江苏省宿迁市宿城区钟吾初级中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

绝密★启用前 2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区钟吾初级中学七年级（下）期末数学试卷 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.若，则下列结论不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 3.下列句子中，属于命题的是(    ) A. 画一条线段等于已知线段 B. 垂线段最短 C. 利用三角板画出的角 D. 直角都相等吗？ 4.下列组数中，不是二元一次方程的解的是(    ) A. B. C. D. 5.若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.运用完全平方公式计算的最佳选择是(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，则、、的大小关系为(    ) A. B. C. D. 8.如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为，第次碰到长方形的边时落脚点为，；第次落脚点为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共11小题，共40分。 9.俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过几年后，石头上形成了一个深度为毫米的小洞，数据用科学记数法表示为______． 10.若是关于，的二元一次方程的解，则的值为______． 11.如图，将沿方向平移得到其中点，，分别与点，，对应若，则 ______． 12.已知，，则的值为______． 13.要说明命题“若，则”是真命题，写一个合适的值，它可以是______． 14.已知，，则的值为______． 15.如图，中，，将绕点顺时针旋转得，与交于，则______ 16.如果代数式的展开式不含的一次项，那么为______． 17.已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围______． 18.将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为______． 19.如图，一个小长方形的长为，宽为，把个大小相同的小长方形放入到大长方形内． 大长方形的长 ______，宽 ______用含，的式子表示 求在大长方形中，阴影部分的面积用含，的式子表示 设大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，若，求与的数量关系． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 计算： ； ． 21.本小题分 解下列方程组 ； ． 22.本小题分 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 23.本小题分 如图，在的正方形网格中有三角形，点，，均在格点上． 作出点到直线的最短路径； 在条件下，过点作出的平行线，交于点； 经过平移，三角形的顶点平移到了点，作出平移后的三角形其中，分别是三角形的顶点，的对应点． 24.本小题分 已知：如图，直线，，被直线所截，，求证：． 你在的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 25.本小题分 已知关于，的方程组． 若方程组的解满足，求的值． 若方程组的解满足，求的取值范围值． 26.本小题分 “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具已知购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元，购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元． 求购进件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？ 若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共件，且投入资金不少于万元又不超过万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ 27.本小题分 一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则下面探究能被整除的三位数的特征． 【举例说明】请写出两个能被整除的三位数______、______； 【猜想证明】由特例，提出猜想：如果能被整除，那么这个三位数能被整除． 因为显然能被整除，因此如果能被整除，那么就能被整除，所以猜想成立． 【迁移运用】设是一个四位数，若可以被整除求证：这个四位数可以被整数． 【拓展提升】当五位数能被整除时，求出的值． 28.本小题分 如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． 如图，形中，若，，，则 ______； 如图，形中，若，，则 ______； 如图，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； 在的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：若， 两边同时减去得，则不符合题意， 两边同时乘得，则不符合题意， 两边同时加得，则不符合题意， 若，，那么，则符合题意， 故选：． 利用不等式的性质逐项判断即可． 本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：、画一条线段等于已知线段，不是命题，不符合题意； B、垂线段最短，是命题，符合题意； C、利用三角板画出的角，不是命题，不符合题意； D、直角都相等吗？，不是命题，不符合题意； 故选：． 根据命题的概念判断即可． 本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 4.【答案】  【解析】解：当时，代入方程可得，，不符合题意； B.当时，代入方程可得，，不符合题意； C.当时，代入方程可得，，符合题意； D.当时，代入方程可得，，不符合题意． 故选：． 把各项中与的值代入方程检验即可． 本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 5.【答案】  【解析】解：根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算可得： ， 故选：． 根据长方形的面积等于长乘以宽，列式计算即可． 本题主要考查列代数式，整式乘法，解答的关键是熟记长方形的面积公式． 6.【答案】  【解析】解：、， B、， C、， D、， 选项A、、都不如选项C好算． 故选：． 根据完全平方公式展开，再看看每一部分是否好算即可． 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7.【答案】  【解析】解：，，且， ． 故选：． 根据幂的乘方可得，，即可求解． 本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图， 小球第次碰到矩形的边时，落脚点为，第次碰到矩形的边时落脚点为，第次落脚点为，第次落脚点为，第次落脚点为，第次落脚点为，第次落脚点为，第次落脚点为，， 每次循环次， ， 第次落脚点为． 故答案为：． 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，据此即可得出结果． 本题考查了生活中的轴对称现象，规律型：图形的变化类，作出图形并找出循环规律是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：数据用科学记数法表示为． 故答案为：． 绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 10.【答案】  【解析】解：若是关于，的二元一次方程的解， 则， 解得：， 故答案为：． 根据二元一次方程解的意义，将已知解代入中解得的值即可． 本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题知， 因为洒基由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以． 故答案为：． 根据平移的性质即可解决问题． 本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：，， ， 故答案为：． 利用同底数幂乘法法则即可求得答案． 本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13.【答案】答案不唯一．  【解析】解：根据“在不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变”可以得到：要说明命题“若，则”是真命题，可以是正数， 即的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 根据不等式的性质直接写出一个适合的数即可． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大． 14.【答案】  【解析】解：原式 ． 故答案为：． 利用完全平方公式展开然后代入求解即可． 此题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：绕点顺时针旋转得， ， ， ， ． 故答案为：． 先根据旋转的定义得，再利用三角形内角和定理计算出，然后根据邻补角的定义易得． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 16.【答案】  【解析】解：多项式不含的一次项， ， 解得． 故答案为：． 先把多项式展开后合并，然后令的一次项系数等于，再解方程即可． 本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 17.【答案】  【解析】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 不等式组只有两个整数解， ， 故答案为：． 先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有个整数解，求出的取值范围即可． 本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是根据不等式组有个整数解列出关于的不等式． 18.【答案】或或  【解析】解：，， ． 当时，如图中， ， ， 旋转时间． 如图中，当时， ， ， 旋转时间． 当时，如图中， ， ， 旋转时间． 综上所述，旋转时间为或或时，恰有一边与平行． 故答案为：或或． 分三种情形讨论：当时．当时．当时，分别求出即可解决问题． 本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 19.【答案】    【解析】解：大长方形的长，宽； 故答案为：，； 阴影部分的面积： ， ， 阴影部分的面积为； ，阴影部分的面积为，且， ， 整理得：， 解得：． 利用图形和整式的加减即可求解； 利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去个小长方形的面积即可求解； 表示出大长方形的面积和阴影部分的面积，然后结合求解即可． 此题考查了列代数式，整式乘法的混合运算，涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． 20.【答案】；   ．  【解析】 ； ． 先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可； 先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可． 本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 21.【答案】；  ．  【解析】解：， 把代入得， 解得， 把代入，得， 所以方程组的解是； ， ，得， 得， ，得， 解得， 把代入，得， 所以方程组的解是． 根据代入消元法解二元一次方程组即可； 根据加减消元法解二元一次方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． 22.【答案】，把解集表示在数轴上，见解答．  【解析】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上，如图所示： ． 求出每个不等式的解集，表示在数轴上，写出解集的公共部分即可． 此题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示解集，熟练掌握该知识点是关键． 23.【答案】解：如图，为所作； 如图，为所作； 如图，三角形为所作：   【解析】利用网格特点，过点作的垂线，垂足为点； 把向下平移个单位得到，则与的交点为点； 利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点即可． 本题考查了作图平移变换，平行线的判定与性质，解答本题的关键要明确：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 24.【答案】证明见解析；   “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”．  【解析】证明：， ， ， ， ， ； 在的证明过程中应用了：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个互逆的真命题． 根据平行线的判定和性质证明； 根据“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”，同位角相等解答． 本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 25.【答案】；   ．  【解析】， 得，即． 因为， 所以， 解得． ， 得，． 因为， 所以， 解得． 两式相加，用表示即可解决问题． 两式相减，用表示即可解决问题． 本题主要考查了解一元一次不等式、二元一次方程组得解及解二元一次方程组，巧用整体思想是解题的关键． 26.【答案】购进件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元；   共有种购买方案， 方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件； 方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件； 方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件．  【解析】设购进件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元； 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 共有种购买方案， 方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件； 方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件； 方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件． 设购进件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元，根据“购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元，购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 利用总价单价数量，结合投入资金不少于万元又不超过万元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 27.【答案】，；   见解析；   或．  【解析】解：能被整除的三位数为，， 故答案为：，； 证明：， ，，是整数， 能被整除， 又能被整除， 能被整除； 解：，且五位数能被整除， 能被整除， 或． 根据题意写出符合要求的数即可； 根据题意可得，再变形为，再由能被整除，能被整除，即可． 由，且五位数能被整除可进行求解． 本题主要考查了数的十进制，整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． 28.【答案】；   ；   ；   或或．  【解析】过作， ， ， ，， ， 故答案为：； ， ， ， ， ， 故答案为：； ． 理由：过点作交于点， ， ，， ， 由可得， ， ， ； 如图，当，位于两侧时， ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， ，，， ， 即． 综上，或或． 过作，利用平行线的性质计算可求求解； 过作，利用平行线的性质计算可求求解； 过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合的结论可求解； 可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解． 本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$