专题06 线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学沪教版2024六年级上册

专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）例1（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知线段，点C在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)若点P是线段的中点，点M是线段的中点，求线段的长． 例2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，，点E为线段的中点． (1)线段的长度为_______； (2)若，求线段的长度； (3)在（2）的条件下，若线段上有一点F，，则线段_______． 例3（25-26七年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点是线段的中点，是线段上的一点，． (1)若是线段的中点，且，则的长为________． (2)若，求线段的长． 例4（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，线段，延长至点，使得． (1)求线段的长； (2)若点是线段的中点，点是线段的中点，求的长． 例5（25-26七年级上·云南昭通·期末）如图，线段，，M是线段AC的中点． (1)求线段BM的长； (2)在射线CB上取一点N，使得，求线段MN的长． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 例2（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 例4（25-26七年级上·四川自贡·期末）如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：且m，n满足． (1)求线段的长； (2)线段的中点为M，线段中点为N，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为中点，，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 例5（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图1，直线上有一点P，点M，N分别为线段的中点．    (1)若点P在线段上，，且，求线段的长度； (2)若点P在直线上运动，，请分别计算下面情况时的长度； ①当P在之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ (3)如图2，若，点C为线段的中点，点P在线段的延长线上，求证：的值是定值． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 例2（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·江苏苏州·月考）【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 例4（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ． (1)求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度． (2)如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由． 例5（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t． (1)当M，N两点相遇时，求线段的长； (2)当t为何值时，线段的长为线段的； (3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（25-26七年级上·北京·期末）已知线段，线段在直线上运动（在的左侧，在的左侧）．若、满足． (1)①当点与点重合时，求____________； ②是的中点，当时，求的长； (2)当线段运动到点距离点一个单位长度时，若有一点在点右侧且位于线段的延长线上，试求的值． 例2（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为30，0，，动点P从B出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从A出发，以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动． (1)【发现问题】若点P与Q同时出发，则点P运动______秒追上点Q； (2)【解决问题】若点P与Q同时出发，求点P运动多少时间，点P与Q的距离为10个单位长度? (3)【创新应用】点P在运动过程中，M为的中点，若，则此时点M所代表的数为______． 例3（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，，，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点” 【概念理解】 （1）一条线段的中点______这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； 【深入研究】 （2）如图2，点表示数，点表示数．若点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动，当点到达点时停止运动．设运动的时间为秒． ①点在运动的过程中表示的数为______（用含的代数式表示）； ②当点是线段的“二倍点”时，求值； ③当点从点的位置开始运动时，同时点从点的位置开始．以每秒2个单位长度的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 例4（25-26七年级上·全国·期末）【新知理解】如图，点在线段 上，图中共有三条线段，和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段 的“巧点”． （1）下列说法正确的有______（填序号）． 若点是线段的中点，则点是线段 的巧点； 若点在线段上，且，则点是线段 的巧点； 【解决问题】（2）已知线段，动点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动，点， 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，， ， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点？ 例5（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． ． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的“巧点”，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图2，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，P为A、Q的“巧点”？说明理由． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（25-26六年级上·上海普陀·月考）定义：如果数轴上的点、、所表示的数分别是、、，若点是线段的中点则称是与的“中间数”．例如：图中点、表示的数分别是、，线段的中点表示的数是，则是有理数和的“中间数” (1)概念理解：有理数与的“中间数”是___________，和的中间数是___________； (2)性质探索：点、、所表示的数分别是、、，若是与的“中间数”，请直接写出、、之间的数量关系___________； (3)性质运用：第一组数与的中间数是，第二组数与的中间数也是，求、的值． 例2（25-26七年级上·河南郑州·月考）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 例3（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）数轴上、两点表示的数分别是，，且满足，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动秒．    (1)________，________； (2)如图1，当点在线段上时，若点为的中点，点为的中点，易知________； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若点为的中点，点为的中点，求线段的长； (4)若数轴上存在点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“亲密点”． ①若，则点的“亲密点”在数轴上对应的数为________； ②若点是点的“亲密点”，且，请直接写出的值． 例4（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例5（25-26七年级上·广东汕头·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 1．（25-26七年级上·山西大同·月考）直线l上有A，B，C三个点，已知，点D是的中点，且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，点在线段上，点是的中点，，，在线段上取一点，使得，则线段的长是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 4．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点P在向左的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确结论有（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④当时，点N表示的数为数轴的原点； ⑤在点P的运动过程中，线段的长度会改变． A．①②③ B．①③⑤ C．①②④ D．①④⑤ 5．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，点是线段的中点，是上一点，且．若为的中点，求的长为 6．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为 ． 7．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，在直线上有，两点，且满足．点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时点从出发沿射线以的速度运动．点、分别为、的中点，当时， ． 8．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 9．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图：线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为 ． 10．（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 11．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点C在线段上，，点分别是，的中点，求的长度． 12．（2025七年级上·重庆·专题练习）如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)_______，_______， (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、 恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 13．（25-26七年级上·重庆·月考）已知点在线段上，为的中点． (1)如图1，已知，求线段的长； (2)如图2，点在线段上，若，，已知，求线段的长． 14．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点B、C分成了三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是32，求的长． 15．（24-25七年级上·福建福州·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 16．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图，点在线段上，点、分别是，的中点． ①若，求线段的长； ②若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能用含字母的代数式表示的长度吗？请直接写出你的答案； （2）如图，若在线段的延长线上，且满足、分别为的中点，你能用含字母的代数式表示的长度吗？写出你的结论，并说明理由． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，在射线上有，，三点，满足，，．点从点出发，沿方向以的速度运动：点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发，设运动时间为． (1)若的速度为，则点和点经过___________相遇．（直接写出答案即可） (2)当_________时，（在线段上），若此时点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (3)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (4)当点运动到线段上时，分别取和的中点，则____________．（直接写出答案即可） 18．（2025七年级上·河南郑州·专题练习）已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点P、Q同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动．已知点R的速度是v个单位长度/秒，点P的速度是点R速度的4倍，点Q的速度是点R速度的3倍少5个单位长度．经过6秒时，P、Q、R三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出v的值． 19．（25-26七年级上·四川自贡·期末）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足 (1)求线段，的长； (2)线段的中点为，线段中点为，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，、分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出在哪一个时间段内． 20．（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 21．（25-26七年级上·全国·期末）对于题目“已知A、B、C在同一直线上，，，求的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． (1)请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①如图1，C点在线段上， ； ②如图2，C点在线段延长线上， ．所以线段的长为或． 解法二：如图3，在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．则A：表示的数为0，B：表示的数为3；因为，所以点C表示的数为 ；所以线段的长为或． (2)已知A、B、C、D在同一直线上，，，，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． (3)已知线段，线段在直线上运动，且，在运动的过程中，若点M、N分别为线段、的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． 22．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知为线段上一点（在左侧），如图1，且，． (1)若关于的方程是一元一次方程，则______． (2)在（1）的条件下，点为直线上一点，为线段中点，若，求的长． (3)若，，分别从，出发沿直线向左运动，点的运动速度是点运动速度的倍，、分别是、的中点．若运动到某一时刻恰好，求． 23．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，在射线上依次有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度； (2)若点的运动速度为，经过多长时间，两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，直接写出的值． 24．（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 25．（25-26七年级上·福建泉州·期中）我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，． （2）解：设运动时间为t，则，，，， 又，，即， ，，； （3）解：当点N在线段上时，如图 ，又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ，又，，即． 综上所述的值为或． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 【答案】(1)   (2)①　②　③ 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以．所以．故答案为：    （2）①设，则，． 根据题意，得 解得 ．．所以． ②根据题意，得，．，． 根据题意，得解得 ③设．当点在点的左侧时：，，， ，可得解得；所以． 当点在点的右侧时：，，． ．可得 解得 所以．综上所述，或．故答案为：或 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知线段，点C在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)若点P是线段的中点，点M是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了线段的和与差、线段中点的定义、一元一次方程的应用； （1）根据题意设，，利用列出方程，求出的值即可解答； （2）根据线段中点的定义求出、的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，； （2）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， 由（1）得，， ∴． 例2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，，点E为线段的中点． (1)线段的长度为_______； (2)若，求线段的长度； (3)在（2）的条件下，若线段上有一点F，，则线段_______． 【答案】(1)4 (2)8 (3)5或11 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段的和差关系是解题的关键： （1）根据线段的和差关系得到，即可得出结果； （2）先求出的长，由中点求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （3）分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即； （2）∵，， ∴， 由（1）知：， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）知：， ∴当时，或； 故答案为：5或11． 例3（25-26七年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点是线段的中点，是线段上的一点，． (1)若是线段的中点，且，则的长为________． (2)若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和与差、线段中点有关的计算，熟练掌握线段的和与差及线段中点的性质是解题的关键． （1）利用线段中点公式，结合即可求解； （2）设，，根据线段的和与差及线段中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：，，是线段的中点， ，， 点是线段的中点， ， ． 故答案为：． （2）解：， 设，， ． 点是线段的中点， ， ， ，解得， ， ． 例4（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，线段，延长至点，使得． (1)求线段的长； (2)若点是线段的中点，点是线段的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，根据图形得出线段之间的数量关系是解题的关键． （1）由，求出的长，继而求出的长； （2）根据线段中点的定义求出的长，继而求出的长，再根据线段中点的定义求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：点是线段的中点，， ， ， 点是线段的中点， ， ． 例5（25-26七年级上·云南昭通·期末）如图，线段，，M是线段AC的中点． (1)求线段BM的长； (2)在射线CB上取一点N，使得，求线段MN的长． 【答案】(1)25 (2)17或65 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据已知条件求得，根据求解． 本题考查了线段的和差倍分关系、线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M是AC的中点， ∴， ∴； （2）当点N在线段CB上时， ∵， ∴． ∴； 当点N在线段CB的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，MN的长为17或65． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 例2（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）由线段中点定义得，，然后根据可得答案； （2）由线段中点定义得，然后根据即可求解； （3）由（2）得，结合点为线段的中点即可求解； （4）利用（2）的过程即可解答． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 例4（25-26七年级上·四川自贡·期末）如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：且m，n满足． (1)求线段的长； (2)线段的中点为M，线段中点为N，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为中点，，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1) (2)8 (3)定值6， 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度较大． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）若6秒后，在点左边时，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：若6秒后，在点左边时，由， 即， 解得：， 若6秒后，在点右边时,则 ， 即， 解得：； （3）解：运动秒后，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，为定值. 例5（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图1，直线上有一点P，点M，N分别为线段的中点．    (1)若点P在线段上，，且，求线段的长度； (2)若点P在直线上运动，，请分别计算下面情况时的长度； ①当P在之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ (3)如图2，若，点C为线段的中点，点P在线段的延长线上，求证：的值是定值． 【答案】(1)7 (2)①；②；③；不论点P在哪里，为定值7 (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的含义，线段的和差及分类讨论思想的运用． （1）由点M是中点可求得，由点N是中点可求得，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得； ①点P在之间，由即可求解； ②当P在A左边，由即可求解； ③当P在B右边；由即可求解； （3）设，由，点C为线段的中点，得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵，点M是中点， ∴， ∴， 又∵点N是中点， ∴， ∴． （2）解：∵点M是中点，点N是中点， ∴； ①点P在之间，如图1-1，    则； ②当P在A左边，如图1-2，    则； ③当P在B右边，如图1-3，   ． 综上，不论点P在哪里，为定值7； （3）证明：设， ∵，点C为线段的中点， ∴，， ∴． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2或6 (2)0或2 (3)存在的值最小，点P所表示的整数为，最小值为6 【分析】本题主要考查数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系是解题的关键； （1）根据，分两种情况：①点在点的左边；②点在点的右边；分别求出点表示的数即可； （2）根据点是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点表示的数即可； （3）根据图示，可得当点在、两点之间时，的值最小，据此判断即可． 【详解】（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答： ①点在点的左边时， ，， ∴点表示数的是2， ②点在点的右边时， ，， ∴点表示的是6， 综上，可得点表示的数是2或6； （2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点， ， ∴线段的长度是6，分两种情况进行解答： ①时，点表示的数是， ②时，点表示的数是， 综上，可得点表示的是0或2； （3）解：存在，理由如下： 根据绝对值的几何意义，可得： 当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为， 此时，最小值为， 所以的最小值是6． 例2（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 例3（24-25七年级上·江苏苏州·月考）【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】一、感悟体验：见解析；二、认识概念：③；三、运用概念：（1）；（2）见解析；四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 例4（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ． (1)求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度． (2)如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)最大长度，最短长度 (2)存在， 【分析】本题考查的是线段的和差运算； （1）先求解，结合最长为，最短为，再进一步解答即可； （2）由可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ∵最长为，最短为， 最大长度； 最短长度； （2）解：， ，此时 ，符合题意． 当 伸缩到 时满足条件． 例5（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t． (1)当M，N两点相遇时，求线段的长； (2)当t为何值时，线段的长为线段的； (3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)EF的长为10 (2)当t＝6时，当EF的长为线段AB的 (3)存在，线段EF＝ 【分析】（1）由E，F分别为AM和BN的中点得EM＝AM，FN＝BN，可证明当点M与点N相遇时，则EF＝AB，因为AB＝20，所以EF＝10； （2）因为点N的速度比点M的速度快，所以点N先到达终点，求出t的取值范围是0≤t≤，再根据EF＝AB＝×20＝5列方程求出t的值并进行检验，得出问题的正确答案； （3）由EF＝20−（t＋t）＝20−t可知，EF的长随t的增大而减小，可见当t取得最大值时，则EF取得最小值，将t＝代入EF＝20−t求出EF的值即可． 【详解】（1）解：∵E，F分别为AM和BN的中点， ∴EM＝AM，FN＝BN， 当M、N两点相遇时，则AM＋BN＝AB＝20，EF＝EM＋EN， ∴EF＝EM＋FN＝（AM＋BN）＝×20＝10， ∴EF的长为10． （2）当点N到达点A时，则3t＝20， 解得t＝， ∴t的取值范围是0≤t≤， ∵AB＝20， ∴AB＝×20＝5， ∵AM＝2t，BN＝3t， ∴AE＝AM＝t，BF＝BN＝t， ∴EF＝20−（t＋t）或EF＝t＋t−20， 当EF的长为线段AB的，即EF＝5时，则20−（t＋t）＝5或t＋t−20＝5， 解得t＝6或t＝10（不符合题意，舍去）， ∴当t＝6时，当EF的长为线段AB的． （3）存在，EF＝． 由（2）得， ∴EF随t的增大而减小， ∴当t＝时，EF的值最小，此时，， ∴当线段EF最短时，则线段EF＝． 【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、线段上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（25-26七年级上·北京·期末）已知线段，线段在直线上运动（在的左侧，在的左侧）．若、满足． (1)①当点与点重合时，求____________； ②是的中点，当时，求的长； (2)当线段运动到点距离点一个单位长度时，若有一点在点右侧且位于线段的延长线上，试求的值． 【答案】(1)①；②或． (2)或 【分析】（1）①根据平方非负性求出a，b的值；②根据中点性质可求解； （2）根据线段的和差来表示，分类讨论． 本题考查了线段的和差，解题关键是正确画图． 【详解】（1）解：, ，， ①当D点与B点重合时, , ②如图， 当点在点左侧， ,,, , 是的中点， , , 当点在点右侧， ,,, , 是的中点， , , 故答案为：①；②或． （2）解：如下图， 由题意得： , , , ． 如下图， ， ， 。 ． 故答案为：或． 例2（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为30，0，，动点P从B出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从A出发，以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动． (1)【发现问题】若点P与Q同时出发，则点P运动______秒追上点Q； (2)【解决问题】若点P与Q同时出发，求点P运动多少时间，点P与Q的距离为10个单位长度? (3)【创新应用】点P在运动过程中，M为的中点，若，则此时点M所代表的数为______． 【答案】(1)8 (2)或 (3)25或40 【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，能够根据题意用含字母表示出点在数轴上表示的数是解题关键． （1）设时间为t，用含t的代数式表示点P和Q在数轴上对应的数，令对应的数相等，计算时间即可； （2）分两种情况讨论，通过两点之间的距离公式，分别表示，再令其等于10，求解计算即可； （3）分两种情况讨论，同（2）理，列方程求出点P对应的数，再用中点公式求解M即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t（s），则点P表示的数为，点Q表示的数为， 令， 解得， 故答案为：8； （2）解：分两种情况： 第一种：点P在点Q的左侧，由（1）可知，， ∴， 解得； 第二种：点P在点Q的右侧，由（1）可知，， ∴， 解得； 故点P运动或时，点P与Q的距离为10个单位长度； （3）解：分两种情况： 第一种：点P在点A的左侧，则，， 由题意，得， 解得； 第二种：点P在点A的右侧，则，， 由题意，得， 解得； 经检验，均满足题意， 当时，点P对应的数为，故此时点M所代表的数为； 当时，点P对应的数为，故此时点M所代表的数为； 故答案为：25或40． 例3（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，，，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点” 【概念理解】 （1）一条线段的中点______这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； 【深入研究】 （2）如图2，点表示数，点表示数．若点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动，当点到达点时停止运动．设运动的时间为秒． ①点在运动的过程中表示的数为______（用含的代数式表示）； ②当点是线段的“二倍点”时，求值； ③当点从点的位置开始运动时，同时点从点的位置开始．以每秒2个单位长度的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【答案】（1）是；（2）①；②或5或；③或或 【分析】本题考查数轴上点的运动及一元一次方程的应用： （1）根据“二倍点”定义，整条线段是中点分得小线段的两倍直接判断即可得到答案； （2）①利用点B代表数字减去走的路程即是表示的数字；②分情况，分得的两个小线段是2倍关系列式求解即可得到答案；③分别表示动点所代表的数，分情况，分得的两个小线段是2倍关系列式求解即可得到答案； 【详解】解：（1）∵中点分得的两个小线段相等等于整条线段的一半， ∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）①∵点表示数，点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动， ∴点在运动的过程中表示的数为：； ②∵点是线段的“二倍点” ∴或或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述值可能是或5或； ③由题意可得，代表的数字是， ∴，，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述点是线段的“二倍点”时的值为：或或． 例4（25-26七年级上·全国·期末）【新知理解】如图，点在线段 上，图中共有三条线段，和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段 的“巧点”． （1）下列说法正确的有______（填序号）． 若点是线段的中点，则点是线段 的巧点； 若点在线段上，且，则点是线段 的巧点； 【解决问题】（2）已知线段，动点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动，点， 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，， ， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点？ 【答案】（）（）当为或或或或时，，， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点． 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （）通过线段中点的定义，线段的和与差，“巧点”定义逐一判断即可； （）由题意知， ，根据题意可得点不可能为线段 的巧点，然后分当点为线段的巧点时，当点为线段的巧点时，两种情况分别列方程求解即可， 【详解】解：（）∵点是线段的中点， ∴， ∴点是线段 的巧点，故正确； ∵点在线段上，且， ∴， ∴点是线段 的巧点，故正确； 故答案为：； （）由题意知，， ， 由题意可得点不可能为线段 的巧点， 故分两种情况：当点为线段的巧点时， ，即，解得 ； ，即，解得 ； ，即，解得 ． 当点为线段的巧点时， ，即，解得 （舍去）； ，即，解得 ； ，即，解得 ． 综上所述，当为或或或或时，，， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点． 例5（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． ． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的“巧点”，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图2，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，P为A、Q的“巧点”？说明理由． 【答案】（1）是；（2）8；（3）当，或3秒时，为、的“巧点” 【分析】本题考查新定义、线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分类讨论．（1）根据“巧点”的定义解答即可；（2）点C是线段的“巧点”，则最长为，即，进而作答即可；（3）根据“巧点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵点在线段上，且点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：点是线段上，且点是线段的“巧点”， 则有或或，显然当时，最长， 当时， 即， ∴， 故答案为：8； （3）解：设运动时间为秒， 则， 若为的“巧点”，则需满足以下三种情况：当时，， 解得，当时，， 解得，当时，， 解得， ∴当为或或时，点为的巧点． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（25-26六年级上·上海普陀·月考）定义：如果数轴上的点、、所表示的数分别是、、，若点是线段的中点则称是与的“中间数”．例如：图中点、表示的数分别是、，线段的中点表示的数是，则是有理数和的“中间数” (1)概念理解：有理数与的“中间数”是___________，和的中间数是___________； (2)性质探索：点、、所表示的数分别是、、，若是与的“中间数”，请直接写出、、之间的数量关系___________； (3)性质运用：第一组数与的中间数是，第二组数与的中间数也是，求、的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)，． 【分析】本题主要考查了数轴上中点对应的数的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握“中间数”的定义（即两数的平均数）是解题的关键． （1）根据“中间数”定义，求两数的平均数即可． （2）利用线段中点对应的数的关系，推导、、的数量关系． （3）根据“中间数”定义分别列出两组数的中间数表达式，结合中间数都是n建立方程求解． 【详解】（1）解：有理数与的“中间数”为，和的中间数为， 故答案为：，； （2）解：∵是与的“中间数”， ∴， 故答案为：； （3）解：∵第一组数与的中间数是， ∴， ∵第二组数与的中间数也是， ∴， ∴， 解得， ∴． 例2（25-26七年级上·河南郑州·月考）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 【答案】(1)或 (2)；1 (3)或 (4)或8秒后点到点的距离是到点距离的2倍 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据两点之间距离的计算方法，当表示数x的点在表示数2的点与表示数3的点之间时，值最小，由此即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16，表示x与z在数轴上的距离为30，再分类讨论y和z在x的同侧或异侧时进行求解； （4）根据题意，设运动时间为t，则点P表示的数为，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6， ∴当B点在A点的右边时，， ∴点B表示的数为2， ∴点C表示的数为：； 当B点在A点的左边时，， ∴点B表示的数为， ∴点C表示的数为：； 故答案为：或； （2）解：根据题意，表示数轴上x到2和3的距离之和， ∴当x在2和3之间时，距离和最小，最小值为， ∴x的取值范围， 故答案为：，1； （3）解：根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16， 表示x与z在数轴上的距离为30， 当y和z在x的同侧时，假设x在数轴上的某点，y和z都在x的左边（或都在右边）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的差， ∴， 当y和z在x的异侧时，假设y在x的左边，z在x的右边（或反之）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的和， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解：∵点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动， ∴设运动时间为t， ∴点P表示的数为， ∴当点P在之间时，， 解得秒； 当点P在点N右边时，， 解得秒； 综上所述，点P到点M的距离是到点N距离的2倍时，时间为或8秒． 例3（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）数轴上、两点表示的数分别是，，且满足，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动秒．    (1)________，________； (2)如图1，当点在线段上时，若点为的中点，点为的中点，易知________； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若点为的中点，点为的中点，求线段的长； (4)若数轴上存在点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“亲密点”． ①若，则点的“亲密点”在数轴上对应的数为________； ②若点是点的“亲密点”，且，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①1或；②或或或 【分析】（1）理解绝对值的非负性，得，故，即可作答． （2）先得，再结合当点在线段上时，点为的中点，点为的中点，得，则，即可作答． （3）理解题意，得，，同理得， ，再代入数值到进行计算，即可作答． （4）①理解点是点的“亲密点”，且，，得出，故点的“亲密点”在数轴上对应的数为1或； ②理解题意，得出数轴上点P表示的数为，结合定义，得出得点的“亲密点”在数轴上对应的数为或，故或，又因为，故或，再进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∵数轴上、两点表示的数分别是，， ∴数轴上、两点表示的数分别是，， ∴， ∵当点在线段上时，点为的中点，点为的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得数轴上、两点表示的数分别是，，， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动秒，且点在线段的延长线上， ∴，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ， 则； （4）解：①由（2）得数轴上、两点表示的数分别是，，， ∵，点到点的距离为， ∴数轴上点P表示的数为， 点到点的距离为，如果，那么称点是点的“亲密点”． ∴， ∴， 即或， ∴点的“亲密点”在数轴上对应的数为1或； ②由（3）得， 则数轴上点P表示的数为， ∵记点到点的距离为， 即， ∵ ∴ ∵点到点的距离为， ∴或 ∴点的“亲密点”在数轴上对应的数为或， ∴或 ∴ ∵， ∴， 则或， 当时，得 解得； 当时，得 解得； 当时，得 解得； 当时，得 解得； 综上：的值为或或或． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，新定义，数轴两点间的距离，与线段的中点有关的计算，一元一次方程与几何应用，新定义，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 例4（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例5（25-26七年级上·广东汕头·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，，，表示点D见解析； (2)①，，；②的值不变，为；③． 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识，包括相反数、两点间距离、中点公式以及新定义问题的应用，熟练掌握数轴上数的表示、距离与中点的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义确定点B表示的数，利用数轴上两点间距离公式计算距离，再根据中点公式求中点表示的数，进而表示点D． （2）①根据一次跳跃点的定义（互为相反数）求，再根据二次跳跃点的定义（是的中点），利用中点公式求，最后用距离公式求． ②先根据定义表示出，再根据中点关系求出，进而计算并判断是否为定值． ③结合前面的推导，总结出的长度． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点与点互为相反数， ∴点表示的数是． 点表示的数是，则． 点表示，点表示， ∴中点表示的数是， 表示点D如下： （2）解：①∵点表示的数是，与互为相反数， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． 线段的长度为， 故答案为：，，． ②∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则，解得． ∴，即的值不变，为． ③∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． ∴． ∴线段的长度为． 1．（25-26七年级上·山西大同·月考）直线l上有A，B，C三个点，已知，点D是的中点，且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的有关计算和一元一次方程的应用，分类讨论是解答此题的关键．分两种情况讨论：点A在线段上或点A不在线段上，设，则，然后利用中点性质和列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ①如图，当点A在线段上时，点的顺序为B、A、C， 则， ∵点D是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点A不在线段上时，顺序为A、B、C， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，点在线段上，点是的中点，，，在线段上取一点，使得，则线段的长是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的计算，正确理解题意理清线段之间的关系是解题的关键． 先根据线段的和差关系求出，由线段中点的定义即可求出，再根据线段之间的关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：，， ． ∵点是的中点， ． ， ， ． 故选：B． 3．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点的有关运算． 点A、B、C在同一直线上，但位置关系不确定，需分两种情况讨论：当B在线段上时；当A在线段上时，根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴． 情况1：当B在线段AC上时， ； 情况2：当A在线段上时， ； 综上，的长为3或15． 故选：B． 4．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点P在向左的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确结论有（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④当时，点N表示的数为数轴的原点； ⑤在点P的运动过程中，线段的长度会改变． A．①②③ B．①③⑤ C．①②④ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；求出点P表示的数为6，可得点N表示的数为0即可判断④；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断⑤． 【详解】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或10，故③错误； 当时，, ∴点P表示的数为， ∵点N为的中点， ∴点N表示的数为，即原点，故④正确； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故⑤错误； ∴正确结论有①②④， 故选：C． 5．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，点是线段的中点，是上一点，且．若为的中点，求的长为 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，设，则，，由线段中点的定义推出，则可得到，据此可得的长，再由线段中点的定义求出的长即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是线段的和差，设，由点D为的中点可知，再由点C是折线的“折中点”可知，由折线的长度为9得出x的值即可． 【详解】解：设， ∵点D为的中点， ∴，， ∵点C是折线的“折中点”， ∴， ∵折线的长度为9， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：3． 7．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，在直线上有，两点，且满足．点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时点从出发沿射线以的速度运动．点、分别为、的中点，当时， ． 【答案】或 【分析】本题考查和线段有关的动点问题，准确判断动点的位置是解题的关键． 对点的位置进行分类讨论，分别求出当点在之间与在右边情况下满足要求的动点运动时间，通过时间得出各线段的长度，最终求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，， 设运动时间为， 当点在之间时，如下图所示： ，， ∵，即，解得， 此时，，， 即； 当点在右边时，如下图所示： ，， ∵，即，解得， 此时，，， 即． 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的定义，设，，，根据线段中点的定义得，，再根据建立关于的方程，求出的值后再代入即可．利用数形结合的思想、方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∵，分别是，的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图：线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为 ． 【答案】或13 【分析】本题主要考查线段中点的性质，线段和差的数量关系；根据点是中点，可得的值，根据点N为线段的三等分点分两种情况求解得的值，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 又∵点N为线段的三等分点，， 当点N靠近点C的三等分点时，， 此时， 当点N靠近点B的三等分点时，， ∴， 故答案为：或13． 10．（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】本题主要考查了线段的中点、三等分点的定义及线段的和差计算，熟练掌握线段的延长线分类讨论，结合线段间的数量关系分析计算是解题的关键． （1）先根据中点和三等分点的定义，分别求出、的长度，再用减去得到的长． （2）先根据判断在延长线上，分在左侧、在右侧两种情况，结合的长度，利用线段和差计算的长． 【详解】（1）解：∵是的中点，， ∴． ∵是的三等分点且在左侧， ∴． ∴． （2）解：∵，若在上，则，而， ∴在线段的延长线上或在线段的延长线上． 情况：在的右侧时， ∵是的三等分点， ∴． 设，则， ∴， 解得，即． ∴． ∴． 情况：在的左侧 设，则， ∴， 解得，即． ∴． 综上，或． 11．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点C在线段上，，点分别是，的中点，求的长度． 【答案】3 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟知线段中点的定义是解题的关键． 先分别求出和的长度，再结合线段中点的定义进行计算即可． 【详解】解：因为， 所以． 因为点分别是，的中点， 所以， ， 所以． 12．（2025七年级上·重庆·专题练习）如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)_______，_______， (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、 恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值及偶次幂非负性，一元一次方程的应用，线段中点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由绝对值及偶次幂非负性，； （）分别表示出点和表示的数，再分两种情况当时，当时，分别列出方程即可求解； （）分别表示出和，再分两种情况当时，当时，分别列出方程即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：（秒），（秒）， 由题意可得，当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点恰好是线段的中点有两种情况： 当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 综上所述，当的值为或时，点恰好是线段的中点； （3）解：由（）可得， 当时，， 此时只能，即，解得， 而当时，， 此时，即，解得或， ∴的值为或或． 13．（25-26七年级上·重庆·月考）已知点在线段上，为的中点． (1)如图1，已知，求线段的长； (2)如图2，点在线段上，若，，已知，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的和差运算，与中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，则，因为为的中点，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）设，因为，，则，，结合为的中点，得，故，因为，所以，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵为的中点， ∴ ∴； （2）解：依题意，设， ∵，， ∴， ∵，， 则， ∵为的中点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 14．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点B、C分成了三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是32，求的长． 【答案】(1)20 (2)48 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点，一元一次方程解决实际问题，掌握线段的加减，线段中点的定义是解题的关键． （1）根据求出，再由线段的和差得到，进而，再由即可解答； （2）设，则，，则，根据线段的中点得到，，再根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵ ∴， 解得：， ∴． 15．（24-25七年级上·福建福州·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，动点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据可得，在由线段，可得． （2）用含的整式表示点，点，故根据题意可列式，求解即可． （3）根据点在线段上，，，可得点表示的数为：，再由，分成点在点右边和点不在点右边时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且， ∵， ∴， ∵点在点的右侧，且， ∴， 故答案为：，； （2）由题意可得：点表示的数为：， ∵点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为：， ∵当两点相遇时停止运动，即当，时停止运动， ∴线段的长度； （3）解：∵点在线段上，且，， ∴，，点表示的数为：， 由（2）可知，点表示的数为：，且在点左边， ∴， 当点在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 当点不在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当或时，． 16．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图，点在线段上，点、分别是，的中点． ①若，求线段的长； ②若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能用含字母的代数式表示的长度吗？请直接写出你的答案； （2）如图，若在线段的延长线上，且满足、分别为的中点，你能用含字母的代数式表示的长度吗？写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）①7.5；② （2），理由见解析 【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键． （1）①根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； ②根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）①解：分别是的中点， ， ； ②； ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 分别是的中点， ， ， ． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，在射线上有，，三点，满足，，．点从点出发，沿方向以的速度运动：点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发，设运动时间为． (1)若的速度为，则点和点经过___________相遇．（直接写出答案即可） (2)当_________时，（在线段上），若此时点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (3)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (4)当点运动到线段上时，分别取和的中点，则____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)6； (2)，； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、线段的和差计算、中点的定义，熟练掌握线段的动态变化分析及方程思想的应用是解题的关键． （1）先计算的长度，再根据相遇时、的路程和等于，列方程求解； （2）根据及的长度求出、，结合得到，进而得；再确定中点的位置，计算运动的路程，从而求速度； （3）分、相遇前和相遇后两种情况，根据路程关系列方程求解； （4）用表示、，结合中点定义表示，代入式子化简计算． 【详解】（1）解：∵， 设经过秒相遇，则， 解得， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵点运动到的位置恰好是线段的中点， ∴点到的距离为， ∴的速度为， 故答案为：，； （3）解：①相遇前：， 即， 解得； ②相遇后：， 即， 解得； ∵运动到的时间为，（舍去）， ∴经过，、两点相距． （4）解：设，则， ∵是中点，是中点， ∴，，， ∴， 又∵， ∴． 18．（2025七年级上·河南郑州·专题练习）已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点P、Q同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动．已知点R的速度是v个单位长度/秒，点P的速度是点R速度的4倍，点Q的速度是点R速度的3倍少5个单位长度．经过6秒时，P、Q、R三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出v的值． 【答案】(1)，， (2)经过秒或秒时，点，之间的距离恰好等于 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，线段的中点，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，得，，解，即可求得点表示的数； （2）设运动时间为秒，根据点，之间的距离恰好等于20，得，解方程即可得到答案； （3）运动6秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分类讨论三种情况列方程求得答案并检验是否符合实际情况． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即表示的数为． 故答案为：， ， ； （2）解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， ∵点，之间的距离恰好等于， ∴， 即或， 解得或， ∴经过秒或秒时，点，之间的距离恰好等于； （3）解： 根据题意，点的运动速度为每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， 运动6秒后，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 若为的中点， 则， 解得； 若为的中点， 则， 解得舍去）； 若为的中点， 则， 解得（此时点的速度为0，不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为． 19．（25-26七年级上·四川自贡·期末）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足 (1)求线段，的长； (2)线段的中点为，线段中点为，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，、分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出在哪一个时间段内． 【答案】(1)， (2)10或2 (3)当时，为定值，定值为6． 【分析】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）设点B表示的数为x，点C表示的数为y,则点M表示的数是，点N表示的数是，运动后点M表示的数是，点N表示的数是，由解得或，运动后，即可求出答案； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：设直线为数轴， ∵，， ∴，， 设点B表示的数为x，点C表示的数为y, ∵点M，N分别为中点． ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 运动后点M表示的数是，点N表示的数是， ∵， ∴ 解得，或 运动后 ∴或， 即线段的长为10或2； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 20．（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是，为定值 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及非负数和为零的条件、中点定义求线段长、数轴上两点之间距离表示等知识，数形结合，求出各个点在数轴上表示的数是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的非负性、平方的非负性及非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①由（1）可知，结合线段中点定义，数形结合表示出线段之间的和差倍分关系后，代值计算即可得到答案；②将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示，令点表示的数为，分别表示出相关点运动后在数轴上表示的数，由点与点相遇秒后与点相遇，列方程求出，进而确定点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点之间的距离表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ，且， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图所示： 是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ； ②是定值；理由如下： 点与点重合时，如图所示： 由①知，， 点是线段的中点， ， ，， 将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示： 令点表示的数为， 点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点相遇秒后与点相遇， 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； ， 解得， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 在整个运动过程中，，， 则， 即在整个运动过程中，为定值． 21．（25-26七年级上·全国·期末）对于题目“已知A、B、C在同一直线上，，，求的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． (1)请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①如图1，C点在线段上， ； ②如图2，C点在线段延长线上， ．所以线段的长为或． 解法二：如图3，在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．则A：表示的数为0，B：表示的数为3；因为，所以点C表示的数为 ；所以线段的长为或． (2)已知A、B、C、D在同一直线上，，，，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． (3)已知线段，线段在直线上运动，且，在运动的过程中，若点M、N分别为线段、的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． 【答案】(1)解法一：①；② 解法二：2或4 (2)1或3或5 (3)4或1 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，线段的和差与绝对值的意义，掌握好中点公式并灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． （1）解法一：根据线段的和差关系进行填空即可； 解法二：利用数轴上点的位置和两点之间的距离公式进行填空即可； （2）解法一：先对点C和点D的位置分类讨论，根据线段的和差关系计算出； 解法二：仿照题干建立数轴，则 A：表示的数为0，B：表示的数为3，再写出点C和点D表示的数，计算距离即可； （3）解法一：按照点C和点D与线段的位置关系进行分类讨论，利用线段的和差进行计算即可； 解法二：仿照题干建立数轴，设点C表示的数为，则点D表示的数为或．根据点D表示的数，分两类讨论，用中点公式表示出点M和点N表示的数，两者差的绝对值即线段的长． 【详解】（1）解：解法一：根据线段的和差， ①C点在线段上，， 故答案为：； ②C点在线段上，， 故答案为：； 解法二：设点C表示的数为x， ∵， ∴， 解得，或， 故答案为：或； （2）解：解法一：根据题意可分如下四种情形： ①点C和点D都在线段上，， ②点C在线段上，点D在线段的延长线上，， ③点C在线段的延长线上，点D在线段上，， ④点C在线段的延长线上，点D在线段的延长线上， 综上所述，的长为或或； 解法二：在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3， ∵， ∴点C表示的数为2或4， ∵， ∴点D表示的数为， ∴①当点D表示1，点C表示2时，， ②当点D表示，点C表示2时，， ③当点D表示1，点C表示4时，， ④当点D表示，点C表示4时，， ∴综上所述，的长为或或； （3）解：解法一：根据题意可分如下情形： ①当点C在点A右侧，且点D在点C右侧，如图， 结合题意与图可知， ， ， ， ， ， ， ②当点C在点A右侧，且点D在点C左侧，如图， ， ， ， ， ， ， ； ③当点C在点A左侧，且点D在点C右侧，如图， 与①同理可得，， ③当点C在点A左侧，且点D在点C左侧，如图， 与②同理可得，， 综上所述，的长或； 解法二：在直线上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3， ∵线段在直线上运动，且， ∴设点C表示的数为a，则点D表示的数为或， ∵点M为的中点， ∴点M表示的数为， ∵点N为的中点， ∴点N表示的数为或， 当点N表示的数为时，， 当点N表示的数为时，， 综上所述，的长或． 22．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知为线段上一点（在左侧），如图1，且，． (1)若关于的方程是一元一次方程，则______． (2)在（1）的条件下，点为直线上一点，为线段中点，若，求的长． (3)若，，分别从，出发沿直线向左运动，点的运动速度是点运动速度的倍，、分别是、的中点．若运动到某一时刻恰好，求． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、动点问题、线段中点的性质以及代数式： （1）根据一元一次方程的定义求解出，结合图1，用线段之间的关系即可得到； （2）设，分情况讨论即可； （3）设的速度为，则的速度为，运动时间为，由得，分情况用表示的长度，结合中点性质得，由列方程求出，进而计算． 【详解】（1）解：关于的方程是一元一次方程， ， 解得：， ，， ． 故答案为：． （2）解：设， 点在右侧，在右侧， 则， 为线段中点， ， 则， 解得：； 此时，符合位置要求； 点在左侧，在之间， 则， ， 则， 解得：，符合位置要求； 综上所述，或． （3）解：设的速度为，则的速度为，运动时间为， 则， ， ， 当在右侧，之间，， 是的中点， ， 是中点， ， ， ， ， 得， ； 当在之间（）， 则， ， ，， ， ， ， 得， 此时，与在之间矛盾，舍去； 当在左侧（）， 则， ， ，， ， ， ， 得， ， ． 综上所述，或． 23．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，在射线上依次有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度； (2)若点的运动速度为，经过多长时间，两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点定义等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论； （2）分点P未到达点和点P到达点后两种情况讨论，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得； （3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒， 则， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动时间为， 依题意，分以下两种情况： ①点未到达点时， ，即， 解得， 点刚到达点时，则，则，即此时； ②当点到达点后，则点P继续运动，点P、Q相距正好等于，此时运动时间为， 综上，经过5秒或70秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， ， 点E、F分别为和的中点， ，， ， 则． 24．（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 25．（25-26七年级上·福建泉州·期中）我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①t的值为秒或秒；②存在常数m，使得的值是定值，m的值为 【分析】（1）利用当时动点Q表示的数=点B表示的数点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数；利用当时动点Q表示的数=原点表示的数+点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数； （2）①分及两种情况考虑，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分及两种情况，可找出，，的值，结合的值是定值，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 当时，动点Q表示的数为； 当时，动点Q表示的数为 故答案为：； （2）①当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得：； 当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得： 答：t的值为秒或秒； ②当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得：； 即时，为定值，该定值为0； 当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得： 综上所述，存在常数m，使得的值是定值，m的值为． 【点睛】本题考查了数轴与动点，熟练掌握路程与速度和时间的关系，动点在数轴上表示的数，两点之间的距离，一元一次方程的应用，分类讨论，是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $