2026-2027学年高一上学期必修一1.4.1 一元二次函数与一元二次不等式新授课

该高中数学课件聚焦一元二次函数与一元二次不等式，涵盖定义、三种形式、性质及图象变换。以具体函数变化情境导入，引导发现与一元二次方程的关系，引出不等式概念，构建从具体到一般的学习支架。 其亮点是通过基础自测、题型探究（如函数图象平移、值变化趋势分析）和课堂检测，结合直观想象与数学运算，采用归纳提升和题型分类的教学方法。帮助学生掌握知识与能力，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

§4　一元二次函数与一元二次不等式 【素养目标】 1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象) 2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象) 3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象) 4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算) 5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理) 6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算) 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4.1　一元二次函数 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　一元二次函数 1．定义：一般地，把形如________________________(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为______________、一次项系数和__________． 2．三种不同形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． y＝ax2＋bx＋c(a≠0)　 知识点1 二次项系数　 常数项　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　一元二次函数的性质 知识点2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) 性质 抛物线开口向______，并向上无限延伸 抛物线开口向______，并向下无限延伸 对称轴是x＝______；顶点坐标是____________ 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间_____________上函数值y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间_____________上函数值y随x的增大而减小 抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝______ 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝______ 上　 下　 h　 (h，k)　 [h，＋∞)　 [h，＋∞)　 k　 k　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换就能得到函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象？ 提示：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为 (　　) A．－7　 B．1 C．17　 D．25 D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是 (　　) A．最小值是8，无最大值　　B．最大值是－2，无最小值 C．最大值是8，无最小值　　D．最小值是－2，无最大值 3．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是______________． 4．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得图象对应的函数解析式为__________________． C　 (－1，－3)　 y＝x2－6x＋5　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 一元二次函数的图象问题  　　　　(1)将抛物线y＝(x－1)2＋2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线解析式是 (　　) A．y＝(x－4)2＋7　 B．y＝(x－4)2－3 C．y＝(x＋2)2＋7　 D．y＝(x＋2)2－3 例 1 A　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） (2)已知一元二次函数y＝－x2－2x＋3． ①求出此函数图象与坐标轴的交点坐标； ②指出此函数图象的顶点坐标和对称轴； ③根据①②画出此函数图象的草图． [解析]　(1)y＝(x－1)2＋2，先向右平移3个单位长度得y＝(x－1－3)2＋2，即y＝(x－4)2＋2，再向上平移5个单位长度得y＝(x－4)2＋2＋5，即y＝(x－4)2＋7． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） (2)①由－x2－2x＋3＝0得－(x＋3)(x－1)＝0，解得x＝－3或x＝1，当x＝0时，y＝－02－2×0＋3＝3，所以此函数图象与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)． ②配方，得y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，顶点坐标为(－1，4)，对称轴为直线x＝－1． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） ③根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图： 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．利用关键点和对称轴画一元二次函数图象 (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A，B，C，D及M这五个点按顺序用平滑曲线连接起来． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．参数“a，h，k”对y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的影响 (1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小． (2)h决定了二次函数图象的对称轴的位置． (3)k决定了二次函数图象的顶点的高度． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 16　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 一元二次函数的函数值的变化趋势(逻辑推理)  　　　　试述一元二次函数y＝3x2－6x－1函数值的变化趋势． [分析]　配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，结合图象叙述． [解析]　配方，得y＝3x2－6x－1＝3(x－1)2－4． 该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，所以此函数在区间(－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大则减小，在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大． [注意]　书写的规范性： ①配方变形，以便得出函数图象的对称轴； ②结合函数图象叙述函数值的变化趋势． 例 2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❷　(1)在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围为 (　　) A．[4，＋∞)　 B．[2，＋∞) C．(－∞，4]　 D．(－∞，2] (2)一元二次函数y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0，7)点． ①求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标； ②试述函数值的变化趋势． C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） (2)①因为y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0，7)点， 得7＝－0＋(m－1)×0＋m，所以m＝7； 则y＝－x2＋6x＋7，令－x2＋6x＋7＝0，(x－7)(x＋1)＝0， 所以x－7＝0或x＋1＝0，所以x＝7或x＝－1， 所以此函数的图象与x轴的交点为(7，0)，(－1，0)． ②因为y＝－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16，所以对称轴为直线x＝3，所以在区间(－∞，3]上，y随x的增大而增大；在区间[3，＋∞)上，y随x的增大而减小． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 一元二次函数的最大值和最小值  例 3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大(小)值的一般步骤 (1)“化”：采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式． (2)“求”：当a＞0时，函数在x＝h处y有最小值，ymin＝k；当a＜0时函数在x＝h处y有最大值，ymax＝k． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　(1)一元二次函数y＝－x2＋6x－3的最大值是_____． (2)若一元二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的最小值为0，则m＝_________． 6　 9或25　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 1．函数y＝2x(3－x)的图象可能是 (　　)   [解析]　由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除A，C．又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D． B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．关于二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象，下列说法正确的是 (　　) A．开口向上，顶点坐标为(3，1) B．开口向下，顶点坐标为(3，1) C．开口向上，顶点坐标为(－3，1) D．开口向下，顶点坐标为(－3，1) [解析]　因为y＝2(x－3)2＋1，其中a＝2＞0，所以抛物线的开口向上，顶点坐标为(3，1)． A　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．将函数y＝－3x2＋1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后可得下列哪个函数的图象 (　　) A．y＝－3(x＋1)2－1　 B．y＝－3(x＋1)2＋3 C．y＝－3(x－1)2＋1　 D．y＝－3(x－1)2＋3 [解析]　函数y＝－3x2＋1的图象的顶点坐标为(0，1)，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点为(1，3)，则y＝－3(x－1)2＋3． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．若函数y＝x2－2ax在区间(－∞，5]上y随x增大而减小，在[5，＋∞)上y随x增大而增大，则实数a＝_____． [解析]　由题知二次函数图象的对称轴为直线x＝5．所以a＝5． 5　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 5．用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值． (1)y＝2x2－4x－3；(2)y＝－5x2－20x－26． [解析]　(1)配方得y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，所以该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1； 当x＝1取得最小值，最小值为ymin＝－5； (2)配方得y＝－5x2－20x－26＝－5(x＋2)2－6，所以该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝－2； 当x＝－2取得最大值，最大值为ymax＝－6． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) 图象 a＞0 a＜0 【对点练习】❶　(1)已知二次函数y＝x2－8x＋c的图象的顶点在x轴上，则c＝______． (2)已知一元二次函数y＝x2－6x＋21． ①指出它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换而得到； ②指出它的图象的对称轴和顶点坐标． [解析]　(1)配方，得y＝x2－8x＋c＝(x－4)2＋c－16， 所以此函数图象的顶点坐标为(4，c－16)，根据题意得c－16＝0，所以c＝16． (2)①配方，得y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，所以函数y＝x2－6x＋21的图象可以由函数y＝x2的图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到． ②此函数图象的对称轴为直线x＝6，顶点坐标为(6，3)． [归纳提升]　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)函数值的变化趋势 (1)当a＞0时，在区间上，y随x的增大而减小；在区间上，y随x的增大而增大；简记：左减右增． (2)当a＜0时，在区间上，y随x的增大而增大；在区间上，y随x的增大而减小；简记：左增右减． [解析]　(1)函数y＝x2－mx＋5的对称轴为x＝，因为在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，所以≤2，解得m≤4． 　　　　(1)求函数y＝x2－2x＋4的最小值． (2)已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋c． ①求该一元二次函数图象的对称轴； ②若此函数的最大值是－3，求c的值． [解析]　(1)配方：y＝x2－2x＋4＝(x－2)2＋2，此函数的图象是一条抛物线，开口向上且对称轴为x＝2，所以当x＝2时，ymin＝2． (2)①y＝－x2＋4x＋c＝－(x－2)2＋c＋4， 此函数图象的对称轴是直线x＝2． ②由①得，当x＝2时，函数的最大值为ymax＝c＋4＝－3，所以c＝－7． [解析]　(1)因为y＝－x2＋6x－3＝－(x－3)2＋6， 所以此函数在x＝3处取得最大值6，即ymax＝6． (2)由题意得＝0， 即(m－1)2－4×8(m－7)＝0．解得m＝9或m＝25． $