精品解析：山东省诸城第一中学2025-2026学年高一下学期期末模拟检测（一）数学试题

诸城一中2025级高一下期末模拟检测（一） 数学试题 一、单选题 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的概念判断即可. 【详解】由复数的概念可知，复数的虚部为． 故选：C． 2. =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式即可计算作答. 【详解】. 故选：B 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 4. 已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明函数的单调性不满足要求，排除AC；结合函数定义域，排除B；求函数的周期，结合余弦函数的单调性判断D； 【详解】对于选项A：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故A错误； 对于选项B：函数的定义域为，， 所以函数在上不单调，不符合题意，故B错误； 对于选项C：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故C错误； 对于选项D：因为的最小正周期为， 又因为，则，且在内单调递减 所以函数在上单调递减，符合题意，故D正确. 5. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和倍角公式进行角的变换，然后代入求值即可 【详解】 ． 故选：A． 6. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 30m B. 20m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD． 【详解】由题意知：，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 且 在中， (m)． 故选：C． 7. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故命题错误，D符合题意. 故选：D. 8. 如图，在四边形中，，，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，结合，求得，进而有，应用二倍角余弦公式求函数值. 【详解】如图所示，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ①， 又，则②， 由①②解得，则， ∴， ∴． 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的乘法运算、模长公式、共轭复数概念及几何意义逐项判断即可. 【详解】选项A： ，A正确， 选项B：由模长公式，B错误， 选项C： ，；  ， 故，C正确， 选项D：，对应复平面内的点为， 实部为正、虚部为负，位于第四象限，不是第二象限，D错误. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象求得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】由图可知，，， 又，所以， 将点代入，得， 得，解得， 又，所以，故.故A正确，B错误； ，所以，故C正确； 由，故不是的零点，故D错误. 故选：AC 11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则的最小值为9 D. 若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性求范围判断即可，对B借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可判断，对C借助等面积法及基本不等式计算即可判断，对D根据正弦定理及条件可判断三角形为正三角形，再由向量数量积的运算及圆的几何性质求解即可判断. 【详解】由题意，，整理可得， 由余弦定理可知，，， 对A， ，，，，，故A正确； 对B，，因为是锐角三角形，，，，故B错误； 对于C，由，可得， 即，可得，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，由正弦定理，则，则，由余弦定理可得，所以， 又，所以，则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ，由，可得，则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出，然后利用二倍角公式可得. 【详解】由题可得，所以. 13. 已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得. 当时，有，解得，此时向量的夹角为， 所以实数的取值范围为. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可. 【详解】由题可得，， ， 所以 ， ， ， 所以， 故答案为: . 四、解答题 15. 已知是虚数单位，复数． （1）若复数满足，求； （2）若关于的实系数一元二次方程有一个根是，求的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，结合，得出，利用复数的运算法则，即可求解； （2）根据题意，代入方程得到，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，可得，因为，可得， 所以． 【小问2详解】 解：因为为实系数方程的一根， 所以，整理得， 所以且，解得． 所以． 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若D为AC的中点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后结合三角恒等变换的公式求解即可； （2）利用得到，结合余弦定理解出，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则由得：， 在中，， ，则， ，， ， ，； 【小问2详解】 ∵D为AC的中点，，，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积. 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值； （3）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若的面积为，求边a的长 【答案】（1）； （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及倍角公式化简，结合正弦函数性质，即可求得答案； （2）根据三角函数图象的平移可得的表达式，确定角的范围，即可求得答案； （3）结合（1）求出角A，利用面积公式求出bc的值，再利用余弦定理即可求得答案. 【小问1详解】 由， 得， 故函数的最小正周期为； 令，解得， 故函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以， 故； 【小问3详解】 由于，故，则， 而，故； 由若的面积为，得，则， 又，故， 故. 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【小问1详解】 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸城一中2025级高一下期末模拟检测（一） 数学试题 一、单选题 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. =（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（   ） A. B. C. D. 6. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 30m B. 20m C. D. 7. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 8. 如图，在四边形中，，，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为的零点 11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则的最小值为9 D. 若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，则的取值范围为 三、填空题 12. 在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________． 13. 已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 四、解答题 15. 已知是虚数单位，复数． （1）若复数满足，求； （2）若关于的实系数一元二次方程有一个根是，求的值． 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若D为AC的中点，且，，求的面积. 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值； （3）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若的面积为，求边a的长 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $