精品解析：浙江省杭州市临平区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

2025学年第二学期期末学业水平测试 七年级数学试题卷 考生注意： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．答题时在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的答案一律无效． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列汽车标志的图案设计时，利用了图形的平移的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，应作全面调查的是（ ） A. 学期初某校对七年级学生进行心理健康筛查 B. 检测某批次新能源电池的使用寿命 C. 了解初中生假期的主要娱乐方式 D. 了解初中生中有多少学生知道父母的生日 3. 2026年4月24日全新系列模型的预览版本正式上线并同步开源．拥有百万字超长上下文，在能力、世界知识和推理性能上均实现国内与开源领域的领先．模型按大小分为两个版本： 模型 参数 激活 预训练数据 上下文长度 开源 API 服务 网页端/访问方式 √ √ 专家模式 √ √ 快速模式 已知表中数据，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 当（ ）时，分式的值为0． A. 2或1 B. 1 C. 2 D. 5. 下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与直线相交于点，．射线平分，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则表示的代数式是（    ） A. B. C. D. 9. 我国明代数学家程大位的《算法统宗》中记载：“钱二十贯，买绫罗四百六十尺，绫每尺四十三文，罗每尺四十四文．”意为：用20贯钱买了绫布和罗布共460尺，其中绫布每尺43文，罗布每尺44文．已知1贯文，设买进的绫布有尺，罗布有尺，则可以列出方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在线段上，，点与点向上平移距离得到点与点，点到直线的距离为，和相交于点，连结和．则和面积的差可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知是关于和的方程的一个解，则的值为_______． 12. 在“经典诵读”活动中，某班50名学生的参赛成绩如下：优秀20人，良好30人．则成绩为“优秀”的频率是_______． 13. 已知，则_______． 14. 如图，，平分，点在上．若，则______． 15. 学校门口的蜜雪冰城推出两款500毫升的冰鲜柠檬水：A款为“3分糖”（糖浓度为），B款为“7分糖”（糖浓度为）．小明想用这两款柠檬水混合调配成“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水．若他购买了3杯A款，则还需要购买______杯B款． 16. 一位密码编译者，设置以下规则：，，，，，分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是___________（只需写出一种）． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算． 17. 计算 （1） （2） 18. 因式分解 （1） （2） 19. 解下列方程（或方程组） （1） （2） 20. 下表是通过中国国家统计局（）官网查询到的年国内生产总值（）的数据统计表（精确到万亿），现在利用办公软件绘制了一张折线统计图，请你根据统计图表回答下面的问题： 年中国数据统计表 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 /万亿元 103 117 123 129 135 140 （1）根据折线统计图说明我国在这6年间有怎样的变化趋势？ （2）相邻的两年中，哪两年间的增长最快？ 这两年之间的增长率是多少（精确到）？ 21. 学校七年级有330名学生参加研学．现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐12人，刚好坐满．学校预备了几辆大客车，几辆中巴车？ 22. 研究得到：对于任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行运算：第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步：． （1）若从某正整数出发，第一步运算得到16，求所有满足条件的正整数； （2）若（为任意正整数）符合以上运算规律，那么（为任意正整数）是否也满足该运算规律？请说明理由． 说理如下： 因为为任意正整数 所以为奇数 则下一步运算结果为 所以可以经过多次运算化为的形式，即满足该运算规律． （请将说理空缺步骤填入以上框中．） 23. 科学实验发现，光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，其传播方向会发生偏折，这种现象叫作光的折射．如图所示，长方形（）看作一块长方体透明玻璃的一个截面，一条光线穿过玻璃体时在与处发生折射，已知，． （1）已知，求的度数． （2）通过实验得到，从而发现两次折射后的光线与原来的光线互相平行，即，请说明理由． 24. 校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． （1）若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． （2）若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） （3）在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末学业水平测试 七年级数学试题卷 考生注意： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．答题时在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的答案一律无效． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列汽车标志的图案设计时，利用了图形的平移的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各个选项进行逐一分析即可得出答案． 【详解】解：选项A：该图案是由基本图形绕中心旋转得到的，属于旋转变换，不符合题意； 选项B：该图案是由一个盾牌形状沿直线方向移动得到的，形状、大小、方向均未改变，属于平移变换，符合题意； 选项C：该图案是由基本图形绕中心旋转得到的，属于旋转变换，不符合题意； 选项D：该图案无法通过平移得到，不符合题意． 2. 下列调查中，应作全面调查的是（ ） A. 学期初某校对七年级学生进行心理健康筛查 B. 检测某批次新能源电池的使用寿命 C. 了解初中生假期的主要娱乐方式 D. 了解初中生中有多少学生知道父母的生日 【答案】A 【解析】 【分析】根据两种调查的适用场景判断，若调查范围小，不具有破坏性，且需要准确结果，则选择全面调查，反之选择抽样调查. 【详解】解：选项B检测电池使用寿命具有破坏性，不适合全面调查； 选项C，D的调查对象范围大，人数多，适合抽样调查； 选项A的调查对象为本校七年级学生，范围小，且需要准确的筛查结果，无破坏性，适合全面调查． 3. 2026年4月24日全新系列模型的预览版本正式上线并同步开源．拥有百万字超长上下文，在能力、世界知识和推理性能上均实现国内与开源领域的领先．模型按大小分为两个版本： 模型 参数 激活 预训练数据 上下文长度 开源 API 服务 网页端/访问方式 √ √ 专家模式 √ √ 快速模式 已知表中数据，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数，正确确定和的值即可解题． 【详解】解：首先根据科学记数法对的要求，可排除不符合要求的选项B和D， ∵是12位整数，可得，且将原数整理为的形式得， ∴． 4. 当（ ）时，分式的值为0． A. 2或1 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式值为的要求，即分子等于且分母不为，分别计算得到符合要求的的值即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴该分式需同时满足：分子为，分母不为， 令分子， 解得， 令分母不为，即， 解得：， ∵，满足，符合条件， ∴时，分式的值为． 5. 下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，右边是整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义，故符合题意； B选项：右边不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； C选项：右边不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； D选项：右边不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意． 6. 不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 7. 如图，直线与直线相交于点，．射线平分，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直的定义得，由角平分线定义得，再求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 已知，则表示的代数式是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对因式分解，再约去公因式即可得到的代数式． 【详解】解：∵， ∴ ． 9. 我国明代数学家程大位的《算法统宗》中记载：“钱二十贯，买绫罗四百六十尺，绫每尺四十三文，罗每尺四十四文．”意为：用20贯钱买了绫布和罗布共460尺，其中绫布每尺43文，罗布每尺44文．已知1贯文，设买进的绫布有尺，罗布有尺，则可以列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别是总尺数的等量关系和总钱数的等量关系，注意单位换算，将总钱数换算为文即可解题． 【详解】解：∵设买进的绫布有尺，罗布有尺，绫布和罗布共尺， ∴可得， ∵1贯文，总钱数为贯，即总钱数为，绫布每尺文，罗布每尺文，总花费等于两种布的花费之和， ∴可得， 因此列出的方程组为． 10. 如图，点在线段上，，点与点向上平移距离得到点与点，点到直线的距离为，和相交于点，连结和．则和面积的差可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，作于H，由题意得，，，，计算出的面积为，的面积为，再列式计算即可得到答案． 【详解】解：连接，作于H， 由题意得，，，， 的面积为， 的面积为， 和面积的差为． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知是关于和的方程的一个解，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 12. 在“经典诵读”活动中，某班50名学生的参赛成绩如下：优秀20人，良好30人．则成绩为“优秀”的频率是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，数据总个数为，成绩为“优秀”的频数为， ∴得成绩为“优秀”的频率为：． 13. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将等式左侧利用完全平方公式展开，通过对比等式两边对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解：根据完全平方公式展开等式左侧，得， ∵， ∴， 对比等式两边一次项系数，得， 解得． 14. 如图，，平分，点在上．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可求得，由角平分线的定义可得，再次利用平行线的性质得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴． 15. 学校门口的蜜雪冰城推出两款500毫升的冰鲜柠檬水：A款为“3分糖”（糖浓度为），B款为“7分糖”（糖浓度为）．小明想用这两款柠檬水混合调配成“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水．若他购买了3杯A款，则还需要购买______杯B款． 【答案】 【解析】 【分析】设还需要购买x杯B款，根据A款含糖量款含糖量混合后“4分糖”（糖浓度为）的柠檬水含糖量，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设还需要购买x杯B款，根据题意得： ， 解得：， 即还需要购买1杯B款． 16. 一位密码编译者，设置以下规则：，，，，，分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是___________（只需写出一种）． 【答案】我爱数学 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 【详解】解：∵ ， ， ∵对应密码字：我， 爱，学，数， ∴密码信息为“我爱数学”． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算． 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 18. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 19. 解下列方程（或方程组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 20. 下表是通过中国国家统计局（）官网查询到的年国内生产总值（）的数据统计表（精确到万亿），现在利用办公软件绘制了一张折线统计图，请你根据统计图表回答下面的问题： 年中国数据统计表 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 /万亿元 103 117 123 129 135 140 （1）根据折线统计图说明我国在这6年间有怎样的变化趋势？ （2）相邻的两年中，哪两年间的增长最快？ 这两年之间的增长率是多少（精确到）？ 【答案】（1）年我国持续逐年上升，整体呈稳步增长的趋势 （2）2020到2021年的增长最快，增长率是 【解析】 【分析】（1）观察折线整体走向，折线持续向上，直接判断逐年稳步增长； （2）折线向上倾斜代表产值增加，向上线段越陡，增长量越大，先通过图像倾斜程度确定年增长最快，再利用“”列式计算． 【小问1详解】 解：观察折线整体走向，折线持续向上，直接判断逐年稳步增长， ∴年我国持续逐年上升，整体呈稳步增长的趋势； 【小问2详解】 由图可知，所有相邻年份线段均向上倾斜，其中2020到2021年的向上线段最为陡峭， ∴2020到2021年的增长最快， 增长率为：， 答：2020到2021年的增长最快，这两年之间的增长率是． 21. 学校七年级有330名学生参加研学．现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐12人，刚好坐满．学校预备了几辆大客车，几辆中巴车？ 【答案】学校预备了6辆大客车，2辆中巴车 【解析】 【分析】由大客车的数量中巴的数量辆，大客车的数量中巴车的数量人，由此可列出方程组求解． 【详解】解：设学校预备了大客车辆，中巴车辆， 由题意得：， 解得：． 答：学校预备了6辆大客车，2辆中巴车． 22. 研究得到：对于任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行运算：第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步：． （1）若从某正整数出发，第一步运算得到16，求所有满足条件的正整数； （2）若（为任意正整数）符合以上运算规律，那么（为任意正整数）是否也满足该运算规律？请说明理由． 说理如下： 因为为任意正整数 所以为奇数 则下一步运算结果为 所以可以经过多次运算化为的形式，即满足该运算规律． （请将说理空缺步骤填入以上框中．） 【答案】（1）32或5 （2）因为为偶数， 所以下一步运算结果为 所以下一步运算结果为 由于是任意正整数，因此属于题中所述的的形式． 【解析】 【分析】（1）分为偶数和为奇数求解即可； （2）将连续进行两次除以的运算． 【小问1详解】 解：若为偶数，则，解得； 若为奇数，则，解得； 所以所有满足条件的正整数为32或5； 【小问2详解】 略 23. 科学实验发现，光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，其传播方向会发生偏折，这种现象叫作光的折射．如图所示，长方形（）看作一块长方体透明玻璃的一个截面，一条光线穿过玻璃体时在与处发生折射，已知，． （1）已知，求的度数． （2）通过实验得到，从而发现两次折射后的光线与原来的光线互相平行，即，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：理由如下： 由（1）可知，， ． ， ， 即， ， 即， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，以及垂直的定义，进行解答即可； （2）根据平行线的性质与判定，进行解答即可． 【小问1详解】 解： ，，且， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 24. 校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． （1）若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． （2）若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） （3）在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 【答案】（1）弯道直径约为米 （2）第2道的起跑线应比第1道前移米 （3）米/秒米/秒 【解析】 【分析】（1）先设弯道直径为米，则直道为米，再根据题意列出方程，最后解方程即可； （2）先设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米，再根据相邻跑道弯道部分的长度差，进行计算即可； （3）根据追及问题的时间关系，结合接力区的限制条件，建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设弯道直径为米，则直道为米， 由题意得，， 解得，． 结果保留整数， ． 答：弯道直径约为米． 【小问2详解】 解：设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米， 第2道比第1道多跑的距离为：（米） 答：第2道的起跑线应比第1道前移米． 【小问3详解】 解：设乙的恒定速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 乙加速跑10米所用的时间为：（秒）， 设乙追上甲时，乙在匀速阶段跑了米， 则乙的总路程为米，总时间为（秒）， 甲的总路程为米，总时间为（秒）， 根据时间相等，得， 整理得，， ． 要保证在传接棒区（米至米）内完成交接， ， 解得，． 答：乙的恒定速度的取值范围是米/秒米/秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $