1.4.2一元二次不等式及其解法课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，通过回顾一元一次函数、方程与不等式的关系，以y=x²-2x-3图像为例，搭建从一次到二次的学习支架，帮助学生建立三者间的内在联系。 其亮点在于融入高斯、韦达等数学家故事激发兴趣，结合图像法与代数法培养推理能力，典例涵盖含参、分式不等式等类型，助力学生形成模型意识和应用意识，教师使用可提升教学效率，学生能深化理解并激发探究欲。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 预备知识 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 4.2 一元二次不等式及其解法 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、一元二次不等式的解法。 1、通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系. 2、了解图象法解一元二次不等式. 3、掌握代数法解一元二次不等式. 1、理解一元二次不等式与一元二次函数之间的联系。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 k≠0时， y=kx+b叫作__________________ kx+b=0叫作__________________ kx+b＞0，kx+b＜0，kx+b≥0，kx+b≤0叫作_________________ 一元一次函数 一元一次方程 一元一次不等式 使得一元一次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元一次不等式的解集。 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 a≠0时， y=ax2+bx+c叫作___________________ ax2+bx+c=0叫作___________________ ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0，ax2+bx+c≥0，ax2+bx+c≤0叫作___________________ 使得一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集。 一元二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 4 新 知 引 入 韦 达 1、画出函数y=x2-2x-3的图象。 3、方程x2-2x-3=0的实数根是_________ -1或3 2、图象与x轴的交点是______________ (-1,0),(3,0) 这说明一元二次函数图象与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的根。 反之，一元二次方程的根是其对应的一元二次函数的图像与x轴交点的横坐标。 那么，一元二次函数与一元二次不等式之间有什么联系呢？ 5 新 知 引 入 布 丰 设图像上任意一点的坐标为(x,y),观察图像： 1、满足x＜-1或x＞3的点都在在x轴的_______， 此时，这些点的纵坐标y______0. 即x＜-1或x＞3时， y___0即x2-2x-3____0 反之，当x2-2x-3＞0即y＞0时， x___-1或x____3 所以就说一元二次不等式x2-2x-3＞0的 解是________________， 解集是__________________ 上方 ＞ ＞ ＞ ＜ ＞ x＜-1或x＞3 {x|x＜-1或x＞3} 6 新 知 引 入 伯努利 2、满足-1＜x＜3的点都在在x轴的________， 此时，这些点的纵坐标y_____0. 即-1＜x＜3时， y_____0即x2-2x-3______0 反之，当x2-2x-3＜0即y＜0时， -1_____x______3 所以就说一元二次不等式x2-2x-3＜0的 解是_____________， 解集是___________________ 下方 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ -1＜x＜3 {x|-1＜x＜3} 设图像上任意一点的坐标为(x,y),观察图像： 7 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系  方程根的判别式 函数的图象 方程的实数根 不等式 的解集 的解集 两个不等实根 两个相等实根 无实根 8 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 一元二次不等式的求解方法 当一元二次不等式 可将不等式左右两边都乘以，这样就可以转换成上述形式求解. 9 学 习 新 知 拉格朗日 (1)图像法： (2)代数法： 解一元二次不等式的常见方法 一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集。 将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解。 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n。 口诀如下：大于取两边，小于取中间。 10 3、恒成立问题： ①不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立 ⇔________________ 或_________ ②不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立⇔_________________或_________ 学 习 新 知 拉格朗日 1、一元二次不等式解集的_________即为相应一元二次方程的实数根. 2、分式不等式可以转化为一元二次不等式求解： ①＞0 ⇔ _________________ ②＜0⇔_____________________ ③≥ 0⇔________________________________⇔__________________________________ ④≤ 0⇔________________________________⇔__________________________________ ⑤≥a⇔ _________________________ 端点值 f(x)g(x)＞0 f(x)g(x)＜0 f(x)g(x)≥ 0且g(x)≠0 f(x)g(x)＞0或f(x）=0 f(x)g(x)≤ 0且g(x)≠0 f(x)g(x)＜0或f(x）=0 ≥ 0 11 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、解下列不等式: (1)2x2-3x-2>0; （2）9x2-6x+1>0 (3)-x2+4x-4>0 解：画出函数 y=2x2-3x-2图象， 图像与x轴的交点为 （- ，0）,（2，0） 所以不等式的解集为 {x|x＜- 或x＞2} 解：画出函数 y=9x2-6x+1图象， 图像与x轴的交点 为( ,0) 所以不等式的解集为 {x|x≠} 解:不等式可化 为x2-4x+4<0 画出函数y=x2-4x+4 的图像. 所以不等式的解集为∅ 12 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、解下列不等式: (1)-x2+7x>6. (2)-x2+2x-3>0 (3)x2-2x+1＞0 解：原不等式可化 为 x2-7x+6<0, 画出函数y=x2-7x+6 的图像，与x轴的交 点为(1,0)和(6,0). 所以不等式的解集为 {x|1＜x＜6} 解:不等式可化 为x2-2x+3<0 画出函数y=x2-2x+3 的图像. 所以不等式的解集为∅ 解：画出函数 y=x2-2x+1图象， 图像与x轴的交点 为（1,0）。 1 所以不等式的解集为 {x|x≠1} 13 典 例 引 路 柯 西 例2、解下列不等式: (1)4x2-20x<-25; (2)(x-3)(x-7)<0; (3)-3x2+5x-4<0; 解:不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀. 解：由(x-3)(x-7)=0得x=3或x=7, 故不等式的解集是{x|3<x<7}. 解：不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式 Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R. 14 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、解下列不等式： (1)； (2)； (3). 解：由方程得，. 所以原不等式的解集为或. 解：由方程x2-4x-5=0的x=-1或x=5 所以原不等式的解集为. 解：原不等式可化为， 因为， 所以方程无实根. 又二次函数的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 15 典 例 引 路 牛 顿 例3、解下列不等式： (1)； (2). 解：⇔⇔， ∴原不等式的解集为. 解：∵，∴，∴，即. 此不等式等价于且， 解得或， ∴原不等式的解集为. 16 同 步 练 习 黎 曼 练3、解下列不等式： (1)； (2). 解：不等式可转化成不等式组 解这个不等式组，可得或. 故原不等式的解集为或. 解：不等式可改写为，即. 可将这个不等式转化成，解得. 所以原不等式的解集为. 17 典 例 引 路 狄利克雷 例4、解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0(a<0). 解:因为a<0,所以原不等式化为a(x-)(x+1)≥0 即(x-)(x+1)≤0. 当-2<a<0时,<-1,则原不等式的解集为{x|≤x≤-1}; 当a=-2时,x=-1; 当a<-2时,>-1,则原不等式的解集为{x|-1≤x≤} 综上所述,当-2≤a<0时,不等式的解集为{x|≤x≤-1} 当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤} 18 同 步 练 习 庞加莱 练4、解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0. 解:由(x-a)(x-a2)=0得x=a或x=a2 当a<a2即a<0,或a>1时,不等式的解集为{x|a<x<a2}; 当a2<a即0<a<1时,不等式的解集为{x|a2<x<a}; 当a2=a即a=0,或a=1时,原不等式无解. 综上,当a<0,或a>1时,原不等式的解集为{x|a<x<a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|a2<x<a}; 当a=0,或a=1时,原不等式的解集为⌀. 19 典 例 引 路 傅里叶 例5、已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2), ∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根. ∴-a=1+2,b=1×2, ∴a=-3,b=2 将其代入所求不等式bx2+ax+1>0，得2x2-3x+1＞0 由2x2-3x+1=0得 x= 或x=1 不等式的解集为{x|x＜或x＞1} 20 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、若不等式ax2+bx-2＜0的解集是{x|-2＜x＜},则ab=( ) A. -28 B. -26 C. 28 D. 26 解：-2， 是方程ax2+bx-2=0的两根 ∴ ∴a=4,b=7 ∴ab=28 C 21 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 解：根据题意，分两种情况 ①当时，即. 若，不等式变为，成立，符合条件； 若，不等式变为，解集为，不符合题意. ②当时，不等式为一元二次不等式，要使解集为， 则对应二次函数抛物线开口只能向上，且， 即 解得 即 综上，求实数的取值范围. 22 同 步 练 习 洛必达 练6、若不等式的解集为，求实数的取值范围； 解：不等式的解集为， 当时，不等式为，恒成立，所以符合题意； 当时，的解集为， 则抛物线的开口只能向上，且， 即解得. 综上，的取值范围 23 典 例 引 路 华罗庚 例7、当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集 为R? 解：（1）当a2-1=0时，a=1或-1 若a=1,则原不等式为-1＜0,恒成立。 若a=-1,则原不等式为2x-1＜0即x＜ ,不合题意，舍去。 （2）当a2-1≠0时，即a≠±1时 , 解得 - ＜a＜1 综上所述：- ＜a≤1 24 同 步 练 习 陈景润 练7、对于一切实数，恒成立，求的取值范围. 解：已知恒成立， 若， 显然，满足题意； 若， 则 即. 综上，的取值范围为. 25 全 课 总 结 一、一元二次不等式的解法： （1）图像法 （2）代数法 二、分式不等式的解法 三、一元二次不等式与一元二次函数的联系 26 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 27 $