精品解析：河南省安阳市滑县 2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 太极图中阴鱼部分可抽象为负数，下列数中属于负无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 如图，农户要从处的水井引一条水管到旁边的水渠 ，为了减少水管长度，决定垂直于水渠铺设水管 ，这种做法的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在物理课上，小明利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文．甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7~15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2016年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7~15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论： ①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高； ②10~12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生； ③7~15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高； ④13~15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大． 以上结论正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 9. 已知关于的一元一次方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的的整数值之和是（ ） A. B. C. D. 10. 嘉嘉和淇淇在平面直角坐标系上玩跳棋游戏，他们先将一颗棋子放在整点处（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），石头剪刀布定输赢后按以下规则移动此棋子：若嘉嘉赢，则将棋子左移两个单位，下移一个单位到；若淇淇赢，则将棋子左移一个单位，下移两个单位到；若平局，则将棋子下移三个单位到．若棋子的初始位置为原点，则在他们移动棋子5次的过程（含第5次）中，棋子可能到达的位置有（ ） A. 35个 B. 24个 C. 18个 D. 11个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大且比小的整数为_________．（写一个即可） 12. 如图，直线，相交于点．若，则的度数为___________ ． 13. 已知是关于，的方程的解，则代数式的值是__________． 14. 敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为__________． 15. 新定义：对于任意实数x，其整数部分记为，且表示不超过x的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．若，，，则_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 （1）这种解二元一次方程组的方法叫作（ ） A.代入消元法 B.加减消元法 （2）上面的运算过程从第 步开始出现了错误． （3）请写出解该方程组的正确过程． 18. 横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 19. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，其中点，，均在格点上，现将三角形向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形． （2）写出，，的坐标． （3）求在平移过程中扫过的面积． 20. 辐射诱变育种，又称辐射育种或核能育种，是指利用射线、射线、中子、离子束或电子束等电离辐射源照射植物种子、植株或其他生物材料，诱发其遗传物质（）发生可遗传的突变，进而从中筛选和培育具有高产、早熟、抗病、抗逆、优质等优良性状新品种的一种育种方法．我国培育成功的辐射诱变育种盆栽新品彩叶草价格为35元/盆，精品盆栽菊花价格为85元/盆． （1）某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，请计算购买新品彩叶草和精品盆栽菊花的盆数． （2）若该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，所购买两种盆栽的总数仍为200盆，则最多可购买精品盆栽菊花多少盆？ 21. 某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 22. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是点． （1）①点的“美好点”的坐标是______． ②若点的“美好点”的坐标为，求点的坐标． （2）若点的“美好点”在轴上，求的值． 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角尺与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角尺中，，，． （1）【操作发现】如图1所示，将直角三角尺的顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，求证：． （2）【深入探究】如图2所示，将三角尺的直角顶点放在平行线和之间，设边交于点，边交于点，若，求的度数． （3）【拓展运用】同学们继续探究以下问题，将三角尺的直角顶点放在平行线和之间，设边交于点，边交于点，分别交，于点，，点在上，连接并延长至点，连接，若，平分，且，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 太极图中阴鱼部分可抽象为负数，下列数中属于负无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】明确负无理数是小于0的无理数，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、是开方开不尽的无理数，，因此是负无理数，符合要求； 选项B、是负整数，属于负有理数，不符合要求； 选项C、是负分数，属于负有理数，不符合要求； 选项D、既不是正数也不是负数，是有理数，不符合要求． 2. 如图，农户要从处的水井引一条水管到旁边的水渠 ，为了减少水管长度，决定垂直于水渠铺设水管 ，这种做法的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【详解】解：农户要从处的水井引一条水管到旁边的水渠 ，为了减少水管长度，决定垂直于水渠铺设水管，可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式基本性质，等式性质与绝对值的概念，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：∵，根据不等式性质，不等式两边加同一个整式，不等号方向不变， ∴两边同时加得，即，该选项正确，符合题意； B选项：若，两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，不满足，该选项错误，不符合题意； C选项：当时，与的分母为，无意义，该选项错误，不符合题意； D选项：若，可得或，例如，满足但，该选项错误，不符合题意． 4. 从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，结合“红边门”的坐标为，进一步求解即可. 【详解】解：∵“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，“红边门”的坐标为， ∴“文昌阁”的横坐标比“红边门”的横坐标小，“文昌阁”的纵坐标比“红边门”的纵坐标大， ∴A，B，C,不符合题意；D符合题意. 5. 已知点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点所在象限中横、纵坐标的符号得到不等式组，求解后，在数轴上表示解集即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得，， 在数轴上表示解集为： 6. 在物理课上，小明利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系计算的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7. 明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文．甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等量关系“总共获得工钱文”和“共用天完成”列出方程组即可． 【详解】解：设甲匠做工天，乙匠做工天，题目说明两人做工总用时为天， ∴可得第一个方程：． 又∵总工钱共文，甲每日工钱文，乙每日工钱文， ∴甲总工钱为，乙总工钱为，总工钱和为，可得第二个方程： ． ∴． 8. 中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7~15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2016年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7~15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论： ①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高； ②10~12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生； ③7~15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高； ④13~15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大． 以上结论正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【详解】分析：对所给的折线图进行分析，得出相关信息并对四个结论一一判断即可得出答案. 详解：由折线图可知，10岁之前，同龄的男生的平均身高一般会略高于女生的平均身高，故①错误； 10~12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生，故②正确； 7~15岁期间，男生的平均身高先高于女生的平均身高再略低于女生的平均身高最后高于女生的平均身高，故③错误； 13~15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大，故④正确． 故选C. 点睛：本题考查了从折线图中获取信息的能力.正确识别识图、获取信息并对数据的发展趋势进行判断是解题的关键. 9. 已知关于的一元一次方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的的整数值之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元一次方程得到的表达式，根据方程有整数解得到整数的可能取值，再解不等式组，根据不等式组有且只有四个整数解确定的取值范围，最后筛选出符合条件的整数，计算它们的和即可． 【详解】解：∵， 移项得 ，即 ， ∵方程是一元一次方程，且解为整数， ∴ ，且是的因数，即 ， 解得整数为， ∵， 解第一个不等式 ， 两边同除以得 ， 解第二个不等式 ，移项化简得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且只有四个整数解，大于的四个整数是 ， ∴ ， 不等式同乘得 ， 移项化简得 ， 在范围内的整数有， ∴结合方程符合条件的整数为， 所有满足条件的整数值之和为 ． 10. 嘉嘉和淇淇在平面直角坐标系上玩跳棋游戏，他们先将一颗棋子放在整点处（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），石头剪刀布定输赢后按以下规则移动此棋子：若嘉嘉赢，则将棋子左移两个单位，下移一个单位到；若淇淇赢，则将棋子左移一个单位，下移两个单位到；若平局，则将棋子下移三个单位到．若棋子的初始位置为原点，则在他们移动棋子5次的过程（含第5次）中，棋子可能到达的位置有（ ） A. 35个 B. 24个 C. 18个 D. 11个 【答案】A 【解析】 【分析】设移动k次（，含第5次），嘉嘉赢a次，淇淇赢b次，平局c次，根据移动规则推导坐标关系，证明不同参数对应不同点，计算每一次移动的可能个数的总数和即可． 【详解】设移动次数为，其中，为整数，设嘉嘉赢次，淇淇赢次，平局次，则，且， 根据移动规则，最终棋子横坐标，纵坐标， ∵，代入，得， 令，得坐标为，， 若两个坐标相同，则由相同得相同，代入纵坐标关系得相同，因此不同的对应不同的点， 对任意，都存在满足条件的： 若，取，满足； 若，取，满足，且， 因此每个对应个不同的点， ∴总和为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大且比小的整数为_________．（写一个即可） 【答案】1（或2） 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再根据范围找出符合条件的整数即可． 【详解】解：，， ， ，即， 可得， 比大且比小的整数为或，任写一个即可（答案不唯一）． 12. 如图，直线，相交于点．若，则的度数为___________ ． 【答案】38 【解析】 【分析】根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：由直线，相交于点， ∴， ∵， ∴． 13. 已知是关于，的方程的解，则代数式的值是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】把方程组的解代入得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：，是方程的解， ， ， ， ， ． 14. 敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图， ∴三危山景区的坐标为． 15. 新定义：对于任意实数x，其整数部分记为，且表示不超过x的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．若，，，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据新定义先确定的取值范围，再结合已知条件和确定的取值范围，最后根据新定义化简所求式子，计算得到结果． 【详解】解：， ∴， ，且， ，且， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 17. 以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 （1）这种解二元一次方程组的方法叫作（ ） A.代入消元法 B.加减消元法 （2）上面的运算过程从第 步开始出现了错误． （3）请写出解该方程组的正确过程． 【答案】（1）A （2）三 （3）解：． 由①，得，③ 把③代入②，得 ， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【小问1详解】 解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； 【小问2详解】 由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； 【小问3详解】 略 18. 横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3）估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为720人． 【解析】 【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出共抽取的学生人数；用乘以C组人数占总人数的比例即可求出C组对应圆心角的度数； （2）求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （3）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可． 【小问1详解】 解：本次共抽取了（名）学生的模型设计成绩， 组所对应圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：B组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：用样本估计总体：（人）． 答：估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为720人． 19. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，其中点，，均在格点上，现将三角形向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形． （2）写出，，的坐标． （3）求在平移过程中扫过的面积． 【答案】（1） （2），， （3）在平移过程中扫过的面积为10 【解析】 【分析】（1）根据平移规则画出三角形即可； （2）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （3）借助网格求出平行四边形的面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，在平移过程中扫过的面积为底边为，高为2的平行四边形的面积， 故扫过的面积为. 20. 辐射诱变育种，又称辐射育种或核能育种，是指利用射线、射线、中子、离子束或电子束等电离辐射源照射植物种子、植株或其他生物材料，诱发其遗传物质（）发生可遗传的突变，进而从中筛选和培育具有高产、早熟、抗病、抗逆、优质等优良性状新品种的一种育种方法．我国培育成功的辐射诱变育种盆栽新品彩叶草价格为35元/盆，精品盆栽菊花价格为85元/盆． （1）某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，请计算购买新品彩叶草和精品盆栽菊花的盆数． （2）若该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，所购买两种盆栽的总数仍为200盆，则最多可购买精品盆栽菊花多少盆？ 【答案】（1）购买新品彩叶草140盆，购买精品盆栽菊花60盆 （2）最多可购买精品盆栽菊花40盆 【解析】 【分析】（1）设购买新品彩叶草盆，购买精品盆栽菊花盆，结合某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，购买这两种盆栽的总价为10000元，再建立方程组解题即可； （2）设购买精品盆栽菊花盆，则购买新品彩叶草盆，结合题意得，再建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买新品彩叶草盆，购买精品盆栽菊花盆， 由题意得 解得 答：购买新品彩叶草140盆，购买精品盆栽菊花60盆． 【小问2详解】 解：设购买精品盆栽菊花盆，则购买新品彩叶草盆， 由题意得， 解得． 答：最多可购买精品盆栽菊花40盆． 21. 某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3）两边分别平行的两个角相等或互补 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等量代换等知识点，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后等量代换即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后等量代换即可解答； （3）综合（1）（2）即可解答． 【小问1详解】 解：如图1， ，， ， ． 【小问2详解】 如图2，，理由如下： ，， ， ． 【小问3详解】 综合（1）（2）可得，两边分别平行的两个角相等或互补． 22. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是点． （1）①点的“美好点”的坐标是______． ②若点的“美好点”的坐标为，求点的坐标． （2）若点的“美好点”在轴上，求的值． 【答案】（1）①；②点的坐标是 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，由点P的“美好点”为，根据定义构造方程组求解即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上构造方程组求解即可． 【小问1详解】 解：①由点P点坐标为， ∴， 则点的“美好点”的坐标是， ②设点的坐标是， 根据"美好点"的定义可得 解得， ∴点的坐标是． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 根据"美好点"的定义可得 ， 即， 又∵点在轴上， ∴， ∴． 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角尺与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角尺中，，，． （1）【操作发现】如图1所示，将直角三角尺的顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，求证：． （2）【深入探究】如图2所示，将三角尺的直角顶点放在平行线和之间，设边交于点，边交于点，若，求的度数． （3）【拓展运用】同学们继续探究以下问题，将三角尺的直角顶点放在平行线和之间，设边交于点，边交于点，分别交，于点，，点在上，连接并延长至点，连接，若，平分，且，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ， ∴， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，得到，证得，结合已知条件，得到结论； （2）结合图形，利用平行线的性质，得到，从而得到； （3）根据题意，结合图形，得，，结合角平分线得到，结合方程思想，从而得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，过点作， ． ， ． ， ． ∵， ∴， ， ． 【小问3详解】 解：如图2，过点作， ． ∵， ∴， ，． ， ． ， ． 设， ． 平分， ． 过点作， ， ． ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $