（旧知清零）专题02 长方体和正方体的认识、表面积及体积【能力清单+核心易错点+错题复盘练】（讲义）-2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 专题02 长方体和正方体的认识、表面积及体积 【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解长方体和正方体的核心定义，准确区分二者特征边界与表面积、体积、容积的概念差异。 2、能熟练完成立体图形展开、棱长测量操作，理解面、棱、顶点特征和三类度量计算的内在关联。 3、能熟练运用棱长、表面积、体积公式，完成各类长方体正方体相关题型的求解。 4、能根据不同情境，灵活选择“实物对照法、公式推导法、展开图还原法”适配解题需求。 5、会检验计算结果，选择反向代入棱长总和、拆分面求和的策略验证表面积、体积结果的正确性。 6、能分辨相关实际问题，抓住“找准对应度量维度的约束条件”这一核心关键。 7、做题时，能圈出题目中的“棱长”“表面积”“体积”“无盖”等核心关键词。 8、能熟练根据实际场景设定解题路径，区分直接套公式、分步拆面推导的适用场景。 9、能准确识别“棱长计算类、表面积求解类、体积容积换算类、等积变形类”不同题型，匹配对应求解步骤。 10、能根据已知的体积、表面积结果反推缺失的长、宽、高参数，理清三维立体各要素的对应逻辑。 1、同时满足6个矩形面、12条棱、8个顶点的立体图形才是标准长方体，仅棱的长度不全相等但面数、顶点数不符合要求的立体图形不能直接判定为长方体。 2、计算长方体正方体的表面积时，要结合实际场景确认需要计算的面的数量，不能直接默认套用6个面的总面积公式硬算结果。 3、计算不规则物体的排水法体积时，物体完全浸没后，排开液体的体积才等于物体体积，不能直接用部分浸入的液面变化差直接当作物体总体积。 4、反向核验体积计算结果时，将算出的体积代入体积公式反向推导，最终得到的长、宽、高乘积要和题目给出的原始棱长参数完全匹配。 5、计算长方体棱长总和时，长、宽、高对应的棱各有4条，不能直接把长、宽、高的和直接当作总棱长，遗漏倍数关系导致结果偏差。 6、标注表面积、体积、容积的最终结果时要明确匹配对应单位，避免出现面积单位、体积单位、容积单位的指代错配问题。 7、处理长方体展开图的题型时，要先确认相对面的对应关系，不能直接随意拼接相邻面，导致还原后的立体图形面的匹配关系完全错误。 8、同一道长方体正方体相关题目的度量基准必须完全统一，不能中途随意切换长度单位，打乱表面积、体积的单位换算逻辑。 9、解决等积变形的实际应用问题时，要先锚定变形前后的总体积保持不变的核心约束，不能直接硬套不同形状的表面积公式乱算结果。 10、仅符合实心规则立体的标准场景才能适配本单元的长方体正方体度量规则，存在空心、镂空结构的特殊立体场景不能随意套用常规的表面积、体积运算逻辑。 一、选择题 1．一个长方体的底面积是42平方厘米，宽是6厘米，如果这个长方体的高增加2厘米，则表面积增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．48 C．52 D．60 【答案】C 【分析】长方体的高增加，上下底面的面积不变，表面积增加的部分是四周侧面的面积。增加的表面积等于底面周长乘增加的高。已知底面积和宽，根据长＝底面积÷宽，先求出长，再根据底面周长＝（长＋宽）×2求出底面周长，最后计算增加的表面积。 【解答】长方体的长：42÷6＝7（厘米） 底面周长：（7＋6）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 增加的表面积：26×2＝52（平方厘米） 2．建筑工人把三块完全相同的长方体彩砖按照三种不同的方法分别切割成两块（如下图）。求原来每块长方体彩砖的表面积的正确列式是（    ）。 A．（80＋128＋160）×2 B．（80＋128＋160）÷2 C．80＋128＋160 D．以上都不对 【答案】C 【分析】长方体6个面的面积之和叫做长方体的表面积。 第1种切法，增加的面积相当于长方体左右面的面积之和；第2种切法，增加的面积相当于长方体上下面的面积之和；第3种切法，增加的面积相当于前后面的面积之和。本题中，求长方体的表面积，把增加的面积相加即可。 【解答】A．（80＋128＋160）×2，该算式算出了长方体表面积的2倍。该选项错误。 B．（80＋128＋160）÷2，该算式只算出了长方体左面，上面和前面的面积之和，没有算出表面积。该选项错误。 C．80＋128＋160，该选项算出了长方体的表面积。该选项正确。 D．选项C是对的，该选项错误。 3．下图是一个正方体展开图的其中5个面，要补全这个正方体展开图，应添的面的位置是（    ）。 A．④ B．③ C．② D．① 【答案】B 【分析】正方体展开图有“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型这四种类型；只要出现“田”字形、“凹”字形、“7”字形的结构，就一定不是正方体的展开图，且一行（列）正方形的数量不超过4个。 【解答】A．一行有5个正方形，这种结构在折叠时会出现面重叠，无法围成正方体。 B．属于正方体展开图的“1－4－1”型，折叠后能围成正方体。 C．出现了“凹”字形结构，这种结构在折叠时会出现面重叠，无法围成正方体。 D．出现了“7”字形结构，这种结构在折叠时会出现面重叠，无法围成正方体。 4．小芳用学具棒搭一个长方体框架，她刚搭了其中的三根，此时长方体大小已经确定的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方体的大小是由它的长、宽、高，也就是相交于同一个顶点的3条不同方向的棱决定，必须同时确定三个方向的棱长，才能确定长方体的大小。 【解答】A．三根棱是从同一个顶点出发、分属三个不同方向，刚好同时确定了长、宽、高，因此长方体的大小可以确定。 B．三根棱未从同一个顶点出发，属于两个不同方向，缺少一个方向的棱长，无法确定长方体的大小。 C．三根棱未从同一个顶点出发，属于两个不同方向，缺少一个方向的棱长，无法确定长方体的大小。 D．三根棱未从同一个顶点出发，属于两个不同方向，缺少一个方向的棱长，无法确定长方体的大小。 5．如图，将5个棱长为2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积共有（    ）平方厘米。 A．20 B．40 C．96 D．120 【答案】B 【分析】墙角堆叠立体，数出从“上面、前面和右面”三个方向观察，露在外面小正方形的数量的总和，先求1个面的面积后再乘外露面小正方形的总数即可得到总面积。 从上面看露在外边的面有3个； 从前面看露在外边的面有4个； 从右面看露在外边的面有3个； 【解答】3＋3＋4＝10（个） 2×2＝4（平方厘米） 10×4＝40（平方厘米） 6．一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法完全正确的是（    ）。 A．体积减少，表面积减少 B．体积不变，表面积增加 C．体积与表面积都不变 D．体积减少，表面积不变 【答案】D 【分析】因为挖掉一小块会占据原长方体的部分空间，所以整体的体积等于原长方体体积减去挖掉部分的体积，判断体积增减； 如果在顶点处挖去小长方体，那么原本去掉了3个不同方向的面，同时又新露出了3个和去掉的面面积分别相等的面，将挖去后减少的面面积和新增的面面积对比，判断表面积变化。 【解答】长方体挖掉一小块后，原本的空间少了挖走部分的体积，因此体积一定减少，排除B、C选项。 在长方体的顶点处挖去小块，挖去前顶点位置原本露出3个小面，挖去后会新露出3个面积和原小面相等的新面，总的表面积和挖之前相等，因此表面积不变； 综上，体积减少，表面积不变。 7．如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，那么这个长方体的体积就扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．18 C．9 D．27 【答案】D 【分析】根据长方体的体积公式，当长、宽、高都扩大到原来的倍时，利用积的变化规律，体积扩大的倍数是长、宽、高扩大倍数的乘积。 【解答】设原来长方体的长为，宽为，高为。 原来长方体的体积为： 现在长方体的长、宽、高都扩大到原来的倍，则现在的长为，宽为，高为。 现在长方体的体积为： 因为，所以体积扩大到原来的倍。 8．为了比较一块土豆和一块红薯的体积，小明做了如下实验，观察下面实验过程和数据，得出结论是：（    ）。 A．土豆的体积大 B．红薯的体积大 C．土豆和红薯的体积相等 D．无法判断 【答案】B 【分析】容器底面积固定，物体体积等于上升的水的体积，先求出放入土豆后水面上升的高度，再求出放入红薯后水面上升的高度，最后对比两次水面上升的高度来比较体积大小。 【解答】放入土豆后水的高度是8厘米，8－5＝3 放入红薯后水的高度是12厘米，12－8＝4 4＞3，所以红薯的体积大。 9．一个长方体的高增加3dm就变成了一个正方体，表面积比原来增加了60dm2。原来长方体的体积是（    ）dm3。 A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】长方体的高增加3dm后变成正方体，说明原来长方体的底面是正方形，且正方体的棱长等于原来长方体的长和宽；表面积增加的部分是高为3dm的长方体的侧面积，即底面周长乘增加的高的积；据此可求出底面边长，进而求出原来长方体的高，最后根据长方体体积＝长×宽×高，即可解答。 【解答】60÷3÷4 ＝20÷4 ＝5（dm） 5－3＝2（dm） 5×5×2＝50（dm3） 所以，原来长方体的体积为50dm3。 10．晓玉将一块体积为1.2立方分米的石头放入盛有水的长方体容器中。已知长方体容器从里面量长为2分米、宽为1.5分米、高为4分米，放入石头前水深1分米。石块完全浸入水中，此时水深为（    ）分米。 A．1.4 B．0.4 C．1.6 D．2 【答案】A 【分析】将石头完全浸入水中时，上升部分水的体积与石头的体积相等。先计算出容器底面积，再用石头的体积（即上升部分水的体积）除以容器底面积，求出水面上升的高度，然后再加上原来水深就是现在的水深。 【解答】 （分米） 二、填空题 11．如图是一个长方体礼盒，用铁丝做这个长方体框架，至少需要（ ）厘米长的铁丝，这个长方体的底面积是（ ）平方厘米。 【答案】56 36 【分析】先根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入长、宽、高数值，求出铁丝长度；再根据底面积公式：长×宽，求出底面积。 【解答】铁丝长度：（6＋6＋2）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 底面积：6×6＝36（平方厘米） 12．一个表面涂色正方体，每条棱都平均分成3份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有（ ）个。 【答案】 【分析】两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上，且需要除去每条棱两端顶点处的小正方体。正方体共有 12 条棱，根据每条棱被分成的份数，先求出每条棱上两面涂色的小正方体个数，再乘棱的总数即可得出结果。 【解答】 （个） 13．用一根铁丝正好围成了一个长方体框架，长16厘米、宽8厘米、高6厘米，这根铁丝长（ ）厘米，现在用同样长的铁丝做一个正方体框架，做成的框架棱长是（ ）厘米。 【答案】120 10 【分析】长方体有 12 条棱，相对的棱长度相等，棱长总和公式为（长＋宽＋高）×4；正方体有 12 条棱，每条棱长度相等，棱长总和公式为棱长×12。根据题意，铁丝长度不变，即长方体与正方体的棱长总和相等。先根据长方体的长、宽、高求出铁丝总长度，再根据正方体棱长总和求出一条棱的长度。 【解答】（16＋8＋6）×4 ＝30×4 ＝120（厘米） 120÷12＝10（厘米） 14．涛涛读书的教室长9m，宽7m，高3m。要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，门窗和黑板的面积是29.6m2。粉刷面积是（ ）m2。如果平均每平方米用0.2千克涂料，至少需要（ ）千克涂料。 【答案】129.4 25.88 【分析】粉刷教室需要计算屋顶和四面墙壁的面积之和，地面不需要粉刷。计算出总面积后，需减去门窗和黑板的面积得到实际粉刷面积。 最后，用实际粉刷面积乘每平方米需要的涂料质量，即可求出总共需要的涂料质量。 【解答】9×7＋（9×3＋7×3）×2 ＝63＋（27＋21）×2 ＝63＋48×2 ＝63＋96 ＝159（m2） 159－29.6＝129.4（m2） 129.4×0.2＝25.88（千克） 则粉刷面积是129.4m2。如果平均每平方米用0.2千克涂料，至少需要25.88千克涂料。 15．探探用五个完全相同的正方体拼成一个长方体（如下图），在拼的过程中有（ ）个正方形的面重叠。拼成的这个长方体的棱长之和为168厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】8 792 【分析】每两个正方体贴合，会重叠2个正方形面（左边正方体右侧面、右边正方体左侧面互相盖住），五个完全相同的正方体拼成一个长方体，共重叠了4次； 观察图形可以计算出长方体中正方体的总棱长数量，长是5个棱长，宽是1个棱长，高是1个棱长，由此计算出总的棱长数量，用棱长之和除以棱长总数，就可以计算出正方体的棱长；再分别计算出长方体的长、宽、高，根据 ，代入数值计算即可。 【解答】重叠面的个数：2×4＝8（个） 棱长总数：（5＋1＋1）×4 ＝7×4 ＝28（个） 正方体棱长：168÷28＝6（厘米） 长方体的长：6×5＝30（厘米） 长方体的表面积：（30×6＋30×6＋6×6）×2 ＝（180＋180＋36）×2 ＝396×2 ＝792（平方厘米） 16．有下面三种纸板若干块（单位：cm），从中选六块围成一个长方体（正方体除外且不裁剪），这个长方体的体积是（ ）。 【答案】45 【分析】首先明确长方体面的特征：长方体相对的面完全相同，且有12条棱，分为3组，每组4条棱长度相等，确定长方体的长、宽、高三个维度的长度是解题突破口。 分析给出的三种纸板的边长：第一种为长5、宽3，第二种为长5、宽4，第三种为边长3的正方形。如果选择正方形纸板，那么长方体必有一组棱长相等，结合另外两种纸板的公共边，确定出对应的长、宽、高；如果不选正方形纸板，验证是否能满足6块纸板围成长方体的条件。 确定长、宽、高后，根据长方体体积公式计算体积。 【解答】长方体共有6个面，相对的面完全相同： 如果要围成长宽高为的长方体，需要2块的纸板，题目没有这种纸板，无法拼成。 符合要求的拼法：选2块的正方形纸板作长方体相对的两个面，再选4块的长方形纸板作剩余四个侧面，得到的长方体长宽高为，符合“正方体除外”的要求。 该长方体体积： （cm3） 17．在（    ）里填上合适的数。 5.32m3＝（ ）dm3        7.05m3＝（ ）m3（ ）dm3 4.08L＝（ ）mL        800mL＝（ ）cm3＝（ ）dm3 【答案】5320 7 50 4080 800 0.8 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1升＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【解答】5.32m3＝5.32×1000＝5320dm3 0.05m3＝0.05×1000＝50dm3，7.05m3＝7m350dm3 4.08L＝4.08×1000＝4080mL 800mL＝800cm3＝800÷1000＝0.8dm3 18．一个长方体的棱长和是96dm，如果长方体的长是12dm，宽是7dm，高是（ ）dm，它的体积是（ ）dm3。 【答案】5 420 【分析】长方体的棱长和公式为：棱长和＝（长＋宽＋高）×4，因此高＝棱长和÷4－长－宽，代入数据计算即可；长方体的体积公式为：体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解答】高是： （dm） 体积是： （dm3） 所以一个长方体的棱长和是96dm，如果长方体的长是12dm，宽是7dm，高是5dm，它的体积是420。 19．光明小学新建了一个长8m、宽2.75m、深6dm的长方体跳远沙坑，沙坑底层用黄土和沙石填充，上层填充4dm厚的细沙。这个跳远沙坑的占地面积是（ ），需要填充（ ）的细沙。 【答案】22 // 【分析】①求沙坑的占地面积，也就是求这个长方体的底面积，即求这个沙坑的长和宽所围成的长方形的面积，长方形的面积＝长×宽。 ②求需要填充细沙的体积，就是求这个长方体的占地面积和细沙填充的高度的乘积，长方体的体积公式：，细沙填充的厚度是，需要统一单位。，低级单位转化成高级单位要除以进率。 【解答】①长：，宽： ② 高：dm 20．把5个棱长为8dm的小正方体堆放在墙角处（如图），有（ ）个面露在外面，露在外面的面积是（ ）dm2，组成物体的体积是（ ）dm3。 【答案】10 640 2560 【分析】分别数出从前面、上面、右面看到的面的个数，然后相加；根据正方形面积公式S＝边长×边长，先算出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可得到露在外面的总面积；根据正方体体积公式V＝棱长×棱长×棱长，先算出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，就能得到组成物体的总体积。 【解答】从前面看有3个面，从上面看有3个面，从右面看有4个面，所以露在外面的面的总数为：3＋4＋3＝10（个） 露在外面的面积：10×8×8＝640（dm2） 体积：8×8×8×5 ＝64×8×5 ＝512×5 ＝2560（dm3） 三、判断题 21．把长9cm，宽7cm，高5cm的长方体木块切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是。（ ） 【答案】× 【分析】把长9cm，宽7cm，高5cm的长方体木块切成一个最大的正方体，这个最大正方体的棱长为5cm，利用“正方体的表面积=棱长×棱长×6”求出这个正方体的表面积，据此解答。 【解答】最大正方体的棱长为5cm。 5×5×6 ＝25×6 ＝150（） 原题说法错误。 故答案为：× 22．用64个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，并把大正方体的6个面都涂上绿色，这些小正方体中，没有涂色的小正方体有6个。（ ） 【答案】× 【分析】因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱上有4个小正方体。没有涂色的小正方体在大正方体的内部，内部小正方体每条棱上有4－2＝2个。没有涂色的小正方体共有2×2×2＝8个，再和题干数字比较即可判断对错。 【解答】4×4×4＝64 4－2＝2（个） 2×2×2＝8（个） 8＞6 故答案为：× 23．一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的64倍。（ ） 【答案】√ 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，则体积扩大到原来的（4×4×4）倍。 【解答】4×4×4 ＝16×4 ＝64 一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的64倍。原题说法正确。 故答案为：√ 24．一个长方体被挖掉一个小正方体（如图），体积减少，表面积不变。（ ） 【答案】√ 【分析】在长方体顶点处挖去一个小正方体，原来长方体的体积减少了这个小正方体的体积；挖去一个小正方体，减少了小正方体的上面、前面和右面，增加了小正方体的下面、后面和左面，减少和增加的面积相等。 【解答】一个长方体在顶点处被挖掉一个小正方体，体积减少，表面积不变。原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 25．计算下列图形的表面积。（单位：cm） 【答案】（1）48cm2；（2）234cm2 【分析】（1）根据长方体展开图可知，长方体的长是5cm，宽是2cm，长方体的长＋高＝7cm，用7－2，求出长方体的高，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高） ×2，据此解答。 （2）根据图可知，挖去一个正方体，减少2个正方形的面积，同时加上4个正方形的面积，即多加2个正方形的面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方形面积＝边长×边长，据此解答。 【解答】（1）7－5＝2（cm） （5×2＋5×2＋2×2）×2 ＝（10＋10＋4）×2 ＝（20＋4）×2 ＝24×2 ＝48（cm2） （2）6×6×6＋3×3×2 ＝36×6＋9×2 ＝216＋18 ＝234（cm2） 26．计算下面立体图形的体积。       【答案】147cm3；86.4m3 【分析】（1）组合体体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。代入数值即可解答。 （2）先利用梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2算出横截面面积，再用横截面面积乘高，求出体积。 【解答】（1）6×4×5＋3×3×3 ＝120＋27 ＝147（cm3） （2）（2＋2.8）×1.8÷2×20 ＝4.8×1.8÷2×20 ＝8.64÷2×20 ＝4.32×20 ＝86.4（m3） 五、作图题 27．下面是正方体展开图，已经画出5个面，请你画出第六个面（画出一种即可）。 【答案】（答案不唯一） 【分析】正方体展开图有“141”“132”“33”“222”这几类标准类型，不能出现“田”字格、“凹”字形结构，据此补出第六个面即可。 【解答】根据“132”类型画出第六个面： 根据“222”类型画出第六个面： （答案不唯一） 六、解答题 28．欢欢有两根一样长的铁丝，她先用一根制作了一个棱长为12厘米的正方体框架，计划用另一根制作一个长为14厘米，宽为12厘米的长方体框架。这个长方体框架的高为多少厘米？（连接处忽略不计） 【答案】10厘米 【分析】利用正方体棱长和公式（棱长）计算出一根铁丝的长度；一根铁丝长度等于长方体棱长总和，长方体棱长总和除以 4 得到长、宽、高的和，从长、宽、高的和中减去已知的长和宽，即可求出高。 【解答】（厘米） （厘米） （厘米） 答：这个长方体框架的高为 10 厘米。 29．一种礼品盒长5dm、宽3dm、高4dm。用红色彩带把它捆扎起来，打结用去彩带3dm。按下图捆扎，需要多少dm的彩带？ 【答案】35dm 【分析】本题解题关键在于分析彩带在长方体长、宽、高三个方向上分别经过了几条棱；根据题图捆扎方式，彩带围绕长方体时，平行于长的线段有2条，平行于宽的线段有2条，平行于高的线段有4条；最后需要加上打结处用去的彩带长度；列综合算式解答。 【解答】5×2＋3×2＋4×4＋3 ＝10＋6＋16＋3 ＝16＋16＋3 ＝32＋3 ＝35（dm） 答：需要35dm的彩带。 30．阿欣家装修卫生间，卫生间长3.5米，宽2米，高2.8米，地面及四周墙上贴瓷砖，除去门窗2.4平方米不贴，贴瓷砖的面积是多少？ 【答案】35.4平方米 【分析】根据题意，卫生间是一个长方体，需要贴瓷砖的部分包括地面和四周的墙壁，共5个面，不需要贴天花板。，代入数据计算后，减去门窗不需要贴瓷砖的面积。 【解答】 （平方米） （平方米） 答：贴瓷砖的面积是35.4平方米。 31．二组同学废物利用，用一个长40厘米，宽30厘米，高35厘米的无盖长方体塑料盒（厚度忽略）来培育豆芽。由于箱体太高，他们组把塑料盒沿水平方向截去20厘米高的部分。截去后表面积减少了多少平方厘米？ 【答案】2800平方厘米 【分析】 如上图，一个长方体塑料盒，把塑料盒沿水平方向截去20厘米高的部分，则蓝色部分的高度为20厘米。截去20厘米高的部分后表面积会减少，减少的表面积就是蓝色部分的面积，包括前后两个面（即长高面）和左右两个面（即宽高面）。已知长方体的长为40厘米，宽为30厘米，蓝色部分的高为20厘米。根据减少的表面积＝长×高×2＋宽×高×2进行计算。 【解答】 答：截去后表面积减少了2800平方厘米。 32．2025年5月31日，沈阳皇姑第三届半程马拉松比赛隆重举行。下图是赛道旁铁皮花架的展开图（无盖长方体），如果把这个铁皮花架内外都涂上防锈漆，列式计算出涂上防锈漆的面积是多少平方米？ 【答案】9.44平方米 【分析】从展开图中可知，这个无盖长方体的长是16分米，宽是10分米，高是（22－10）÷2＝6分米；把这个铁皮花架涂上防锈漆，即涂防锈漆的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再乘2，就是内外都涂防锈漆的面积之和。注意单位的换算：1平方米＝100平方分米。 【解答】（22－10）÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 16×10＋16×6×2＋10×6×2 ＝160＋192＋120 ＝472（平方分米） 472×2＝944（平方分米） 944平方分米＝9.44平方米 答：涂上防锈漆的面积是9.44平方米。 33．如图所示的一个机器零件，下面是一个长方体，长方体上面的正中心位置有一个正方体。现在要给这个零件外表涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？（长方体的底面也要涂，图中单位：厘米） 【答案】2606平方厘米 【分析】，正方体表面积，，把正方体上面平移到长方体与正方体相接的位置，则这个零件涂色的部分包含长方体的六个面的面积之和，以及正方体前后左右四个面的面积之和。 【解答】（25×20＋25×15＋20×15）×2＋8×8×4 ＝（500＋375＋300）×2＋256 ＝1175×2＋256 ＝2606（平方厘米） 答：涂防锈漆的面积是2606平方厘米。 34．乐乐家汽车的油箱是一个近似的长方体，从里面量长大约是5分米，宽大约是4分米，高大约是3分米。92号无铅汽油每升8.65元。如果给这个油箱加满油、带500元够吗？ 【答案】 不够 【分析】根据长方体体积公式，把数据代入公式计算出油箱的容积，再根据将体积换算成用升作单位，再乘号无铅汽油每升的价钱，求得需要多少钱，最后与元进行比较即可。 【解答】（立方分米） （元） 答：带500元不够。 35．如图所示，一块长方形铁皮，从四个角切掉一个边长为5厘米小正方形，然后做成一个盒子。这个盒子的容积是多少升？（铁皮的厚度不计） 【答案】1.5升 【分析】长方体的容积＝长×宽×高，其中长方体的长＝40厘米－5厘米－5厘米，长方体的宽＝20厘米－5厘米－5厘米，长方体的高＝5厘米，代入数据计算，最后根据1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升换算单位即可。 【解答】40－5－5 ＝35－5 ＝30（厘米） 20－5－5 ＝15－5 ＝10（厘米） 30×10×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1500毫升＝1.5升 答：这个盒子的容积是1.5升。 36．将研学采集的工艺品浸入长方体透明盛水容器内，容器从里面量长分米、宽分米，水深分米。工艺品完全浸没、水未溢出，水面上升到分米，求工艺品的体积。 【答案】立方分米 【分析】根据题意，工艺品完全浸没在水中且水未溢出，根据排水法原理，工艺品的体积等于容器内水面上升部分的水的体积。水面上升部分的水形状为长方体，其长和宽与容器的内部长和宽相同，高为水面上升的高度，即放入工艺品后的水深减去放入前的水深。利用长方体体积公式即可求解。 【解答】 （立方分米） 答：工艺品的体积是立方分米。 37．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8.5分米，宽6分米，高10分米。 （1）制作这样一个鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？ （2）向鱼缸内注水，当水面下水与玻璃接触的某个侧面第一次呈现正方形形状时，此时注入了多少升水？ 【答案】（1）341平方分米 （2）306升 【分析】（1）长方体无盖玻璃鱼缸需要的玻璃面积就是求5个面的面积之和，即底面，左右两面，前后两面，代入数据即可求解； （2）当水面下水与玻璃接触的某个侧面第一次呈现正方形形状时，此时水深等于宽6分米时，算出此时水的体积，再换算为升即可求解。 【解答】（1）8.5×6＋8.5×10×2＋6×10×2 ＝51＋170＋120 ＝221＋120 ＝341（平方分米） 答：制作这样一个鱼缸，至少需要341平方分米的玻璃。 （2）8.5×6×6 ＝51×6 ＝306（立方分米） 306立方分米＝306升 答：向鱼缸内注水，当水面下水与玻璃接触的某个侧面第一次呈现正方形形状时，此时注入了306升水。 38．小娅周末在家想学习自制珍珠奶茶。 步骤①：准备一个长方体的杯子，从里面量，长厘米，宽厘米，高厘米； 步骤②：将毫升的牛奶倒入杯子里； 步骤③：在杯子里放入颗大小相同的“珍珠”，浸没，此时正好满杯。 （1）没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是多少？ （2）每颗“珍珠”的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）厘米 （2）立方厘米 【解答】（1）先进行单位换算，因为毫升和立方厘米是等量单位，所以毫升可直接转换为立方厘米，作为牛奶的体积，根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式就可以求出牛奶的高度。 （2）先计算杯子的总容积，因为放入珍珠后正好满杯，所以所有珍珠的总体积等于杯子总容积减去牛奶的体积，再用珍珠总体积除以珍珠数量，即可得到单颗珍珠的体积。 【解答】（1）毫升立方厘米 （厘米） 答：没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是厘米。 （2） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：每颗“珍珠”的体积是立方厘米。 39．小卖部购进一批巧克力共245包，想把它们包装成礼盒再出售。 （1）如果只包装成一种小礼盒，那么每盒（ ）包的包装方式刚好能够全部装完。 （2）这种包装方式需要的礼盒长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，如果要包装这种礼盒，每个礼盒至少要用多少平方厘米包装纸？（不考虑损耗） （3）装好后，用彩带把这个礼盒系上（如图所示），接头处彩带长18厘米。至少需要多少厘米彩带？ 【答案】（1）5 （2）700平方厘米 （3）104厘米 【分析】（1）要正好全部装完，说明巧克力包数除以每盒包数没有剩余；分别计算三种包装的结果，进而解答。 （2）求每个礼盒至少要用包装纸的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （3）需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处彩带的长度，据此解答。 【解答】（1）245÷2＝122（盒）……1（包），剩余1包，不能全部装完。 245÷3＝81（盒）……2（包），剩余2包，不能全部装完。 245÷5＝49（盒），没有剩余，可以全部装完。 答：每盒装5包的包装方式能够全部装完。 （2）（15×8＋15× 10＋8×10）×2 ＝（120＋150＋80）×2 ＝（270＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 答：每个礼盒至少要用700平方厘米包装纸。 （3）15×2＋8×2＋10×4＋18 ＝30＋16＋40＋18 ＝46＋40＋18 ＝86＋18 ＝104（厘米） 答：至少需要104厘米彩带。 40．下面是奇思比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：厘米） （1）土豆和红薯哪个体积大？请说出你的理由。 （2）计算出土豆的体积。 （3）计算出红薯和土豆的体积相差多少？ 【答案】（1）红薯；理由见详解 （2）144立方厘米 （3）96立方厘米 【分析】（1）从图中可知，长方体容器原有水深8厘米，放入土豆后，水面上升到9.5厘米，上升了（9.5－8）厘米；放入红薯后，水面从9.5厘米上升到12厘米，上升了（12－9.5）厘米；因为是同一个长方体容器，底面积相同，所以比较水面上升的高度，上升越高，说明放入物体的体积越大。 （2）放入土豆后，水面从8厘米上升到9.5厘米，水上升部分的体积等于土豆的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，求出这个土豆的体积。 （3）放入红薯后，水面从9.5厘米上升到12厘米，水上升部分的体积等于红薯的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，求出这个红薯的体积。再用红薯的体积减去土豆的体积，求出两者的体积差。 【解答】（1）9.5－8＝1.5（厘米） 12－9.5＝2.5（厘米） 2.5＞1.5 答：红薯的体积大。因为在同一个容器中红薯使水面上升的高度比土豆高。 （2）12×8×（9.5－8） ＝12×8×1.5 ＝96×1.5 ＝144（立方厘米） 答：土豆的体积是144立方厘米。 （3）12×8×（12－9.5） ＝12×8×2.5 ＝96×2.5 ＝240（立方厘米） 240－144＝96（立方厘米） 答：红薯和土豆的体积相差96立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 专题02 长方体和正方体的认识、表面积及体积 【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解长方体和正方体的核心定义，准确区分二者特征边界与表面积、体积、容积的概念差异。 2、能熟练完成立体图形展开、棱长测量操作，理解面、棱、顶点特征和三类度量计算的内在关联。 3、能熟练运用棱长、表面积、体积公式，完成各类长方体正方体相关题型的求解。 4、能根据不同情境，灵活选择“实物对照法、公式推导法、展开图还原法”适配解题需求。 5、会检验计算结果，选择反向代入棱长总和、拆分面求和的策略验证表面积、体积结果的正确性。 6、能分辨相关实际问题，抓住“找准对应度量维度的约束条件”这一核心关键。 7、做题时，能圈出题目中的“棱长”“表面积”“体积”“无盖”等核心关键词。 8、能熟练根据实际场景设定解题路径，区分直接套公式、分步拆面推导的适用场景。 9、能准确识别“棱长计算类、表面积求解类、体积容积换算类、等积变形类”不同题型，匹配对应求解步骤。 10、能根据已知的体积、表面积结果反推缺失的长、宽、高参数，理清三维立体各要素的对应逻辑。 1、同时满足6个矩形面、12条棱、8个顶点的立体图形才是标准长方体，仅棱的长度不全相等但面数、顶点数不符合要求的立体图形不能直接判定为长方体。 2、计算长方体正方体的表面积时，要结合实际场景确认需要计算的面的数量，不能直接默认套用6个面的总面积公式硬算结果。 3、计算不规则物体的排水法体积时，物体完全浸没后，排开液体的体积才等于物体体积，不能直接用部分浸入的液面变化差直接当作物体总体积。 4、反向核验体积计算结果时，将算出的体积代入体积公式反向推导，最终得到的长、宽、高乘积要和题目给出的原始棱长参数完全匹配。 5、计算长方体棱长总和时，长、宽、高对应的棱各有4条，不能直接把长、宽、高的和直接当作总棱长，遗漏倍数关系导致结果偏差。 6、标注表面积、体积、容积的最终结果时要明确匹配对应单位，避免出现面积单位、体积单位、容积单位的指代错配问题。 7、处理长方体展开图的题型时，要先确认相对面的对应关系，不能直接随意拼接相邻面，导致还原后的立体图形面的匹配关系完全错误。 8、同一道长方体正方体相关题目的度量基准必须完全统一，不能中途随意切换长度单位，打乱表面积、体积的单位换算逻辑。 9、解决等积变形的实际应用问题时，要先锚定变形前后的总体积保持不变的核心约束，不能直接硬套不同形状的表面积公式乱算结果。 10、仅符合实心规则立体的标准场景才能适配本单元的长方体正方体度量规则，存在空心、镂空结构的特殊立体场景不能随意套用常规的表面积、体积运算逻辑。 一、选择题 1．一个长方体的底面积是42平方厘米，宽是6厘米，如果这个长方体的高增加2厘米，则表面积增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．48 C．52 D．60 2．建筑工人把三块完全相同的长方体彩砖按照三种不同的方法分别切割成两块（如下图）。求原来每块长方体彩砖的表面积的正确列式是（    ）。 A．（80＋128＋160）×2 B．（80＋128＋160）÷2 C．80＋128＋160 D．以上都不对 3．下图是一个正方体展开图的其中5个面，要补全这个正方体展开图，应添的面的位置是（    ）。 A．④ B．③ C．② D．① 4．小芳用学具棒搭一个长方体框架，她刚搭了其中的三根，此时长方体大小已经确定的是（    ）。 A． B． C． D． 5．如图，将5个棱长为2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积共有（    ）平方厘米。 A．20 B．40 C．96 D．120 6．一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法完全正确的是（    ）。 A．体积减少，表面积减少 B．体积不变，表面积增加 C．体积与表面积都不变 D．体积减少，表面积不变 7．如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，那么这个长方体的体积就扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．18 C．9 D．27 8．为了比较一块土豆和一块红薯的体积，小明做了如下实验，观察下面实验过程和数据，得出结论是：（    ）。 A．土豆的体积大 B．红薯的体积大 C．土豆和红薯的体积相等 D．无法判断 9．一个长方体的高增加3dm就变成了一个正方体，表面积比原来增加了60dm2。原来长方体的体积是（    ）dm3。 A．25 B．50 C．75 D．100 10．晓玉将一块体积为1.2立方分米的石头放入盛有水的长方体容器中。已知长方体容器从里面量长为2分米、宽为1.5分米、高为4分米，放入石头前水深1分米。石块完全浸入水中，此时水深为（    ）分米。 A．1.4 B．0.4 C．1.6 D．2 二、填空题 11．如图是一个长方体礼盒，用铁丝做这个长方体框架，至少需要（ ）厘米长的铁丝，这个长方体的底面积是（ ）平方厘米。 12．一个表面涂色正方体，每条棱都平均分成3份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有（ ）个。 13．用一根铁丝正好围成了一个长方体框架，长16厘米、宽8厘米、高6厘米，这根铁丝长（ ）厘米，现在用同样长的铁丝做一个正方体框架，做成的框架棱长是（ ）厘米。 14．涛涛读书的教室长9m，宽7m，高3m。要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，门窗和黑板的面积是29.6m2。粉刷面积是（ ）m2。如果平均每平方米用0.2千克涂料，至少需要（ ）千克涂料。 15．探探用五个完全相同的正方体拼成一个长方体（如下图），在拼的过程中有（ ）个正方形的面重叠。拼成的这个长方体的棱长之和为168厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。 16．有下面三种纸板若干块（单位：cm），从中选六块围成一个长方体（正方体除外且不裁剪），这个长方体的体积是（ ）。 17．在（    ）里填上合适的数。 5.32m3＝（ ）dm3        7.05m3＝（ ）m3（ ）dm3 4.08L＝（ ）mL        800mL＝（ ）cm3＝（ ）dm3 18．一个长方体的棱长和是96dm，如果长方体的长是12dm，宽是7dm，高是（ ）dm，它的体积是（ ）dm3。 19．光明小学新建了一个长8m、宽2.75m、深6dm的长方体跳远沙坑，沙坑底层用黄土和沙石填充，上层填充4dm厚的细沙。这个跳远沙坑的占地面积是（ ），需要填充（ ）的细沙。 20．把5个棱长为8dm的小正方体堆放在墙角处（如图），有（ ）个面露在外面，露在外面的面积是（ ）dm2，组成物体的体积是（ ）dm3。 三、判断题 21．把长9cm，宽7cm，高5cm的长方体木块切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是。（ ） 22．用64个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，并把大正方体的6个面都涂上绿色，这些小正方体中，没有涂色的小正方体有6个。（ ） 23．一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的64倍。（ ） 24．一个长方体被挖掉一个小正方体（如图），体积减少，表面积不变。（ ） 四、计算题 25．计算下列图形的表面积。（单位：cm） 26．计算下面立体图形的体积。       五、作图题 27．下面是正方体展开图，已经画出5个面，请你画出第六个面（画出一种即可）。 六、解答题 28．欢欢有两根一样长的铁丝，她先用一根制作了一个棱长为12厘米的正方体框架，计划用另一根制作一个长为14厘米，宽为12厘米的长方体框架。这个长方体框架的高为多少厘米？（连接处忽略不计） 29．一种礼品盒长5dm、宽3dm、高4dm。用红色彩带把它捆扎起来，打结用去彩带3dm。按下图捆扎，需要多少dm的彩带？ 30．阿欣家装修卫生间，卫生间长3.5米，宽2米，高2.8米，地面及四周墙上贴瓷砖，除去门窗2.4平方米不贴，贴瓷砖的面积是多少？ 31．二组同学废物利用，用一个长40厘米，宽30厘米，高35厘米的无盖长方体塑料盒（厚度忽略）来培育豆芽。由于箱体太高，他们组把塑料盒沿水平方向截去20厘米高的部分。截去后表面积减少了多少平方厘米？ 32．2025年5月31日，沈阳皇姑第三届半程马拉松比赛隆重举行。下图是赛道旁铁皮花架的展开图（无盖长方体），如果把这个铁皮花架内外都涂上防锈漆，列式计算出涂上防锈漆的面积是多少平方米？ 33．如图所示的一个机器零件，下面是一个长方体，长方体上面的正中心位置有一个正方体。现在要给这个零件外表涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？（长方体的底面也要涂，图中单位：厘米） 34．乐乐家汽车的油箱是一个近似的长方体，从里面量长大约是5分米，宽大约是4分米，高大约是3分米。92号无铅汽油每升8.65元。如果给这个油箱加满油、带500元够吗？ 35．如图所示，一块长方形铁皮，从四个角切掉一个边长为5厘米小正方形，然后做成一个盒子。这个盒子的容积是多少升？（铁皮的厚度不计） 36．将研学采集的工艺品浸入长方体透明盛水容器内，容器从里面量长分米、宽分米，水深分米。工艺品完全浸没、水未溢出，水面上升到分米，求工艺品的体积。 37．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8.5分米，宽6分米，高10分米。 （1）制作这样一个鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？ （2）向鱼缸内注水，当水面下水与玻璃接触的某个侧面第一次呈现正方形形状时，此时注入了多少升水？ 38．小娅周末在家想学习自制珍珠奶茶。 步骤①：准备一个长方体的杯子，从里面量，长厘米，宽厘米，高厘米； 步骤②：将毫升的牛奶倒入杯子里； 步骤③：在杯子里放入颗大小相同的“珍珠”，浸没，此时正好满杯。 （1）没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是多少？ （2）每颗“珍珠”的体积是多少立方厘米？ 39．小卖部购进一批巧克力共245包，想把它们包装成礼盒再出售。 （1）如果只包装成一种小礼盒，那么每盒（ ）包的包装方式刚好能够全部装完。 （2）这种包装方式需要的礼盒长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，如果要包装这种礼盒，每个礼盒至少要用多少平方厘米包装纸？（不考虑损耗） （3）装好后，用彩带把这个礼盒系上（如图所示），接头处彩带长18厘米。至少需要多少厘米彩带？ 40．下面是奇思比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：厘米） （1）土豆和红薯哪个体积大？请说出你的理由。 （2）计算出土豆的体积。 （3）计算出红薯和土豆的体积相差多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $