专题02一元二次方程的概念、解法及根与系数的关系-2026年苏科版数学八升九暑假预习讲义.

专题02一元二次方程的概念、解法及根与系数的关系 暑假预习讲义（苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.一元二次方程基础概念：一元二次方程的定义、一般形式、特殊形式、系数识别、方程根的概念与方程判定。 2.一元二次方程四种解法（核心重点）：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；掌握各方法适用条件、标准解题步骤，能灵活择优选用。 3.根的判别式与根与系数的关系（重难点）：根的判别式的定义、实数根三种情况判定及参数应用；根与系数的关系（韦达定理）基础结论与简单代数式求值应用。 ✅本章遵循“概念—运算—性质”的核心学习逻辑，三大模块层层衔接，以一元二次方程基础概念为入门铺垫，四种解方程方法为核心运算技能，根的判别式、根与系数关系为核心拓展性质。 本章是初中方程体系的关键进阶内容，是后续代数综合学习的重要基础，全部知识点均为课标基础必考内容。 ✺学习目标： ▶知识要求：1.掌握一元二次方程的定义、一般形式与特殊形式，能准确识别各项系数，熟练判定一元二次方程。 2.理解方程根的含义，会检验方程的根，能利用根的性质求解参数。 3.熟练掌握四种解法的适用条件与解题步骤，能结合方程结构择优规范求解。 4.掌握根的判别式，能不解方程判断实数根情况，可根据根的条件求解参数范围。 5.掌握韦达定理，明确适用前提，能完成基础代数式求值运算。 ▶能力要求：1.规范、准确求解一元二次方程，提升方程运算熟练度。 2.精准判断方程结构，灵活选用最优解法。 3.依托判别式、韦达定理，完成基础计算与逻辑推理。 ▶应试要求：吃透本章全部基础核心考点，熟练掌握解方程、判别式、韦达定理基础题型，夯实代数运算功底，为后续代数、几何综合学习筑牢基础。 ✺题型归纳： 题型1.一元二次方程的定义 题型2.化成一元二次方程的一般式 题型3.由一元二次方程的定义求参数 题型4.判断是否是一元二次方程的解 题型5.由一元二次方程的解求参数 题型6.一元二次方程的解的估算 题型7.直接开平方法解一元二次方程 题型8.配方法解一元二次方程 题型9.配方法的应用 题型10.因式分解法解一元二次方程 题型11.公式法解一元二次方程 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型14.根据一元二次方程根的情况求参数 题型15.解分式方程（化为一元二次） 题型16.一元二次方程根与系数的关系 题型17.巩固测试 ✺知识◆清单： 知识点一、一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且等式两边均为整式的方程，叫做一元二次方程。 ◈判定三要素：整式方程、仅含一个未知数、未知数最高次数为2。 知识点二、一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0). 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 ★核心要点：a≠0是一元二次方程的必备条件，若a=0，方程退化为一元一次方程；b、c可取任意实数。 ◆常见特殊形式：① ax2+c=0（无一次项）；②ax2+bx=0（无常数项）；③ ax2=0（仅含二次项）。 知识点三、一元二次方程的根 ▶能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也称为方程的根。 ★核心性质：若x=m是方程的根，将x=m代入方程，等式成立，可用于检验根、求解参数。 知识点四、一元二次方程的四种解法（核心必考） 方法一：直接开平方法 1.定义：如果=36,则x=±，即x=±6，像这种根据平方根的意义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. ▶一般地，对于方程=P, ◆当P>0时，方程有两个不等的实数根=-,=. ◆当P=0时，非常有两个相等实数根，==0. ◆当P<0时，因为对任意实数x,都有≥0,所以方程无实数根。 方法二：配方法 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法依据：= 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ◉化二次项系数为1； ◉使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ◉方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为=P的形式； ◉如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解 方法三：公式法（万能通法） 1. 公式法的定义 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 方法四：因式分解法（最简速解法） 1. 因式分解法的定义 将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现将次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 2.利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ▶移项，将方程的右边化为0； ▶化积，将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ▶转化，令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ▶求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点五、根的判别式（重难点） 1.判别式定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac. 2.实数根判定结论： ① Δ=b2-4ac>0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 ；=,= ②Δ=b2-4ac=0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 即==- ③Δ=b2-4ac<0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。 3.反向应用：可根据方程根的已知情况，列等式或不等式求解参数范围，解题必须保证a≠0，满足一元二次方程前提。 知识点六、根与系数的关系 1.核心定理结论：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为、，则两根和、两根积满足固定关系：+=-，= ▶适用前提：使用韦达定理必须同时满足两个条件：① a≠0（保证方程为一元二次方程）；②Δ≥0（保证方程存在实数根）。 ★无实数根时，不可使用韦达定理。 知识点七、解法择优技巧 为快速、准确解方程，优先遵循「简便优先」原则，择优规则如下： 1. 方程含完全平方结构、无一次项 → 优先直接开平方法 2.方程整理后右侧为0、左侧可因式分解 → 优先因式分解法； 3.无法分解、结构复杂、数字繁琐 → 选用公式法； 4.题目要求配方、求代数式最值、推导公式 → 必须使用配方法。 知识点八、本章必背公式清单（预习速记） 1.一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0), 2.根的判别式：=b2-4ac, 3.一元二次方程求根公式：x=（Δ≥0） 4. 韦达定理两根和：+=-, 5. 韦达定理两根积：=. ✺题型◆精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为且二次项系数不为，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意； 选项B：中，未说明，若则不是一元二次方程，故不满足题意； 选项D：中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意； 选项C：中，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意． 2．若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 3．已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．将一元二次方程化成一般形式为__ ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式：（）． 通过移项将方程化为一般形式（）． 【详解】解：原方程为，移项得． 故答案为：． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 题型3.由一元二次方程的定义求参数 1．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 2．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 3．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 题型4.判断是否是一元二次方程的解 1．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 2．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 3．如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 2．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 【答案】1 【分析】先将根代入方程得到的可能取值，再根据一元二次方程二次项系数不为零的要求，排除不符合条件的解，即可得到的值 【详解】解： 关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程得 ， 解得或， 又 一元二次方程的二次项系数不能为，即， 得， 3．如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1) 解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 题型6.一元二次方程的解的估算 1．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 题型7.直接开平方法解一元二次方程 1．一元二次方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：C． 2．若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 3．用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． （1）先移项，然后直接开平方得，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 题型8.配方法解一元二次方程 1．把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 配方得， 整理得 ， ∴． 2．______________________． 【答案】 25 5 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握添加的常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．根据完全平方公式求解． 【详解】解：． 故答案为：25，5． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．利用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，； 题型9.配方法的应用 1．将一元二次方程化成的形式，则k等于（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】根据配方法化成的形式即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，解题关键是配方时需在等式两边同时加同一个数才行． 2．一元二次方程配方后得，则的值为 _____． 【答案】11 【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m、n的值，再进行计算即可． 【详解】解：移项得， 配方得，即， ∴，， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 3．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    【答案】(1)， (2)长方形的面积存在最大值，最大值为9，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法的应用． （1）根据题干中所给的配方法可进行求解； （2）由题意可得长方形的面积为，然后根据配方法可进行求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：长方形的面积存在最大值，最大值为9，理由如下： 由题意可得长方形的面积为， ， ， 长方形的面积存在最大值，最大值为9． 题型10.因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可． 【详解】解：∵, ∴, ∴, ∴或, ∴方程的根为,． 故选：A． 2．若实数满足，则的结果为_______． 【答案】1 【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 【详解】解：设 则原式等于， 整理 得 解得（舍弃）， 即． 故答案为：1． 3．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得：，． 题型11.公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程：，其中的值是（    ） A．56 B．16 C．4 D．8 【答案】A 【分析】利用公式法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 2．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__________． 【答案】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 3．若代数式与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 题型12.换元法解一元二次方程 1．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 2．已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 【答案】1或2023/2023或1 【分析】先移项，合并同类项得出，再分别讨论和的情况． 【详解】解：∵， ∴， 即时方程有根， ∵一元二次方程（a≠0）的一个根为， ∴， 此时， 故答案为1或2023． 【点睛】本题考查了换元法，解题时注意不要忘记的情况． 3．小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 【答案】(1)， (2)当时，，；当时，原方程无实数根． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和配方法是解题的关键． （1）设，则原方程变形，解得，则，或，即可求出方程的解； （2）设，则，，得到，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 设，则， ，或 ， （2）解： 设，则， 当时，， ，或 ，， 当时，原方程无实数根． 题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 2．一元二次方程根的判别式的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 题型14.根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程需满足二次项系数不为0，且判别式大于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根 ∴，解得且． 综上，的取值范围是且． 2．若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根．根据方程无实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 3．关于的方程 (1)当方程有一个根等于时，求另一个根． (2)取何值时，方程没有实数根？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入方程，得到关于的方程，求出值，得到原方程为，解方程即可求解； （2）根据时方程无实数根，即可求解． 【详解】（1）解：关于的方程有一个根等于， ， 解 得：， 原 方 程 为 ， 解得：，， 当方程有一个根等于时，另一个根为； （2）方程没有实数根， ， 解 得 ：． 题型15.解分式方程（化为一元二次） 1．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 2．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 3．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 题型16.一元二次方程根与系数的关系 1．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 2．若是方程的两个实数根，则的值为__． 【答案】 【分析】先由一元二次方程解的定义得到 ，再由根与系数的关系得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， ． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将一元二次方程根的判别式用含有k的式子表示出来，跟0作比较，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，代入，化简得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， ， ， 无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根． （2）解：关于x的一元二次方程的两根为，， ， ， ， 当时， 有最小值， 此时，解得． ✺巩固测试 一、单选题 1．若一元二次方程可转化为的形式，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．0 【答案】B 【分析】利用配方法进行配方后，求出的值，进而求出的值即可； 【详解】解：， ， ， ， ∴, ∴， ∴. 2．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴ ∵方程没有实数根， ∴判别式， 整理得 解得． ∴k的取值范围是． 3．下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了解一元一次方程，分式方程，一元二次方程，分别判断四个选项中方程解的情况即可解答． 【详解】解：A、，则，所以方程无实数根； B、，则，经检验，是方程的解，所以方程有两个不相等的实数根； 、，则，所以方程有两个相等的实数根； D、，则，所以方程有一个实数根． 故选：B． 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 5．对于实数a、b，定义运算“※”如下：，例如：．若，则的值为（    ） A．0或 B． C．0或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新定义以及因式分解法解一元二次方程，直接带入数值计算即可，正确掌握本题新定义的法则是解题的关键． 【详解】解：依题意， 因为 即 则 解得， 则的值为0或 故选：A 二、填空题 6．方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 7．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解方程是解题的关键；由题意可设，则方程可变为，然后根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】解：由题意可设，则方程可变为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为12． 8．已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 【答案】 1 【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，； （2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可． 【详解】解：（1）设一元二次方程的另一个根为， 则， ， ， ， ； （2）， ， ． 9．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 10．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 三、解答题 11．解方程． (1)（配方法）； (2)（选择适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：配方得，即， 开方得， 解得，； （2）解：整理得， 因式分解得， 即或， 解得，． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 13．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 14．已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 【答案】(1) (2)对于一元二次方程， 根的判别式为 将代入得 任意实数的平方是非负数 ，即 此方程至少有一个实数根 【分析】（1）将代入原方程，解一元二次方程即可得到结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件变形配方，证明判别式大于等于0，即可证明结论． 【详解】（1）解： 原方程为 配方得 开方得 解得； （2）略． 15．已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）根据m的值先求得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）根据点A和点B在反比例函数图象上，可得，，从而可知m、n为关于x的一元二次方程的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答． （3）同（2）可解． 【详解】（1）解：当，则， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数为， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中，方程有2个不相等的实数根， ∴； （3）解：不变， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中， ∵， ∴，方程有2个不相等的实数根， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程的概念、解法及根与系数的关系 暑假预习讲义（苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.一元二次方程基础概念：一元二次方程的定义、一般形式、特殊形式、系数识别、方程根的概念与方程判定。 2.一元二次方程四种解法（核心重点）：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；掌握各方法适用条件、标准解题步骤，能灵活择优选用。 3.根的判别式与根与系数的关系（重难点）：根的判别式的定义、实数根三种情况判定及参数应用；根与系数的关系（韦达定理）基础结论与简单代数式求值应用。 ✅本章遵循“概念—运算—性质”的核心学习逻辑，三大模块层层衔接，以一元二次方程基础概念为入门铺垫，四种解方程方法为核心运算技能，根的判别式、根与系数关系为核心拓展性质。 本章是初中方程体系的关键进阶内容，是后续代数综合学习的重要基础，全部知识点均为课标基础必考内容。 ✺学习目标： ▶知识要求：1.掌握一元二次方程的定义、一般形式与特殊形式，能准确识别各项系数，熟练判定一元二次方程。 2.理解方程根的含义，会检验方程的根，能利用根的性质求解参数。 3.熟练掌握四种解法的适用条件与解题步骤，能结合方程结构择优规范求解。 4.掌握根的判别式，能不解方程判断实数根情况，可根据根的条件求解参数范围。 5.掌握韦达定理，明确适用前提，能完成基础代数式求值运算。 ▶能力要求：1.规范、准确求解一元二次方程，提升方程运算熟练度。 2.精准判断方程结构，灵活选用最优解法。 3.依托判别式、韦达定理，完成基础计算与逻辑推理。 ▶应试要求：吃透本章全部基础核心考点，熟练掌握解方程、判别式、韦达定理基础题型，夯实代数运算功底，为后续代数、几何综合学习筑牢基础。 ✺题型归纳： 题型1.一元二次方程的定义 题型2.化成一元二次方程的一般式 题型3.由一元二次方程的定义求参数 题型4.判断是否是一元二次方程的解 题型5.由一元二次方程的解求参数 题型6.一元二次方程的解的估算 题型7.直接开平方法解一元二次方程 题型8.配方法解一元二次方程 题型9.配方法的应用 题型10.因式分解法解一元二次方程 题型11.公式法解一元二次方程 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型14.根据一元二次方程根的情况求参数 题型15.解分式方程（化为一元二次） 题型16.一元二次方程根与系数的关系 题型17.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且等式两边均为整式的方程，叫做一元二次方程。 ◈判定三要素：整式方程、仅含一个未知数、未知数最高次数为2。 知识点二、一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0). 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 ★核心要点：a≠0是一元二次方程的必备条件，若a=0，方程退化为一元一次方程；b、c可取任意实数。 ◆常见特殊形式：① ax2+c=0（无一次项）；②ax2+bx=0（无常数项）；③ ax2=0（仅含二次项）。 知识点三、一元二次方程的根 ▶能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也称为方程的根。 ★核心性质：若x=m是方程的根，将x=m代入方程，等式成立，可用于检验根、求解参数。 知识点四、一元二次方程的四种解法（核心必考） 方法一：直接开平方法 1.定义：如果=36,则x=±，即x=±6，像这种根据平方根的意义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. ▶一般地，对于方程=P, ◆当P>0时，方程有两个不等的实数根=-,=. ◆当P=0时，非常有两个相等实数根，==0. ◆当P<0时，因为对任意实数x,都有≥0,所以方程无实数根。 方法二：配方法 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法依据：= 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ◉化二次项系数为1； ◉使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ◉方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为=P的形式； ◉如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解 方法三：公式法（万能通法） 1. 公式法的定义 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 方法四：因式分解法（最简速解法） 1. 因式分解法的定义 将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现将次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 2.利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ▶移项，将方程的右边化为0； ▶化积，将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ▶转化，令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ▶求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点五、根的判别式（重难点） 1.判别式定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac. 2.实数根判定结论： ① Δ=b2-4ac>0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 ；=,= ②Δ=b2-4ac=0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 即==- ③Δ=b2-4ac<0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。 3.反向应用：可根据方程根的已知情况，列等式或不等式求解参数范围，解题必须保证a≠0，满足一元二次方程前提。 知识点六、根与系数的关系 1.核心定理结论：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为、，则两根和、两根积满足固定关系：+=-，= ▶适用前提：使用韦达定理必须同时满足两个条件：① a≠0（保证方程为一元二次方程）；②Δ≥0（保证方程存在实数根）。 ★无实数根时，不可使用韦达定理。 知识点七、解法择优技巧 为快速、准确解方程，优先遵循「简便优先」原则，择优规则如下： 1. 方程含完全平方结构、无一次项 → 优先直接开平方法 2.方程整理后右侧为0、左侧可因式分解 → 优先因式分解法； 3.无法分解、结构复杂、数字繁琐 → 选用公式法； 4.题目要求配方、求代数式最值、推导公式 → 必须使用配方法。 知识点八、本章必背公式清单（预习速记） 1.一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 2.根的判别式：=b2-4ac 3.一元二次方程求根公式：x=（Δ≥0） 4. 韦达定理两根和：+=- 5. 韦达定理两根积：= ✺题型◆精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 3．已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 2．将一元二次方程化成一般形式为__ ． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 题型3.由一元二次方程的定义求参数 1．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 2．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 3．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 题型4.判断是否是一元二次方程的解 1．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 2．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 3．如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 2．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 3．如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 题型6.一元二次方程的解的估算 1．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 题型7.直接开平方法解一元二次方程 1．一元二次方程的根为（   ） A． B． C． D． 2．若，该方程的解为______． 3．用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 题型8.配方法解一元二次方程 1．把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 2．______________________． 3．解方程：． 题型9.配方法的应用 1．将一元二次方程化成的形式，则k等于（   ） A． B． C．5 D．9 2．一元二次方程配方后得，则的值为 _____． 3．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    题型10.因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．若实数满足，则的结果为_______． 3．解方程： (1)． (2)． 题型11.公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程：，其中的值是（    ） A．56 B．16 C．4 D．8 2．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__________． 3．若代数式与的值互为相反数，求的值． 题型12.换元法解一元二次方程 1．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 2．已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 3．小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的判别式的值是______． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 题型14.根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 2．若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是________． 3．关于的方程 (1)当方程有一个根等于时，求另一个根． (2)取何值时，方程没有实数根？ 题型15.解分式方程（化为一元二次） 1．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 2．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 3．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 题型16.一元二次方程根与系数的关系 1．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 2．若是方程的两个实数根，则的值为__． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． ✺巩固测试 一、单选题 1．若一元二次方程可转化为的形式，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．0 2．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A．B． C． D． 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 5．对于实数a、b，定义运算“※”如下：，例如：．若，则的值为（    ） A．0或 B． C．0或 D． 二、填空题 6．方程的解为________． 7．已知，则的值为________． 8．已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 9．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 10．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 三、解答题 11．解方程． (1)（配方法）； (2)（选择适当的方法）． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 13．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 14．已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 15．已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $