精品解析：湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高一下学期期末数学试题

沅澧共同体2024年7月高一期末考试（试题卷） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 审题单位：常德市教科院 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ） A 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知圆锥侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 在中，已知D为BC上一点，且满足，则（      ） A. B. C. D. 6. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 7. 已知，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ） A. 这10天的日均值的80%分位数为60 B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 这10天的日均值的中位数为41 D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 10. 如图，已知正方体，点、、分别为棱、、的中点，下列结论正确的有（ ） A 与共面 B. 平面平面 C. D. 平面 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则或 D. 若方程有两个不同的实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 设复数，则______． 13. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 14. 已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数a的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设指数函数，幂函数. （1）求； （2）设，如果存在，使得，求的取值范围. 16. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成五组，并画出了其频率分布直方图． （1）估计乙组20名同学成绩中位数和平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）现从甲乙两组同学不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 17. 锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）b＝2，求△ABC面积的取值范围． 18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的大小. （3）求直线与平面所成角的正切值. 19. 如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数． ①对任意的，总有； ② 当时，总有成立． （1）记，求证：为型函数； （2）设，记，若是型函数，求的取值范围； （3）是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沅澧共同体2024年7月高一期末考试（试题卷） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 审题单位：常德市教科院 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，即可根据交运算求解. 【详解】，故， 故选：D 2. 如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在中求解即可. 【详解】在中，，由的面积为16，， 得，则，，而， 轴于点， 所以. 故选：C 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 则，所以， 所以是等腰三角形. 故选：B. 4. 已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得， 则圆锥的高. 故选：D. 5. 在中，已知D为BC上一点，且满足，则（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】在中，， 所以. 故选：B 6. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 7. 已知，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数及指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】，，. 令，因为，所以在上单调递增， 所以，即. 令，底数，所以在上单调递增. 因为，所以，即. 综上，. 故选：A. 8. 已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，又，，，所以，由的任何一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间，则 得，，当，，显然不符合题意；当，符合题意；当，，符合题意；当，，显然不符合题意，综上的取值范围是，故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ） A. 这10天的日均值的80%分位数为60 B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 这10天的日均值的中位数为41 D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案. 【详解】个数据为：， ，故80%分位数为，A选项错误. 5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确. 中位数是，C选项错误. 根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确. 故选：BD 10. 如图，已知正方体，点、、分别为棱、、的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与共面 B. 平面平面 C. D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】证明出，可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；利用反证法可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，连接， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为、分别为、的中点，则，故， 所以，与共面，A对； 对于B选项，因为且，所以，四边形为平行四边形， 则， 又因为、分别为、的中点，则，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面，B对； 对于C选项，不妨设的棱长为，则， ，， 因为平面，平面，则， 所以，， 所以，，故、不垂直，C错； 对于D选项，假设平面， 又因为平面，，、平面， 所以，平面平面， 事实上，平面与平面不平行，假设不成立，D错. 故选：AB. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则或 D. 若方程有两个不同的实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分段函数解方程即可判断A，利用求分段函数值即可判断B，利用解分段函数不等式组即可判断C，利用作分段函数图象即可判断D. 【详解】由，满足，由，也满足， 所以有两个解或，故A错误； 由，故B正确； 由已知可得：或，故C正确； 作出的图象： 由，结合图象可知，要使得方程有两个不同的实数根，则，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数的四则运算法则计算即可. 【详解】根据共轭复数的定义可知，. 所以. 故答案：2. 13. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用补形法，把底面是直角三角形的直三棱柱补形为长方体，再利用长方体的外接球直径是长方体的对角线，即可求解外接球的表面积. 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 14. 已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析的函数特征，结合已知条件，对参数进行分类讨论并结合图像即可求解. 【详解】因为是开口方向向下，对称轴为直线的一元二次函数， 由可知， ①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； ②当，即时，若存在，使得， 则函数图象需满足下图所示： 即，解得：，所以； 综上所述：，从而实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设指数函数，幂函数. （1）求； （2）设，如果存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）0；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据幂函数的系数为，指数函数的底数且求解即可； （2）结合（1）得，，进而问题转化为当时，，再求函数最值即可得答案. 【详解】解：（1）根据题意得：，解得. （2）由（1）知，， 存在，使得，等价于当时，， 又，所以， ， 所以，解得：， 所以 【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为当时，，进而求最值求解即可.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题. 16. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成五组，并画出了其频率分布直方图． （1）估计乙组20名同学成绩的中位数和平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）现从甲乙两组同学不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 【答案】（1）中位数是128；平均数分为127 （2） 【解析】 【分析】（1）由中位数的定义可求中位数，利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解； （2）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：乙组20名同学的成绩， 在之间的频率分别为，，； 前两个区间的频率之和为， 前三个区间的频率之和为， 所以乙组20名同学成绩的中位数在[120，130）之间， 设中位数为 ，则，解得 ， 所以乙组20名同学成绩的中位数是128； 平均数为：． 【小问2详解】 甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、； 乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、． 记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为： ，，，，，，，，，，共10个， 其中两个成绩不是同一组的样本点是： ，，，，，，共6个， ∴．所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为． 17. 锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）b＝2，求△ABC面积取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化为边的关系，利用余弦定理求解即可； （2）由面积公式得出，由正弦定理得出，根据锐角三角形求出的范围即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 又，所以． 又，所以． 【小问2详解】 △ABC的面积． 由正弦定理得， 因为△ABC为锐角三角形，所以，解得， 则，则， 故△ABC面积的取值范围是． 18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的大小. （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即得； （2）利用平移得到与所成角为，解三角形即得； （3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合即可求得. 【小问1详解】 如图，连接交于点， 因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 因，且，易得， 则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）. 因为，所以， 即与所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，过作于点. 因为平面，且平面， 所以，又且， 所以平面. 因平面，所以， 又，且，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为（或其补角）. 因为正方体的边长为1，所以，， 所以. 【点睛】思路点睛：解决异面直线的夹角问题，大多通过平移将两直线集中到一个三角形中，利用三角函数定义或正弦定理，余弦定理求解；对于线面所成角，一般需要作出并证明直线在平面上的射影，借助于直角三角形求解. 19. 如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数． ①对任意的，总有； ② 当时，总有成立． （1）记，求证：为型函数； （2）设，记，若是型函数，求的取值范围； （3）是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明函数满足型函数的定义即可； （2）根据是型函数，则由其满足条件①推出，再结合其满足条件②得关于b的不等式，利用构造函数，结合函数最值，即可求得答案； （3）举出具体函数，说明其满足型函数的定义，即可得结论. 【小问1详解】 当时，， 当，，时， ，， 则， ，， ，为型函数. 【小问2详解】 当时，由得， 当，，时， ，， 由，得， 即，即， 即， 令， 则对称轴， 所以在上的最小值为，只要，则， 因为， 所以． 小问3详解】 存在，举例1：． 理由如下：当时，符合； 当，，时， ，， ，， 故， ，即， 即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立； 举例2：； 理由如下：当时，，符合， 当，，时， ，， ， ， 即，即是型函数， 且对任意的，都存在，使得等式成立. 由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立. 【点睛】关键点睛：解答此类给出新的函数定义的题目，解答的关键是要理解题中所给的新的函数定义的含义，明确其满足的条件，然后按照其需满足的条件求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $