精品解析：浙江杭州市萧山区2025-2026学年第二学期期末学业水平测试八年级数学试题卷

机密★启用前 2025学年第二学期期末学业水平测试 八年级数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列二次根式中，值最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A. B. C. D. 4. 某招聘考试分笔试和面试，最后按笔试成绩占，面试成绩占计算综合得分．小慧笔试成绩分，面试成绩分，那么小慧的综合得分是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 如图，中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①③ 7. 用反证法证明命题“在中，，，中至少有一个大于或等于”，第一步应先假设（） A. ，，中最多有一个大于或等于 B. ，，都大于或等于 C. ，，中最多有一个小于 D. ，，都小于 8. 取一张长与宽之比为5:2的长方形纸板，剪去四个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张长方形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示是甲、乙两人射击成绩的箱线图，下面说法正确的是（ ） A. 甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差 B. 甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数 C. 甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数 D. 甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 10. 如图，正方形中，是上一点，点在的延长线上，，连结．是的中点，连结，．给出以下结论： ①垂直平分；②，下列判断正确的是（ ） A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 12. 五边形的内角和为________． 13. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 14. 如图，已知点，分别是正方形的边和上的一点，且是等边三角形，则的度数为________． 15. 某水果经销商，去水果基地进了某种水果，发现这批水果的规格大小基本有5种（单位：克）：，，，，．经销商准备将这批水果分成小果与大果两组出售，其中小果组：，大果组：，根据“组内离差平方和最小”的原则，85应该放入________果组比较合理（填“大”或“小”）． 16. 如图，中，，，，过点作于，连接，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 求方程的正数根． 19. 期末复习时李老师给出了一道题：“已知，，求的值．”大家经过讨论后给出了2种不同的解题思路： 思路①：直接代入计算即可．思路②：可以先求，，再变形代入求值． 请你根据以上的思路，选择其中一种进行计算． 20. 已知：如图，在菱形中，于点，于点． 求证： （1）． （2）． 21. 为调查某班40名学生每天完成课后作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：分）分别为：90，75，110，75，75，60，60，95． （1）这组数据的众数是________分，中位数是________分，下四分位数是________分． （2）试问该班级大约有多少学生每天完成课后作业时间在分之间？ 22. 一堂几何拓展课中对平行四边形和矩形的边和对角线之间的数量关系进行了研究． （1）如图①，矩形中，求证：． （2）如图②，在中，可以发现（1）中的结论仍然成立，请证明之． 23. 已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． （1）若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． （2）若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 24. 如图，过点的直线交正方形的边于点（不与点，点重合），点是点关于直线的对称点，连接并延长交的延长线于． （1）求证：． （2）若点为中点，求的度数． （3）设，，若正方形的边长确定，当直线的位置变化时，试探究代数式的值为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2025学年第二学期期末学业水平测试 八年级数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列二次根式中，值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正数的算术平方根的性质即可求解，当时，若，则． 【详解】∵四个选项中二次根式的被开方数都是正数，且， ∴， ∴值最大的是． 2. 下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 3. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 4. 某招聘考试分笔试和面试，最后按笔试成绩占，面试成绩占计算综合得分．小慧笔试成绩分，面试成绩分，那么小慧的综合得分是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据笔试和面试的权重占比，计算两项成绩的加权和即可得到综合得分． 【详解】解：小慧的综合得分． 5. 如图，中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴. 6. 如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，可得四边形为菱形；对于②，可得，继而可得四边形为矩形；对于③，根据定理可直接判定． 【详解】解：①，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意； ②， 在中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意； ③，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意； 综上，其中正确的是②③． 7. 用反证法证明命题“在中，，，中至少有一个大于或等于”，第一步应先假设（） A. ，，中最多有一个大于或等于 B. ，，都大于或等于 C. ，，中最多有一个小于 D. ，，都小于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法的解题步骤，反证法第一步需要先否定原命题的结论，求出原命题结论的否定即可得到答案． 【详解】用反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立． ∵原命题的结论为“在中，，，中至少有一个大于或等于”，“至少有一个满足条件”的否定是“全部都不满足条件”， ∴原结论的否定为“，，都小于”， 即第一步应假设，，都小于．故选D． 8. 取一张长与宽之比为5:2的长方形纸板，剪去四个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张长方形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设这张长方形纸板的长为5x cm，宽为2x cm，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设这张长方形纸板的长为5x cm，宽为2x cm，根据题意可得： ； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键． 9. 如图所示是甲、乙两人射击成绩的箱线图，下面说法正确的是（ ） A. 甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差 B. 甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数 C. 甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数 D. 甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据箱线图读取甲、乙的中位数、极差及数据分布情况，结合方差、平均数、众数的意义进行判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲的中位数为，乙的中位数为， ， 甲射击成绩的中位数小于乙射击成绩的中位数，故B错误； 观察图形可知，乙的数据整体分布位置高于甲， 乙射击成绩的平均数大于甲射击成绩的平均数，故C错误； 箱线图无法直接确定数据的众数，故D错误； 甲的极差为，乙的极差为，且甲的数据分布范围更广，离散程度更大， 甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差，故A正确． 10. 如图，正方形中，是上一点，点在的延长线上，，连结．是的中点，连结，．给出以下结论： ①垂直平分；②，下列判断正确的是（ ） A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 【答案】A 【解析】 【分析】取中点M， 构造的中位线，由中位线的性质得出，，结合，证明是等腰直角三角形，推出点P在上，结合正方形的对角线互相垂直且平分，可判断①；利用等腰直角三角形的性质得出，可判断②． 【详解】解：如图，连接，取中点M，连接， 四边形是正方形， ，，，垂直平分， 点M是中点，是的中点， 是的中位线， ，， ， ， 又，， ，即， 是等腰直角三角形， ，， 点P在上， 垂直平分， 垂直平分，故①正确； ，， ，故②正确， 综上可知，①，②都对． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得： ， 解得． 12. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 13. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程两根之和的关系，结合已知的一个根即可求出另一个根． 【详解】解：由题意可知，一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵， ∴，即方程的另一个根为． 14. 如图，已知点，分别是正方形的边和上的一点，且是等边三角形，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，利用证明，得到，结合角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中，  ， ∴， ∴， ∴． 15. 某水果经销商，去水果基地进了某种水果，发现这批水果的规格大小基本有5种（单位：克）：，，，，．经销商准备将这批水果分成小果与大果两组出售，其中小果组：，大果组：，根据“组内离差平方和最小”的原则，85应该放入________果组比较合理（填“大”或“小”）． 【答案】大 【解析】 【分析】根据“组内离差平方和最小”的原则，分别计算放入小果组和大果组的总组内离差平方和，比较大小，总离差平方和更小的分组更合理． 【详解】解：分两种情况计算总组内离差平方和： ①将放入小果组， 此时小果组为， 大果组为 小果组平均数： 小果组离差平方和： 大果组平均数： 大果组离差平方和： 总组内离差平方和： ②将放入大果组， 此时小果组为， 大果组为 小果组平均数： 小果组离差平方和： 大果组平均数： 大果组离差平方和： 总组内离差平方和： 因为，放入大果组的总组内离差平方和更小，符合要求． 故放入大果组比较合理． 16. 如图，中，，，，过点作于，连接，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作 于点，利用等腰直角三角形性质证明且，进而利用勾股定理求出的长；利用面积法求出的长，在中利用勾股定理求出的长；过点作 于点，证明 ，得出，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点作 交于点， 在中，，，  ， ∴， ∵， ∴， ，  点与点重合，即，，  四边形是平行四边形，  ∴，，  ， 过D点 作 于点，  ，， ∴，  又， ∴四边形是平行四边形， ∵，  四边形是矩形，   ， ，  ， 在 中，，   ， 又 ，  ， 解得， 在中，， 过点作 于点，  ∵，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 18. 求方程的正数根． 【答案】 【解析】 【分析】本题先确定一元二次方程的各项系数，利用求根公式求出方程所有根，再从中筛选出正数根即可求解． 【详解】解：对于方程，可得，，． ∴． ∴． 因为，， 所以方程的正数根为． 19. 期末复习时李老师给出了一道题：“已知，，求的值．”大家经过讨论后给出了2种不同的解题思路： 思路①：直接代入计算即可．思路②：可以先求，，再变形代入求值． 请你根据以上的思路，选择其中一种进行计算． 【答案】解：思路①：∵， ∴ ； 思路②：∵， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】选择思路①，直接代入计算，即可求解；选择思路②求解．解题思路为先求出与的值，再利用完全平方公式将变形后代入计算，过程简便，用到整式乘法的平方差公式和完全平方公式变形． 【详解】略 20. 已知：如图，在菱形中，于点，于点． 求证： （1）． （2）． 【答案】（1）证明：菱形， ， 又， ． 在和中， ， ． ． （2）证明：菱形， ∴， ， 设，则． ， ． 由（1）知， ． ． ． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和三角形全等即可证明． （2）设，根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 21. 为调查某班40名学生每天完成课后作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：分）分别为：90，75，110，75，75，60，60，95． （1）这组数据的众数是________分，中位数是________分，下四分位数是________分． （2）试问该班级大约有多少学生每天完成课后作业时间在分之间？ 【答案】（1），， （2）该班级大约有名学生 【解析】 【分析】（1）先将数据从小到大排序，再根据定义计算各统计量； （2）计算样本中目标区间的频率，用样本频率估计总体，得到班级符合条件的人数． 【小问1详解】 解：该组数据按从小到大顺序排列为：60，60，75，75，75，90，95，110， 其中75出现的次数最多，可得这组数据的众数是75分； 中位数是第4、5位数的平均数，，可得这组数据的中位数是75分； 下四分位数位置为，因此下四分位数是第2个和第3个数据的平均数， ，可得下四分位数是67.5分； 【小问2详解】 解：样本中完成作业时间在分之间的学生共有4人， 样本频率为， （人）， 因此全班40名学生中，符合条件的人数约为20人． 22. 一堂几何拓展课中对平行四边形和矩形的边和对角线之间的数量关系进行了研究． （1）如图①，矩形中，求证：． （2）如图②，在中，可以发现（1）中的结论仍然成立，请证明之． 【答案】（1）证明：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2） （1）中的结论仍然成立， 证明：作于E，于 F， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，可得， 在中，由勾股定理，可得 ∴， 在中，由勾股定理，可得， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，即可得到结论； （2）作于E，于 F，证明，得到，，根据勾股定理得，，，再由，代入即可得到结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略 23. 已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． （1）若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． （2）若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】（1），相同根为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【小问1详解】 解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 【小问2详解】 解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 24. 如图，过点的直线交正方形的边于点（不与点，点重合），点是点关于直线的对称点，连接并延长交的延长线于． （1）求证：． （2）若点为中点，求的度数． （3）设，，若正方形的边长确定，当直线的位置变化时，试探究代数式的值为定值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由对称得到， ∴， ∴； （2） （3）解：过点E作，交的延长线于点F， 设正方形的边长为a， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 整理得， ∴， ∴当直线的位置变化时，代数式的值为定值（为正方形边长的2倍）． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，推出，由对称得到，由此证得，即可得到结论； （2）由对称得，由此得到垂直平分，结合（1）的，得到是等边三角形，即可求出； （3）过点E作，交的延长线于点F，设正方形的边长为a，表示出，，，根据勾股定理得到，整理得，即可求出，故当直线的位置变化时，代数式的值为定值（为正方形边长的2倍）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴ 由对称得， ∵点为中点， ∴垂直平分， ∴， 由（1）， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $