精品解析：江苏南京市十三中、九中等校2025-2026学年高一下学期6月期末检测数学试题

2025级高一年级下学期期末检测 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用复数的除法和复数的定义求解. 【详解】由，得，则的虚部为. 2. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 已知直线，，平面，且，则直线，平行 D. 已知两条相交直线，，且平面，则与相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，分类，及几何特征，逐一分析选项，可得答案. 【详解】若直线上有无数个点不在平面内，则或与相交，故A选项不正确； 若直线不平行于平面且，则与相交，所以平面内不存在与平行的直线，故B选项正确； 已知直线，平面，且，则直线平行或异面，C选项错误； 两条相交直线，且平面，则平面或与相交，D选项错误. 故选：B 4. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，求出，再利用正弦和角公式计算出答案. 【详解】，故， 因为，所以， 所以. 故选：A 5. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以量，，， 则在向量上的投影向量为为. 故选：D. 6. 在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于 A. 30°或150° B. 60° C. 120° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理先求或，再根据大边对大角取舍即可. 【详解】解：，或， 又，所以，所以， 故选：D 【点睛】已知两边和其中一边的对角解三角形，注意解的个数，基础题. 7. 已知在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用旋转体的表面积公式计算. 【详解】将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体如图： 所以表面积为. 8. 已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】球面与侧面的交线即在平面内到点距离为2的点的轨迹，据此可得答案. 【详解】由题可得，由余弦定理可得. 又，则.又由题可得平面，平面， 则，结合侧面，可得平面. 注意到球面与侧面的交线即在平面内到距离为2的点的轨迹，结合， 可得轨迹为在平面内到距离为的轨迹， 即平面内，以为圆心，半径为的一段弧，因，则弧长为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 B. 若复数，则 C. 复数的共轭复数 D. 若，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、模的运算、乘除法运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误； 对于B：由，故，故B正确； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上， 而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3， 故的最小值为，故D错误. 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在满足 C. 在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角函数单调性及三角恒等变换逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A：在中，由可得，由正弦定理，可得， 因，则，故A正确； 对于B：中，由可得，因在上单调递减， 则，即得，故B错误； 对于C，由和正弦定理，得，即， 因，由知，故或， 即得或，故是等腰三角形或直角三角形，即C正确； 对于D，因，，由余弦定理，得， 即得，则，故必是等边三角形，故D正确. 11. 已知正方体，，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. 若平面与平面的交线为，则与所成的角为 C. 棱与平面所成角的正切值为 D. 若正方体棱长为，则经过，，的平面截此正方体所得截面图形的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用向量点积为0可证得垂直；对于B：结合图形可得交线为，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过，，的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形 . 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则、、、， 、、、、、， 选项A：，， 点积为，故，A正确； 选项B：结合图形可知 为平面与平面的交点，则交线即为直线. ，则. 可得，与所成角为，B正确； 选项C：设平面 的一个法向量，则有， 令 ，则 ，即 . ，则，从而， 可知棱 与平面所成角的正切值为， C不正确； 选项D：如图，取棱 的中点，连接. ∵ 分别为的中点，则 且 . 又∵ 且，则且， ∴ 为平行四边形，则. ∵ 分别为的中点，则且 ， ∴ 为平行四边形，则. ∴ . 同理可证. ∴ 经过的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形. ∴​，则其周长为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用化简表达式，由此求得表达式的值. 【详解】由于，故. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 13. 已知向量，且，则向量与向量的夹角余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由， 则， 若， 则， 解得. 向量与向量的夹角余弦值 . 故答案为： 14. 已知的内角，，满足，其外接圆半径为，则的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果. 【详解】因为 ， 可得 . 又 ，故 ，. 所以. 所以 ， 可得，即. 因该三角形的外接圆半径为 2，由正弦定理，得， 所以的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四边形中，为等边三角形，且，，． （1）求； （2）若是中点，求． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算将 用基底 表示，结合模长与数量积关系计算求解； （2）利用平面向量的线性运算将 用基底 表示，结合向量数量积的运算律及定义求解. 【小问1详解】 由，，，则， 故， 故 ； 【小问2详解】 由是中点，则， ， 故 . 16. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角差的余弦公式计算即可得； （2）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、两角差的余弦公式计算即可得. 【小问1详解】 由得，故， 则 ； 【小问2详解】 ，则， 即有， 故，又，则，， 则， 故，即有、， 由，，则， 则， 则 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，点为上一点． （1）若平面，求证：点为中点； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于O，连接OM，由PA∥平面MBD证明PA∥OM，利用平行四边形证明M是PC的中点； （2）△ABD中利用余弦定理求出BD的值，判断△ABD是Rt△，得出AB⊥BD，再由题意得出BD⊥CD，证得BD⊥平面PCD，平面MBD⊥平面PCD． 【详解】（1）连接AC交BD于O，连接OM，如图所示； 因为PA∥平面MBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MBD＝OM， 所以PA∥OM； 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是AC的中点， 所以M是PC的中点； （2）△ABD中，AD＝2，AB＝1，∠BAD＝60°， 所以BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD＝3， 所以AD2＝AB2+BD2，所以AB⊥BD； 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD； 又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥平面PCD； 因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD． 【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查了线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理，是中档题． 18. 锐角中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）若为的角平分线，，求长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互换求解即可； 利用正弦定理边角互换后结合三角恒等变换求解； 利用正弦定理边角互换后结合三角函数分析求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 在中，， 所以， 所以， 所以， 又则，所以， 则， 因为为锐角三角形，所以. 【小问2详解】 由（1）知，正弦定理， 则 ， 因为锐角，，所以， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 由角平分线定理，且， ，又， 由正弦定理， 因为，所以， 所以， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，，． （1）求证：平面平面． （2）设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内． ①求四棱锥的体积； ②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）因，则全等于，从而， 由是正三角形，三线合一，可得，又平面， 所以平面，结合平面，可得平面平面； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可得答案； （2）①由题设可得为外心，由正弦定理可得外接球半径，然后设相交于点，可证平面，据此可得体积；②过分别向作垂线，由题可得垂足重合，设垂足为，可得为平面与平面所成的锐二面角平面角或该平面角补角，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由题可得到距离相等，结合点在平面内，可得为四边形外心， 即外心，则由正弦定理推论可得，即外接球半径为. 设相交于点，结合（1）解析可得为中点， 则，.连接，因，则. 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，结合平面，则. 则，； ②由①可得，. 如图，过分别向作垂线，易得，全等，则两垂线垂足重合，设为, 则为平面与平面所成的锐二面角平面角或该平面角补角， 由题可得. 则在中，由余弦定理，， 则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级下学期期末检测 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 已知直线，，平面，且，则直线，平行 D. 已知两条相交直线，，且平面，则与相交 4. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于 A. 30°或150° B. 60° C. 120° D. 30° 7. 已知在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 B. 若复数，则 C. 复数的共轭复数 D. 若，则的最小值为 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在满足 C. 在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 已知正方体，，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. 若平面与平面的交线为，则与所成的角为 C. 棱与平面所成角的正切值为 D. 若正方体棱长为，则经过，，的平面截此正方体所得截面图形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 13. 已知向量，且，则向量与向量的夹角余弦值为___________. 14. 已知的内角，，满足，其外接圆半径为，则的面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四边形中，为等边三角形，且，，． （1）求； （2）若是中点，求． 16. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，点为上一点． （1）若平面，求证：点为中点； （2）求证：平面平面． 18. 锐角中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）若为的角平分线，，求长的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，，． （1）求证：平面平面． （2）设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内． ①求四棱锥的体积； ②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $