2.1 正数与负数 预习讲义 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

苏科版数学七年级上册 §2.1 正数与负数 教学讲义 苏科版数学七年级上册 第2章 有理数 2.1 正数与负数 教学讲义 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 适用年级： 七年级上学期 教材版本： 苏科版（七年级上册） 教学内容： §2.1 正数与负数 讲义类型： 知识精讲 + 例题 + 变式训练 §1 情景导入：认识相反意义的量 【生活中的地理数据】 我国拥有世界最高峰——珠穆朗玛峰，海拔 8848.86 m；也有世界唯一位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔为 −80.97 m。 【思考】 这两个数据都表示高度，为什么一个用正数，另一个用负数？ 这是因为我们先设定了一个分界点（海平面，记作 0），高于分界点的记为正数，低于分界点的记为负数。 这说明：生活中需要用具有相反意义的两个量来描述现象。 更多相反意义的量举例： 情境 相反意义的量① 相反意义的量② 设定分界（0） 温度 山脚 4°C（零上） 山顶 −6°C（零下） 以 0°C 为分界（冰点） 收支 收入 +40000 元 支出 −10000 元 以收入 = 支出为分界 位置 竹竿高出水面 1.7 m 竹竿低于水面 −0.6 m 以水面为分界 盈亏 盈利 800 元 亏损 300 元 以不盈不亏为分界 方向 向东走 5 km（+5 km） 向西走 3 km（−3 km） 以出发点为分界 关键结论： 1. 正数与负数是用来表示相反意义的量的数学工具。 2. 必须先设定一个标准（分界点），才能确定哪些情况记为正，哪些记为负。 3. 0 的意义：既表示"没有"，也常作为分界点/标准。 §2 正数与负数的概念 2.1 基本定义 正数（Positive Number） 像 8848.86，4，+40000，1.7 这样大于 0的数，叫做正数。 正号 "+" 通常省略不写，但性质不变（如 "+5" 与 "5" 是同一个正数）。 负数（Negative Number） 像 −80.97，−6，−10000，−0.6 这样小于 0的数，叫做负数。 负号 "−"绝不可省略（−5 不能写成 5，二者性质截然相反）。 0 的意义 0 既不是正数，也不是负数。0 是正数与负数的分界线。 2.2 读写法则 符号 写法 读法 备注 +7 或 7 写作：+7 或 7 读作：正七 "+" 可省略 −7 写作：−7 读作：负七 负号不可省 +2/3 或 2/3 写作：+2/3 或 2/3 读作：正三分之二 "+" 省略后仍是正数 −3/4 写作：−3/4 读作：负四分之三 负号表示小于 0 0 写作：0 读作：零 既非正也非负 【注意】 1. "+" 号写在数的前面，读作"正"，正号通常省略不写，但省略后仍表示正数。 1. "−" 号写在数的前面，读作"负"，负号绝不可省略。 1. "0" 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 §3 有理数的分类 3.1 有理数的相关概念 概念 符号表示 举例 正整数 大于 0 的整数 +7, 998, 2023 负整数 小于 0 的整数 −9, −998, −2023 整数 正整数 + 零 + 负整数 …, −2, −1, 0, 1, 2, … 正分数 大于 0 的分数（含小数） 1/3, 0.5, 2.7, 0.̄ 负分数 小于 0 的分数（含小数） −9/10, −0.5, −1.25 分数 正分数 + 负分数 1/3, −9/10, 0.5, −0.6 注：有限小数和循环小数都可以化成分数形式 3.2 有理数的完整分类体系 有理数分类体系 ┌─────────────────────────────────┐ │ 有 理 数 │ │ ┌──────────┴──────────┐ │ │ 正有理数（>0） │ 负有理数（<0）│ │ ┌──┴──┐ ┌──┴──┐ │ ┌──┴──┐ ┌──┴──┐│ │ 正整数 正分数 负整数 负分数 │ ┌────────────────┐ │ │ │ 零（0，既不是正数也不是负数）│ │ │ └────────────────┘ │ │ 另：整数 ： 正整数 、 零 、负整数 │ 分数 ： 正分数 、 负分数 │ 注：有限小数、循环小数都是分数 └─────────────────────────────────┘ 补充说明： 1. 非负数 = 正有理数 + 零（即所有 ≥ 0 的有理数）。 1. 非正数 = 负有理数 + 零（即所有 ≤ 0 的有理数）。 1. 整数一定是有限小数（因为整数的本质是分母为 1 的分数）。 1. 循环小数和有限小数都可以化为分数，它们都属于有理数。 §4 例题精讲 【例题 1】识别正数和负数 例1 指出下列数中的正数、负数，并说明理由： +7， −9， 1/3， −4.5， 4.5， 0.1̇， 998， −998， −9/10， 0 解： 数的类型 正数（>0） 负数（<0） 示例 +7， 1/3， 4.5， 0.1̇， 998 −9， −4.5， −998， −9/10 共同特征 数前带 "+" 号或不带符号（>0） 数前带 "−" 号（<0） 0 0 既不是正数，也不是负数 【解题思路】 1. 判断方法：看数的符号。有 "−" 号 → 负数；有 "+" 号或不带符号 → 正数。 1. 特别注意：+7 和 7 本质相同（正号可省略）；−7 与 7 性质相反。 【例题 2】判断有理数的类型 例2 指出下列数中哪些是正有理数，哪些是负有理数，哪些是非负有理数： +5， −11， 1/3， −7½， 1002， −9/10， 0.8， 0 解： 正有理数（>0） 负有理数（<0） 非负有理数（≥0） +5， 1/3， 1002， 0.8 （正整数 + 正分数） −11， −7½， −9/10 （负整数 + 负分数） +5， 1/3， 1002， 0.8， 0（即正有理数 + 零） 【解题思路】 1. 正有理数 = 正整数 + 正分数；负有理数 = 负整数 + 负分数。 1. 非负有理数 = 正有理数 + 零（即所有 ≥ 0 的数）。 1. 注意带分数是分数的一种形式。 1. 有限小数（如 0.8）可写成分数形式，属于有理数。 【例题 3】用正数、负数表示实际数量 例3 用正数或负数表示下列实际问题中的数量： (1) 小明家在学校正西方 3 km 处，小丽家在学校正东方 2.5 km 处。 (2) 某人今年 9 月份收入 9500 元，消费支出 5300 元。 (3) 马里亚纳海沟的最深处低于海平面 11034 m。 解： 题号 分析过程与结果 (1) 先规定"正方向"：通常将向东（正方向）记为正。 则：东方向 → 正数，西方向 → 负数。 小丽家：+2.5 km（或 2.5 km） 小明家：−3 km (2) 先规定"收入"为正（盈利方向）。 则：收入 → 正数，支出（亏损）→ 负数。 收入：+9500 元（或 9500 元） 支出：−5300 元 (3) 先规定"高于海平面"为正。 海平面为 0，高于海平面 → 正数，低于海平面 → 负数。 马里亚纳海沟最深处：−11034 m 【解题思路】 1. 第一步：先规定正方向（正意义）—— 即确定 0 的含义。 1. 第二步：与正方向相同的量记为正数，与正方向相反的量记为负数。 1. 第三步：写答案时注明单位（如 km、元、m）。 §5 变式训练 变式 1 — 正数与负数的识别深化 变式训练 1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些既不是正数也不是负数？ −3.14， 1/7， 0， −1/7， +4， −0.01， 0.̄， −1.̄ 答案： 正数：1/7， +4， 0.̄（即 0.1̇ = 1/9 > 0） 负数：−3.14， −1/7， −0.01， −1.̄（即 −0.1̇ = −1/9 < 0） 既非正也非负：0 变式 2 — 有理数的综合分类 变式训练 2 将下列各数填入相应的集合中： +13， −3.25， −3/4， 0， +12/5， 0.32， −1/2 正数集合 负数集合 整数集合 +13， +12/5， 0.32 −3.25， −3/4， −1/2 +13， 0 【易错提示】0.32 = 32/100 = 8/25 > 0，是正数，不是整数！ 变式 3 — 正负数表示实际情境 变式训练 3 在一次海洋深潜工作中，直升机悬停在离海面 500 m 的空中， "奋斗者"号载人潜水器潜在水下 7000 m 处。记海面高度为 0 m， 请用正数或负数表示直升机和潜水器的高度。 答案： 规定"高于海平面"为正，则： 直升机：+500 m（或 500 m） 潜水器：−7000 m 变式 4 — 开放性问题 变式训练 4 举例说明 "−7.3" 可以表示哪些不同的实际意义。 参考答案（开放性答案，合理即可）： 1. 温度：零下 7.3°C 1. 高度：低于海平面 7.3 m 1. 盈亏：亏损 7.3 元 1. 位置：相对于出发点的相反方向 7.3 km 1. 成绩：比平均分低 7.3 分 【核心要点】同一个数 −7.3 在不同情境下可表示不同含义，关键是先规定正方向/正意义。 §6 课堂练习 课堂练习 A 1. 用正数或负数表示下列数量： (1) 小明家在学校正西方 3 km，小丽家在学校正东方 2.5 km。 (2) 某人9月份收入9500元，支出5300元。 2. 将下列各数填入相应集合： +13， −3.25， −3/4， 0， +12/5， 0.32， −1/2 正数集合：________________；负数集合：________________；整数集合：________________ 3. 判断正误： (1) 所有的正数都比0大。 [ ] (2) 所有的负数都小于0。 [ ] (3) 0是整数，也是正数。 [ ] (4) −5和+5表示的意义相同。 [ ] (5) 0.8可以看作正分数。 [ ] 课堂练习 B 4. 指出下列数中的正整数、负整数、正有理数、负有理数： −3/11， 16， −9.7， −0.56， −1.25， −10， 0.103， 17/5， −111， 16.53 5. 把下列分数化为小数（除不尽的用循环小数表示）： (1) 2/9 (2) −7/9 (3) 1/6 (4) −5/3 (5) −22/7 6. 举例说明"−7.3"可以表示哪些不同的实际意义（至少3个）。 §7 易错辨析与学习技巧 7.1 常见错误类型总结 易错类型 正确理解 + 号省略 "+5" 读作"正五"，正号可省略不写，但 "5" 仍是正数，性质不变。 "+" 与 "−" 的读法 "+40000" 读作"正四万"；"−10000" 读作"负一万"。负号绝不可省略。 0 的归属 0 既不是正数，也不是负数。0 是正数与负数的分界。 分数包含小数 有限小数（如 0.5）和循环小数（如 0.̄）都可以写成分数形式。 正负数的实际意义 同一数量用正数还是负数表示，需先规定"正方向"或"正意义"。 非负数 "非负数" = 正有理数 + 零，即 ≥ 0 的有理数。 7.2 知识结构图 有理数分类体系 ┌─────────────────────────────────┐ │ 有 理 数 │ │ ┌──────────┴──────────┐ │ │ 正有理数（>0） │ 负有理数（<0）│ │ │ ┌──┴──┐ ┌──┴──┐ │ ┌──┴──┐ ┌──┴──┐│ │ │ 正整数 正分数 负整数 负分数│ │ │ ┌────────────────┐ │ │ │ 零（0，既不是正数也不是负数）│ │ │ └────────────────┘ │ │ 另：整数 = 正整数 + 零 + 负整数 │ │ 分数 = 正分数 + 负分数 │ │ 注：有限小数、循环小数都是分数 │ └─────────────────────────────────┘ 7.3 学习口诀 口诀一：正负数辨析 "有负号，是负数；无负号，是正数；零单独，记心间。" 口诀二：有理数分类 "有理数，分两类；整数分数两姐妹；整数又分三小类：正整、零、负整。" 口诀三：正负数的实际意义 "先定正方向，再分正与负；相反即取负，一致就取正。" §8 本节小结 8.1 知识要点回顾 知识点 内容 相反意义的量 生活中常需用两个具有相反意义的量来描述现象，先设定分界点（0）。 正数 大于 0 的数，如 +3，5，0.8，1/3 等。正号可省略。 负数 小于 0 的数，如 −3，−5，−0.8，−1/3 等。负号不可省略。 0 既不是正数，也不是负数，是正负数的分界。 整数 正整数、零、负整数的统称。 分数 正分数和负分数的统称。有限小数、循环小数都是分数。 有理数 整数和分数的统称，分为正有理数、零、负有理数。 8.2 学习目标检测 □ 能用正数、负数表示生活中相反意义的量。 □ 正确识别正数、负数，掌握正负号的读写规则。 □ 能将有理数按正负性正确分类。 □ 理解 0 的意义，知道 0 既不是正数也不是负数。 □ 了解分数与小数的关系（有限小数、循环小数都是分数）。 □ 能用计算器正确输入负数。 §9 课后思考与探究 探究问题 1. 如果全班平均身高为 160 cm，小明身高 165 cm，小红身高 155 cm，如何用正数或负数表示他们的身高差异？ 2. 在天气预报中，北京的气温为 −5°C~3°C，这表示什么含义？ 3. 思考：正整数、正分数与有理数的关系是什么？画出数集关系图。 4. 查资料：负数最早出现在哪个国家？我国古代是如何引入负数的？ 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $