精品解析：安徽省滁州市定远县2026年春学期期末教学质量监测八年级数学试题

2026年春学期期末教学质量监测八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请按要求在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. ＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ÷＝4 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式运算法则运算及即可． 【详解】解：A、不能合并，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，能熟练运算是解题关键． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 4. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. 6，12，13 B. 3，4，6 C. 8，15，16 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、不是勾股数，因为62+122≠132，此选项不符合题意； B、不是勾股数，因为32+42≠62，此选项不符合题意； C、不是勾股数，因为82+152≠162，此选项不符合题意； D、是勾股数，因为52+122＝132，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，解题关键是明确勾股数的定义，准确进行计算． 5. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 7. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质与多边形内角和定理的应用，解题的关键是明确正六边形内角的度数，结合四边形内角和为推导角度关系． 先确定正六边形每个内角为，得到和的度数；再根据对顶角性质，可知等于等于；最后利用四边形的内角和为，列等式计算的度数． 【详解】解：∵正六边形的每个内角均为， ∴． ∵与组成对顶角， ∴． ∵与组成对顶角， ∴． 在四边形中，内角和为， 即， 代入得， 解得． 故选：C． 8. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意； 添加一个数8后方差为 即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， 即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是正方形 B. 四个内角相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故此选项不符合题意； B．四个内角相等的四边形是矩形，原命题是假命题，故此选项不符合题意； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，故此选项不符合题意； D．对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是真命题，故此选项符合题意． 10. 如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为直角边作等腰直角三角形，AF为斜边，连接．下面有四个说法：①当时，；②当时，点B，D，F共线；③当时，与面积相等；④当时，是的角平分线．所有正确说法的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】①当时，先在中，由勾股定理得，再在中由勾股定理得可求得，由此可判断①正确；②当时，过点F作，交延长线于点H，连接。先证明，则可得，，进而可得，，进而可得，由此可得②正确；③当时，，，求得，，由此得③错误；④当时，在上截取，连接，则可得，，，则，，进而可得，，由此可得④错误。 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理。熟练掌握以上知识是解题的关键。 【详解】解：①∵四边形是正方形，边长为4， ，， 当时， 在中，由勾股定理得：， 是等腰直角三角形，， ，， 由勾股定理得：， 故①正确； ②当时，过点F作，交延长线于点H，连接，如图1所示： ∵四边形是正方形，边长为4， ，，， ∴， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴点B，D，F三点共线， 故②正确； ③当时， 同②可证明：， ，， ， ，， ， 故③不正确； ④当时，在上截取，连接，如图2所示： 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 又， ， ， ， 不是的角平分线， 故④不正确， 综上所述：正确的序号是①②． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，3x-2≥0， 解得x≥． 故答案为x≥． 12. 方程的根是__________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：方程， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 13. 已知样本的平均数为3，方差是2，那么样本的方差是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查方差的计算公式及其运用，一般地设有n个数据，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍． 根据方差的变化规律即可解答． 【详解】解： ∵的方差是2， ∴的方差是． 故答案为18． 14. 如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，当________时，平分；连结，则的最小值为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】答题空1：ED平分∠FEC时，证出CDE是等腰直角三角形，得出DE=CD=2，求出AE=AD-DE=2即可； 答题空2：过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出EFH≌EDC，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：答题空1 ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°， ∵四边形CEFG是正方形， ∴∠FEC=90°， ∵ED平分∠FEC， ∴∠CED=45°， ∴CDE是等腰直角三角形， ∴DE=CD=2， ∴AE=AD-DE=2， 即当AE=2时，ED平分∠FEC； 故答案为：2； 答题空2 过F作FH⊥ED垂足为H，如图所示： ∵四边形CEFG是正方形， ∴EF=EC，∠FEC=∠FED+∠DEC=90°， ∵FH⊥ED， ∴∠FHE=∠D=90°，∠FED+∠EFH=90°， ∴∠DEC=∠EFH，且EF=EC， 在EFH和EDC中， ∴EFH≌EDC（AAS）， ∴EH=DC=2，FH=ED， ∴由勾股定理得：AF= = = ， ∴当AE=1时，AF的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理解三角形等知识；关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC． 三、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质先化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 16. 解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】解：方程， ∴， 或， 解得，． 17. 《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 【答案】竹子折断处离地面有4.2尺． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹子折断处离地面有尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，，，， ∴， 则：， 解得：． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 18. 如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟记相关结论即可． 证明，可得，从而得到，继而得到，即可求证． 【详解】略 四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… （1）计算：____________________； （2）用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； （3）求出的值． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）的值就是把面积的平方相加即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， …… 按此规律，， ∴（负值已舍去）； 【小问2详解】 解：， ， ， …… 按此规律，， ， ， ， …… 按此规律，（是正整数）； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）的长为__________，的度数为_______________； （2）求证：矩形是正方形； （3）若，求正方形的边长． 【答案】（1） （2）证明：①过点作于于点，如图1所示： 则四边形为矩形， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴矩形为正方形， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得，在中由勾股定理可求出的长； （2）过点作于于点N，则四边形为正方形，再证明和全等，得出，进而即可得出结论； （3）连接，先证明和全等得，则，，由此可得的长； 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，， ∴， 在 中， 由勾股定理得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图2所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得：， 在 中，由勾股定理得：， ， ， 即正方形的边长是． 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： （1）任务1：求图①中的值． （2）任务2：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． （3）任务3：下列结论正确的是_______________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差一定相等； ④两园柑橘直径的方差可能甲园较大． （4）任务4：结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优并说明理由． （5）乙园样本中E组的柑橘直径（单位：）分别为．该组数据的四分位数为_________________________． 【答案】（1）40 （2）6 （3）①④ （4）解：乙园的柑橘品质更优，理由如下： 甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为：， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． （5） 【解析】 【分析】（1）直接根据总数减去各部分的数据求出， （2）根据加权平均数的计算方法求解平均数即可； （3）根据中位数，众数，方差的定义和公式逐项进行判断； （4）分别计算甲和乙的一级率，比较即可； （5）根据四分位的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：乙园样本数据的平均数为； 【小问3详解】 ①甲园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组， ∴中位数在组； 乙园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组， ∴中位数在组； 故①正确； ②由频数直方图可得，甲园样本数据的众数在组，乙园样本数据的众数在组， 故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； ④甲园的加权平均数为 ； ； ； ∵， ∴甲园的方差大， 故④正确； 综上，正确的选项有①④． 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：∵乙园样本中E组的柑橘直径（单位：）分别为，共15个数据， ∴中位数是第8个数据，为， ∴第一四分位是第4个数据，为， 第三四分位是第12个数据，为， 即该组数据的四分位数分别为． 22. [回归教材]（1）已知一元二次方程（a、b、c为常数，）的两个实数解为，，则有，．这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．请你证明这个定理． [夯实基础]（2）若一元二次方程的两个实数解为，，求的值． [拓展应用]（3）若关于x的一元二次方程的两个实数解为，，求的最小值． 【答案】（1）见解析． （2）40 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求根公式可得到和的表达式，求和即可． （2）可先求得的值，将转化为，即可求得答案． （3）根据一元二次方程的根与系数的关系，可求得，设，则；根据一元二次方程根的判别式，可求得的取值范围，根据二次函数图象的特点，可求得的最小值． 【详解】解：（1）根据求根公式可知，一元二次方程（a、b、c为常数，）的两个解为 ，， 由此可得 ， ． （2）∵的两个实数解为和， ∴，． ∴． （3）∵方程的两个实数解为和， ∴，． ∴． 设，可知 ． 可知二次函数开口向上，对称轴为． ∵方程有实数解， ∴． 解得． ∵当时，对于二次函数，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值， 即． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的图象和性质．理解一元二次方程根与系数的关系，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． 六、解答题（本题共1小题，14分） 23. 如图①．点是正方形的对角线上任意一点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求∠的度数； （3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，再证明便可得； （2）由求出，再根据，可得，进而可以解决问题； （3）过作，证明是等边三角形，设，则，，得，由．列出的方程进行解答便可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图②，过作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，第（3）题难度大，关键是构造直角三角形和证明等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期期末教学质量监测八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请按要求在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. ＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ÷＝4 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. 6，12，13 B. 3，4，6 C. 8，15，16 D. 5，12，13 5. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是正方形 B. 四个内角相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 10. 如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为直角边作等腰直角三角形，AF为斜边，连接．下面有四个说法：①当时，；②当时，点B，D，F共线；③当时，与面积相等；④当时，是的角平分线．所有正确说法的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__ ． 12. 方程的根是__________． 13. 已知样本的平均数为3，方差是2，那么样本的方差是______． 14. 如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，当________时，平分；连结，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分） 15. 计算： 16. 解方程： 17. 《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 18. 如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… （1）计算：____________________； （2）用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； （3）求出的值． 20. 如图，四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）的长为__________，的度数为_______________； （2）求证：矩形是正方形； （3）若，求正方形的边长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： （1）任务1：求图①中的值． （2）任务2：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． （3）任务3：下列结论正确的是_______________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差一定相等； ④两园柑橘直径的方差可能甲园较大． （4）任务4：结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优并说明理由． （5）乙园样本中E组的柑橘直径（单位：）分别为．该组数据的四分位数为_________________________． 22. [回归教材]（1）已知一元二次方程（a、b、c为常数，）的两个实数解为，，则有，．这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．请你证明这个定理． [夯实基础]（2）若一元二次方程的两个实数解为，，求的值． [拓展应用]（3）若关于x的一元二次方程的两个实数解为，，求的最小值． 六、解答题（本题共1小题，14分） 23. 如图①．点是正方形的对角线上任意一点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求∠的度数； （3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $