2.4.1第1课时 一元二次方程的应用课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，通过回顾方程实际问题解决步骤（审设找列解检答）搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生从梯子滑动等几何问题切入，建立方程模型解决实际问题。 其亮点是以几何情境（梯子滑动、矩形运动、台风影响）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的几何直观，通过分析等量关系（勾股定理、面积公式）发展推理意识，例题变式分层设计，小结提炼转化与建模思想，助力学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

第二章 一元二次方程 2.4.1 一元二次方程的应用 第1课时 一元二次方程的应用 1. 经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程. 2. 能利用一元二次方程解决有关几何的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 学习目标 回 顾 你还记得解决方程 ( 组 ) 实际问题的一般步骤吗？ (1) 审：审题，明确题意； (2) 设：用字母表示题目中的未知数； (3) 找：找出等量关系； (4) 列：根据等量关系列出一元二次方程； (5) 解：求方程 ( 组 ) 的解； (6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际； (7) 答：写出答案并作答. 新课引入 探 究 还记得本章开始时的梯子滑动问题吗？ (1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1m 时，梯子底端滑动的距离大于 1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 分析：存在等量关系 ① 梯子底端滑动的距离 ＝ 梯子顶端滑动的距离； ② 直角三角形的勾股定理： 两条直角边的平方和等于斜边的平方. 新知学习 (1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1m 时，梯子底端滑动的距离大于 1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ x x 10m 8m A B C 6m 解：设梯子顶端下滑 x m时，梯子底端滑动的距离和它相等， 根据题意，得 ( 8 – x )2 ＋ ( 6 ＋ x )2 ＝ 102， 解得 x1 ＝ 0(舍去)，x2 ＝ 2. 所以梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动相等的距离. 新知学习 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等， 根据题意，得 ( 12 – x )2 ＋ ( 5 ＋ x )2 ＝ 132， 解得 x1 ＝ 0(舍去)，x2 ＝ 7. 所以梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等，当下滑距离为7米时相等. (2) 如果梯子的长度是 13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？ 分析：根据题意可画图： x x 12m 13m A B C 5m 新知学习 例 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C. 小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 北 东 200 A B C D E 200 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？( 结果精确到 0.1 n mile ) F 新知学习 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？( 结果精确到 0.1 n mile ) 北 东 200 A B C D E 200 分析：存在等量关系 ① 军舰的速度 ＝ 补给船的速度×2 ② 军舰航行的时间 ＝ 补给船航行的时间 ③直角三角形的勾股定理： 两条直角边的平方和等于斜边的平方 军舰航行的路程 ＝ 补给船航行的路程×2 F 新知学习 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？( 结果精确到 0.1 n mile ) 解：连接 DF. ∵AD ＝ CD，BF ＝ CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF//AB，且 DF ＝ AB. ∵AB⊥BC，AB ＝ BC ＝ 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF ＝ 100 nmile，BF ＝ 100 n mile. 北 东 A B C D E F 新知学习 北 东 A B C D E F 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE ＝ x n mile，AB ＋ BE ＝ 2x n mile， EF ＝ AB ＋ BF－(AB ＋ BE) ＝ ( 300－2x) n mile. 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 ＝ 1002 ＋(300－2x)2， 整理，得 3x2 – 1200x ＋ 100 000 ＝ 0. 解这个方程，得x1 ＝200－ ≈ 118.4，x2 ＝200 ＋ (不合题意，舍去) . 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 新知学习 变 式 如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.点P停止运动时点Q也停止运动. (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2? A D P Q B C 解：(1)依题意得AP＝3t，BP＝AB－AP＝16－3t， CQ＝2t，DQ＝DC－CQ＝16－2t， 故S梯形PBCQ＝ (CQ＋PB)·BC． 又∵S梯形PBCQ＝33， ∴ (2t＋16－3t)×6＝33，解得t＝5． 答：P、Q两点出发后5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． 新知学习 变 式 如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.点P停止运动时点Q也停止运动. (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm? A D P Q B C (2)过点P作PE⊥CD交CD于E． QE＝DQ－AP＝16－5t， 在Rt△PQE中，PE2＋QE2＝PQ2， 可得：(16－5t)2＋62＝102， 解得t1＝4.8(舍去)，t2＝ ． 答：P、Q两点从出发开始 s时，点P和点Q的距离第一次是10cm． E 新知学习 1.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米， 根据题意可列方程 (　　) A. 5x2＝6 B. 5(1＋x2)＝6 C. x(5－x)＝6 D. 5(1＋x)2＝6 C 随堂练习 2.如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过几小时它就会进入台风影响区？ 北 东 A B C 随堂练习 解：由题意，作图如下： 设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：CE＝40x km， BB'＝20x km，AB⊥AC， 在Rt△ABC中，BC＝500km，AB＝300km， ∴AC＝ ＝400km， ∴AE＝AC－CE＝(400－40x)km，AB'＝AB－BB'＝(300－20x)km， 在Rt△AB'E中，由勾股定理得：AE2＋AB'2＝EB'2， ∴(400－40x)²＋(300－20x)²＝200²， 解得 . (不符合题意，舍去) 答：经过7小时，这艘轮船就会进入台风影响区. 随堂练习 解：设运动t秒后△CMN的面积等于8cm²，根据题意得： CM＝6－t，NC＝2t， 则△CMN的面积是： ＝ ×(6－t)×2t＝8. 解得t1＝2，t2＝4. 故经过2秒或4秒后，△CMN的面积等于8cm². 3.如图，在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm.点M从点A出发，以每秒 1cm的速度沿AC方向运动：同时点N从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当点N到达点B时，点M同时停止运动. (1)运动几秒时，△CMN的面积为8cm²? A B C M N 随堂练习 3.如图，在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm.点M从点A出发，以每秒 1cm的速度沿AC方向运动：同时点N从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当点N到达点B时，点M同时停止运动. (2)△CMN的面积能否等于12cm²?若能，求出运动时间：若不能，请说明理由. A B C M N 解： ×(6－t)×2t＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9， 则当t＝3时，△CMN的面积最大为9. ∴△CMN的面积不能等于12cm². 随堂练习 4.如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m的小门，设栅栏BC长为xm. (1)AB＝ m(用含x的代数式表示)； A B C D 1m 1m 解析：设栅栏BC长为x m， ∵栅栏的全长为49m，且中间共留两个1m的小门， ∴AB＝49＋2－3x＝51－3x(m). 51－3x 随堂练习 4.如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m的小门，设栅栏BC长为xm. (2)若矩形围栏ABCD面积为210m²，求栅栏BC的长； A B C D 1m 1m (2)依题意，得：(51－3x)x＝210， 整理，得：x²－17x＋70＝0， 解得：x1＝7，x₂＝10. 当x＝7时，AB＝51－3x＝30>25，不合题意，舍去； 当x＝10时，AB＝51－3x＝21，符合题意， 答：栅栏BC的长为10m. 随堂练习 4.如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m的小门，设栅栏BC长为xm. (3)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240m²?若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由. A B C D 1m 1m (3)不可能，理由如下： 依题意，得：(51－3x)x＝240， 整理得：x²－17x＋80＝0. ∵b2－4ac＝(－17)2－4×1×80＝－31<0， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240m². 随堂练习 几何图形有 关的应用题 结合图形性质 分析理解题目 数学问题 找到等量关系 列方程 校验 解决问题 1. 列方程解应用题的三个重要环节： 2. 这节课的数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 课堂小结 $