第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语与不等式的跨模块整合，以基础概念为起点，通过阶梯式题型设计构建“概念理解-运算应用-创新拓展”的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|填空1-6、选择13|集合表示与运算、不等式解集|从元素属性到集合关系，体现概念生成逻辑| |综合应用|填空7-11、选择14-15、解答17-19|充要条件判断、方程与不等式综合|通过函数定义域值域、方程根的性质，构建知识应用网络| |创新拓展|填空12、选择16、解答20-21|“变项和”“区间长度”“k关联”新定义|以数学语言表达现实问题，发展创新意识与应用能力|

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，，则__________． 2．若，，且，则实数取值的集合是____________. 3．已知集合，则用列举法表示集合_______. 4．已知全集，集合，，则________． 5．已知集合，，则_______． 6．不等式的解集是______． 7．设全集为，集合，则________． 8．已知实数，满足，则的最大值为________． 9．已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 10．已知正数、满足，则的最小值为_______. 11．若集合，集合，则__________． 12．已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 14．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 15．已知实数 ，那么“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 16．已知集合，其中为实数，则中元素个数不可能是（     ） A．644个 B．645个 C．646个 D．647个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 18．（14分）已知关于 的方程． (1)若该方程有一个实根为 ，求方程的另一个根； (2)若该方程有一个模为1的虚根，求的值． 19．（14分）设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20．（18分）定义的“区间长度”为，设函数的定义域为． (1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； (2)已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为． ①若，求； ②求的最大值． 21．（18分）已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . 9. 5 10 . 11. 12. 2560 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D C B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）易知不等式等价于， 可得； 当时，不等式即为， 可得； 因此可得……（7分） （2）当时，不等式为恒成立； 当时，由恒成立可得，解得； 综上可得实数的取值范围为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）若该方程有一个实根为 ，则，解得：， 此时方程为，解得：，， 所以方程的另一个根为……（7分） （2）方程有虚根 ，所以，即， 设虚根为，则其共轭复数也是方程的根， 因为该方程有一个模为1的虚根，则 由韦达定理可得， 所以，解得：，满足，符合条件.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）对于函数，则有， 得， 故， 当时，由反比例函数性质得在上递减， 则函数在上递减，可得，即， 得到，则，即.……（7分） （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，由反比例函数性质得函数在上单调递减， 所以，且，得到，解得. 因此实数的取值范围是.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）解：当时，的定义域为， 由，解得或，则或， 所以不等式解集的“区间长度”为.……（4分） （2）①因为，由，解得或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以， 当时，则，又，则， 即，解得或， 所以或；……（11分） ②由①可知， 则， 因为，所以， 所以， 解得或（舍）， 所以， 因为，，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最大值为.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）是关联，证明：任取，若， 则， 是关联．……（4分） （2）依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为．……（10分） (3)证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联； 充分性： 对任意，故， ，故， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设，则， 由关联可得， 由结合关联可得， ， 综上，任取均满足， 即是关联．……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 2．若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 3．已知集合，则用列举法表示集合_______. 【答案】 【详解】由题意，集合的元素为满足的复数： 设，其中，为虚数单位，代入方程得： , 根据复数相等的充要条件，实部、虚部分别对应相等，可得方程组： , 若，则，无实数解，舍去；若，代入第一个方程得，解得, 因此满足方程的解为或，故 4．已知全集，集合，，则________． 【答案】 【详解】由全集，集合，， 可得，则. 5．已知集合，，则_______． 【答案】 【详解】由题可得，，则 6．不等式的解集是______． 【答案】 【详解】， 所以原不等式的解集为. 7．设全集为，集合，则________． 【答案】 【详解】由，得，解得或， 又，所以，则. 8．已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 9．已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】5 【详解】方法一：由实系数一元二次方程的虚根性质可知，方程的两个虚根互为共轭复数， 已知是方程的一个根，则另一根为， 根据韦达定理，对于方程，两根之积等于常数项， 因此. 方法二：将代入方程，得： ， 展开并整理得，即， 因为为实数，根据复数相等的充要条件，可得方程组： ， 解得. 10．已知正数、满足，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】因为正数、满足，则. 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 11．若集合，集合，则__________． 【答案】 【详解】当时，， 令，解得，与矛盾，故方程无解； 当时，， 等式恒成立，所以都是方程的解； 当时，， 令，解得，与矛盾，故方程无解， 所以. 因为等价于，即， 用穿根法可得不等式组的解为或， 所以. 因为，， 所以. 12．已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 【答案】2560 【详解】A集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是， 则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得或，即集合， 由可得，解得，即集合； 所以. 14．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 15．已知实数 ，那么“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】先判断充分性： ∵ 当，时，，满足， 此时，不满足， ∴ 由无法推出，充分性不成立. 再判断必要性： ∵ 若，则，同号， 根据绝对值的运算性质，同号两数和的绝对值等于绝对值的和，即恒成立， ∴ 由可推出，必要性成立. 综上，“”是“”的必要非充分条件. 16．已知集合，其中为实数，则中元素个数不可能是（     ） A．644个 B．645个 C．646个 D．647个 【答案】D 【详解】由题意可得，可得，即， 令，则，因为，解得， 即，方程在每个周期内有2个解， 因为区间长度为，且， 所以该区间包含个完整周期， 通过调整的取值，区间内的解的个数可能为个，个，， 所以中元素个数不可能是647. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）易知不等式等价于， 可得； 当时，不等式即为， 可得； 因此可得……（7分） （2）当时，不等式为恒成立； 当时，由恒成立可得，解得； 综上可得实数的取值范围为.……（14分） 18．（14分）已知关于 的方程． (1)若该方程有一个实根为 ，求方程的另一个根； (2)若该方程有一个模为1的虚根，求的值． 【详解】（1）若该方程有一个实根为 ，则，解得：， 此时方程为，解得：，， 所以方程的另一个根为……（7分） （2）方程有虚根 ，所以，即， 设虚根为，则其共轭复数也是方程的根， 因为该方程有一个模为1的虚根，则 由韦达定理可得， 所以，解得：，满足，符合条件.……（14分） 19．（14分）设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）对于函数，则有， 得， 故， 当时，由反比例函数性质得在上递减， 则函数在上递减，可得，即， 得到，则，即.……（7分） （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，由反比例函数性质得函数在上单调递减， 所以，且，得到，解得. 因此实数的取值范围是.……（14分） 20．（18分）定义的“区间长度”为，设函数的定义域为． (1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； (2)已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为． ①若，求； ②求的最大值． 【详解】（1）解：当时，的定义域为， 由，解得或，则或， 所以不等式解集的“区间长度”为.……（4分） （2）①因为，由，解得或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以， 当时，则，又，则， 即，解得或， 所以或；……（11分） ②由①可知， 则， 因为，所以， 所以， 解得或（舍）， 所以， 因为，，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最大值为.……（18分） 21．（18分）已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 【详解】（1）是关联，证明：任取，若， 则， 是关联．……（4分） （2）依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为．……（10分） (3)证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联； 充分性： 对任意，故， ，故， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设，则， 由关联可得， 由结合关联可得， ， 综上，任取均满足， 即是关联．……（18分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $