ . ∵ 点满足，移项得， ∴ 是的重心，故. 在上的投影向量的模长，代入的表达式： ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 【点睛】方法归纳：解决平面向量的最值问题，可先通过向量线性运算、数量积运算将目标表达式转化为关于单个变量的函数，再结合基本不等式或函数单调性求解最值；涉及重心的向量关系可直接用重心向量公式简化运算. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，，. . 【小问2详解】 ，，，. . 16. 为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． （1）估计满意度评分的中位数； （2）现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组频率之和为1，则，解得. 前两组的频率之和为，前三组的频率之和为； ，中位数位于区间内. 设中位数为，则，解得. 估计满意度评分的中位数为. 【小问2详解】 满意度评分在的频率为，满意度评分在的频率为，两组频率之比为. 采用分层抽样的方法从这两组中抽取6人，则在中抽取的人数为，记为；在中抽取的人数为，记为. 则从6人中任取2人，所有可能的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种； 其中一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的情况有，，，，，，，，共8种； . 一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，．已知为锐角，，． （1）求； （2）若为的中点，从下面①②③中选取一个作为条件，使得存在，求的长． ①边上的高为；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）（或） （2）选①时，存在，；选②时不存在；选③时，存在， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求解即可； （2）若选①，根据三角函数的定义得到，从而得到，进而根据余弦定理求出，即可判断是否存在；若选②，根据余弦定理得到关于的一元二次方程，再结合判别式即可确定是否有实数根，进而即可判断是否存在；若选③，先根据题意及余弦定理求出和，再根据余弦定理求出，即可判断是否存在． 【小问1详解】 由，， 则由正弦定理有， 则， 又在中，为锐角， 所以． 【小问2详解】 若选①边上的高为， 结合（1）有， 则边上的高为，解得， 又为的中点，则， 所以由余弦定理有． 故此时存在，且； 若选②， 结合（1）有， 则由余弦定理有， 即，整理得， 则，无实根， 故此时不存在； 若选③，则， 结合（1）有， 则由余弦定理有， 解得，则， 又为的中点，则， 所以由余弦定理有． 故此时存在，且． 18. 如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明：因，，则, 又因是的中点，则,且, 在中，，则, 又因是的中点，则, 因，则由可得, 因平面，故平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用条件分别证明，，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）（ⅰ）利用线面平行的性质先证得，结合条件推得是的中点，即得；（ⅱ）取的中点，连接，证明平面，作于点，连接，证明即二面角的平面角，借助于题设条件求解即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因平面，在上，则平面， 因平面平面，则， 又因是的中点，则是的中点，故； （ⅱ）取的中点，连接，因是的中点，则，且， 在平面中，作于点，连接. 由（1）得平面，则平面，因面，则， 因平面，则平面， 又平面，则，故即二面角的平面角. 连接，易得， 因平面，平面，则，则， 故，又， 由可得， 在中，由等面积可得， 故在中，， 则，即二面角的正切值为. 19. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为函数（，，，）的图象的一个最高点和一个最低点，已知点的纵坐标为3，点，，，均在函数的图象上，其中． （1）若的面积为，求点的横坐标； （2）将沿翻折至，使得平面平面． （ⅰ）在四面体中，试判断和是否垂直？如垂直，请证明；如不垂直，请说明理由； （ⅱ）若四面体的每一个顶点都在半径为的球内或球面上，证明：． 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）和不垂直，理由如下： 由小问（1）可知 ，，，． 设 为点 在直线 上的垂足． 因为 在 轴上，且 ，所以 ，从而 ，． 翻折后，点 仍在 上，． 题设中平面 平面 ，可把 画成垂直于原平面 的线段． 在直线 上取点 ，使 ， 在 的同侧，且 ；过 作 垂直于平面 ，且 ，并使 与 在平面 的同侧． 于是直线 与直线 平行． 如果 垂直于 ，那么 也垂直于 ，所以三角形 应为直角三角形，且直角在点 处，于是应有. 下面计算各线段长度． 在平面 内，,又. 因为 ，所以,且 垂直于平面 ，故. 而 ，与 不相等，所以三角形 不可能在点 处为直角三角形，即 不垂直于 ． 又 与 平行，因此 和 不垂直． （ⅱ）由小问（1）知， 或 ． 当 时， 所以 ． 当 时， 所以 ． 综上，无论点 取哪一个位置，都有 ． 若四面体 的每一个顶点都在半径为 的球内或球面上，则球内任意两点间的距离不超过球的直径 ． 因为点 ， 均在该球内或球面上，所以 ，从而 ． 【解析】 【分析】（1）先由图象中的最高点、最低点及零点确定函数解析式，再用三角形面积求出点 的纵坐标，从而求出点 的横坐标．（2）根据题设的翻折位置确定 ，再作一条与 平行的辅助线，用勾股定理反证 与 不垂直；最后利用球的直径不小于球内任意两点间距离证明 ． 【小问1详解】 由图象可知，函数的一个周期为 ，所以 ，得 ． 因为 ，所以直线 是图象的一条对称轴． 结合图象可知， 对应一个最低点，故 ，得 ．又 ，所以 ． 因为点 的纵坐标为 ，所以 ． 又 在函数图象上，所以 ，即 ． 联立得 ，，所以 ． 因为 ，且 的面积为 ，所以 ，得 ． 于是 ，即 ． 因为 ，所以 ，故 或 ，解得 或 ． 所以点 的横坐标为 或 ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆台的上、下底面的半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，已知，．关于长方体有下列三个命题： 甲：与所成的角的余弦值为； 乙：与所成的角的余弦值为； 丙：． 如果其中有且只有2个真命题，则长方体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，为自然数，则（ ） A. B. C. D. 10. 一只不透明的口袋内装有大小一样的2个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出两个球，记“取出的两球同色”为事件，“第一次取出的是黑球”为事件，“第二次取出的是黑球”为事件，“取出的两球不同色”为事件，则（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 11. 在中，，，的角平分线交于点，则（ ） A. 的最小值为1 B. 当最小时， C. 当为锐角三角形时， D. 当时，的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据4，6，5，7，4，4，则这组数据的方差为_____． 13. 在直三棱柱中，已知，，．该三棱柱的底面的面积的最大值为______；当底面的面积最大时，直线与平面所成角的正弦值为______． 14. 在中，已知，．若点满足，在上的投影向量为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． （1）估计满意度评分的中位数； （2）现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 17. 在中，角，，的对边分别为，，．已知为锐角，，． （1）求； （2）若为的中点，从下面①②③中选取一个作为条件，使得存在，求的长． ①边上的高为；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18. 如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为函数（，，，）的图象的一个最高点和一个最低点，已知点的纵坐标为3，点，，，均在函数的图象上，其中． （1）若的面积为，求点的横坐标； （2）将沿翻折至，使得平面平面． （ⅰ）在四面体中，试判断和是否垂直？如垂直，请证明；如不垂直，请说明理由； （ⅱ）若四面体的每一个顶点都在半径为的球内或球面上，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $