精品解析：江苏省宿迁市宿城区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末调研测试 七年级 数学 （试卷满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在相应表格内） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，已知长方形的长为，宽为，其面积记为，正方形的边长为，其面积记为，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出五十， 盈十六；人出四八， 不足二十，问人数、物价各几何？”意思为： 几个人一起去买东西，如果每人出50钱， 就多了16钱； 如果每人出48钱， 就少了20钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x，y的方程组为，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段，相交于点，连接，，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，以上命题中是真命题的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 数据用科学记数法表示为___________． 10. “两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成______． 11. 若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 12. 已知关于的方程组的解是，则_________． 13. 如（2x＋m）与（x＋3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 14. 已知，则________． 15. 图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，，则____________． 16. 若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 17. 如图，在中，，，，将沿方向平移个单位得（其中，，的对应点分别是，，），设交于点，若的面积比的大9，则代数式的值为___________． 18. 已知三个非负实数，，，满足，，若的最大值为，最小值为，则____________________． 三、解答题（本大题共10题，共96分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程组； （2）解不等式组． 21. 先化简，再求值其中． 22. 如图，已知，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题．①是的角平分线；②；③．你选的条件是 ，结论是 ．请加以证明． 23. 如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． （1）求证：． （2）若恰好平分，求的度数． 24. 某学校的中国象棋社团，打算购买一批中国象棋供学生上社团课使用；了解到某商店有、两种品牌的中国象棋可供选择，且买种中国象棋3副的价钱与买种中国象棋4副的价钱一样多，买2副种中国象棋与3副种中国象棋的总价为255元． （1）求两种中国象棋的单价分别是多少元？ （2）若该社团打算采购这两种品牌的中国象棋共70副，要求买种中国象棋不少于30副，且总费用不超过3650元，那么该社团有哪几种购买方案？ 25. 对于任意有理数，定义一种新运算：． （1）______； （2）对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 26. 已知关于，的方程组． （1）若，求的值； （2）方程组的解均为非负数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若恒成立，求的取值范围． 27. 【问题探究】 （1）如图1，，点在直线上方（）．试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （2）如图2，，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方），试探究和之间的数量关系． 【问题迁移】 （3）如图3，，点在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，．直线与直线交于点，直线与直线交于点（点在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：___________________． 28. 定义：若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （1）已知关于的不等式组：以及不等式组：，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； （2）已知关于的不等式组：以及不等式组：，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为7，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末调研测试 七年级 数学 （试卷满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在相应表格内） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则即可判断选项A；根据完全平方公式即可判断选项B；根据积的乘方运算法则即可判断选项C；根据同底数幂的乘法法则即可判断选项D． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 3. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 4. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 5. 如图，已知长方形的长为，宽为，其面积记为，正方形的边长为，其面积记为，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用作差法比较两个代数式的值的大小，完全平方公式，多项式乘多项式等内容，解题的关键是熟练掌握整式的乘法运算法则． 表示出图形的面积，根据整式的乘法，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 6. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出五十， 盈十六；人出四八， 不足二十，问人数、物价各几何？”意思为： 几个人一起去买东西，如果每人出50钱， 就多了16钱； 如果每人出48钱， 就少了20钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出50钱，就多了16钱；如果每人出48钱，就少了20钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设共有x人，物品的价格为y钱， 根据题意有：， 故选：D． 7. 关于x，y的方程组为，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两式相加得（a-1）x+（a+2）y=2a-5，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：两式相加得（a-1）x+（a+2）y=2a-5， 整理得：(x+y-2)a=x-2y-5， 根据题意，这些方程有一个公共解，与a的取值无关， ∴， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法． 8. 如图，线段，相交于点，连接，，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，以上命题中是真命题的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断①；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断④；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定②；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①是真命题； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由无法证明，故④是假命题； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴，故②是真命题； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故③是真命题； ∴真命题是①②③． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 数据用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.000074＝7.4×10－5． 故答案为：7.4×10－5． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10. “两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成______． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．” 故答案为：同位角相等，两直线平行． 11. 若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且， 解得． 12. 已知关于的方程组的解是，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．代入到方程组，得到，求出的值即可解答． 【详解】解：代入到方程组，得， 解得， ∴． 故答案为：5． 13. 如（2x＋m）与（x＋3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】-6 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，然后求解即可． 【详解】解：∵2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项， ∴（2x+m）（x+3）=2x2+（6+m）x+3m， ∴6+m=0， ∴m=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算． 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再将所求式子变形为，计算同底数幂的乘法、负整数指数幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 15. 图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，，则____________． 【答案】120 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得，结合平行线的性质可得，最后再由多边形的外角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 16. 若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有4个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为． 17. 如图，在中，，，，将沿方向平移个单位得（其中，，的对应点分别是，，），设交于点，若的面积比的大9，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由平移的性质可得，然后根据已知条件可得，再根据长方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：∵，，，将沿方向平移个单位得， ∴，， 的面积比的大9，即， ， ， ， ， ， ∴． 18. 已知三个非负实数，，，满足，，若的最大值为，最小值为，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先联立已知方程，用z表示x和y，再根据非负实数条件得到z的取值范围，进而求出最大值p和最小值q，最后计算的值． 【详解】解：联立已知方程得 将方程组看作关于的二元一次方程组，解得 因为均为非负实数， 因此可得不等式组 解得 将代入， 得 当时，取得最大值，， 当时，取最小值， 因此． 三、解答题（本大题共10题，共96分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）-1 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂相乘、同底数幂相除，最后合并同类项即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解 ． 20. （1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 得：， 解：， 将代入①式得，， ∴； （2）解不等式组 解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21. 先化简，再求值其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】依据平方差公式、完全平方和公式以及单项式乘多项式去括号，然后合并同类项并代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方和公式以及单项式乘多项；解题的关键是熟练掌握相关公式正确计算． 22. 如图，已知，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题．①是的角平分线；②；③．你选的条件是 ，结论是 ．请加以证明． 【答案】条件：①②，结论：③，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，平行线的判定，由角平分线定义得到，因此，判定，推出，由补角的性质推出，判定． 【详解】解：选的条件是①②，结论是③，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②，③． 23. 如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． （1）求证：． （2）若恰好平分，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【小问1详解】 证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 24. 某学校的中国象棋社团，打算购买一批中国象棋供学生上社团课使用；了解到某商店有、两种品牌的中国象棋可供选择，且买种中国象棋3副的价钱与买种中国象棋4副的价钱一样多，买2副种中国象棋与3副种中国象棋的总价为255元． （1）求两种中国象棋的单价分别是多少元？ （2）若该社团打算采购这两种品牌的中国象棋共70副，要求买种中国象棋不少于30副，且总费用不超过3650元，那么该社团有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种象棋每副60元，B种象棋每副45元 （2）共有四种购买方案：①A种象棋30副，B种象棋40副；②A种象棋31副，B种象棋39副；③A种象棋32副，B种象棋38副；④A种象棋33副，B种象棋37副 【解析】 【分析】（1）设A，B两种象棋的单价分别是、元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种象棋副，则购进B种象棋副，根据题意列出一元一次不等式组，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设A，B两种象棋的单价分别是、元， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 即A种象棋每副60元，B种象棋每副45元； 【小问2详解】 解：设购进A种象棋副，则购进B种象棋副， 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得：， 又为整数， ，31，32，33， ∴共有四种购买方案：①A种象棋30副，B种象棋40副；②A种象棋31副，B种象棋39副；③A种象棋32副，B种象棋38副；④A种象棋33副，B种象棋37副． 25. 对于任意有理数，定义一种新运算：． （1）______； （2）对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 【答案】（1） （2）①56；②2 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）直接根据计算即可； （2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可； ②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【小问1详解】 解：原式． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴； ②由图知：， ∴， 化简得， ∴， 由①得，，， ∴， ∴． 26. 已知关于，的方程组． （1）若，求的值； （2）方程组的解均为非负数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）-3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，，代入得到，即可求出答案； （2）根据方程组的解均为非负数得到不等式组，解不等式组即可求出答案； （3）求出．得到最大值为2，根据不等式恒成立即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：得：， ， 将代入②得：， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵关于，的方程组的解均为非负数， ， ； 【小问3详解】 解：， ，， ． ∵最大值为2， ∴要使恒成立，只需最大值小于，即． 27. 【问题探究】 （1）如图1，，点在直线上方（）．试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （2）如图2，，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方），试探究和之间的数量关系． 【问题迁移】 （3）如图3，，点在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，．直线与直线交于点，直线与直线交于点（点在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：___________________． 【答案】（1）， 理由如下：如图1，作直线为过点且平行于直线的直线： ，， ， ，， ， 即； （2）；理由如下：如图2， 设，， 平分，平分， ，， 由（1）得， 即， ， ， ，， ， ； 即； （3） 【解析】 【分析】（1）①作直线为过点且平行于直线的直线，根据平行线的性质即可求解； （2）设，，证明即可得到结论； （3）设，，由（1），， ，根据已知条件求出，，根据三角形外角定理得到，，根据即可求出，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，， 由（1）得， ∴，， ， ∵、、、分别是、、、的三等分线，且， ∴，， ，， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴． 28. 定义：若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （1）已知关于的不等式组：以及不等式组：，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； （2）已知关于的不等式组：以及不等式组：，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为7，求的取值范围． 【答案】（1）证明：由题意，解不等式组：由，得；由，得， ∴不等式组的解集为， ，，中点值为． 又∵不等式组的解集为， ∴显然4满足， 故包含的解集中点值． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出不等式组的解集为，从而可得，，中点值为，再结合定义证明即可； （2）求出不等式组的解集为，由此计算得出，求出中点值为，再结合不等式组的解集为，得出，计算即可得出结果； （3）求出，中点值为，不等式组的解集为．结合不等式组包含不等式组的解集中点值，得出，从而可得符合条件的整数需满足，再分情况讨论即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意，解不等式组：由得；由得， ∴不等式组的解集为． ， ． 由题意可得，中点值为． 又∵不等式组的解集为， ． ， 又， ； 【小问3详解】 解：由题意，解不等式组：和（）， ，中点值为． 又∵解不等式组：由得；由，可得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组包含不等式组的解集中点值， ． ∴符合条件的整数需满足． 又∵其和为，且， ∴若整数的值为3，4，和为，则的取值范围为， 若整数的值为，，0，1，2，3，4，和为，则的取值范围为 ， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $