（预习篇）第二讲 正数与负数【思维导图+知识卡片+教材精讲+知识总结+七大题型讲练+难度分层练 共41题】-2026年苏科版数学小升初（六升七年级）暑假衔接讲义

null2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第二讲 正数与负数「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+七大考点讲练+难度分层练 共41题 原卷版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 【教学目标】 1.通过生活实例认识正数和负数，理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量. 2.知道有理数的分类，理解有理数的意义. 3.初步感受数系的扩充，发展抽象能力. 【情境引入】 你知道海洋的深度、山峰的高度如何表示吗？ 海洋的深度通常用负数表示，因为它是相对于海平面以下的位置. 陆地上山峰的高度通常用正数表示，因为它是相对于海平面以上的位置. 【问题情境】 我国有世界上海拔最高的山峰——珠穆朗玛峰，也有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园. 你知道8848.86m和－80.97 m是什么意思吗？为什么要用“海拔”来描述高度呢？ 【新知探究】 像海拔高度这样，通过设置一个分界点，以此区分具有相反意义的量在日常生活中很常见. 我国计算海拔高度是从青岛的黄海平均海水面作为零点起算，水准零点位于青岛市东海中路30号银海大世界.用“海拔”来描述高度体现了实际问题中“基准”的作用. 【试一试】 1. 某高山山脚的温度为4℃，记为4℃，山顶的温度为零下6℃，记为－6℃； 2. 某人到活畜交易市场卖牛收入40000元，记为＋40000元，买羊羔支出10000元，记为－10000元； 3. 竹竿直立于湖中，竹竿在水面的位置标记为0m，竹竿顶端高出水面1.7m，竹竿底端低于水面0.6m，分别记为1.7m和－0.6m. 请再列举一些生活中具有相反意义的量. 【概念引入】 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正，用“＋”表示；把与其意义相反的量规定为负，用“－”表示. 像 8848.86，4，＋40000，1.7这样的数是正数 (positive number)； 像－80.97，－6，－10000，－0.6这样的数是负数 (negativenumber). 【新知归纳】 “＋”读作“正”，如“＋2/3”读作“正三分之二”，正号通常省略不写； “－”读作“负”，如“－80.97”读作“负八十点九七”. 0既不是正数，也不是负数. 0除了表示没有外，还是正数与负数的分界. 【知识链接】 【典例分析】 例1：指出下列数中的正数、负数： +7, -9, , -4.5, 4.5, , 998, -998, , 0 解答： - 正数：+7, , 4.5, , 998 - 负数：-9, -4.5, -998, - 注意：0 既不是正数，也不是负数。 【新知巩固】 1.用正数或负数表示下列问题中的数量： （1）小明家在学校正西方3km，小丽家在学校正东方2.5 km. （2）某人今年9月份收入9 500元，消费支出5 300元. （3）马里亚纳海沟的最深处低于海平面11034 m，这也是已知世界最深处. 解：(1)若小明家在学校正西方3km处记为＋3km，小丽家在学校正东方2.5km处记作记为－2.5km. (2)若收入9500元记为＋9500元，消费支出5300元记为－5300元. (3)马里亚纳海沟的最深处低于海平面11034m记为－11034m. 2.说出下列叙述中正数、负数各表示什么. (1)某家用冰箱冷藏室的温度设置为＋4℃，冷冻室的温度设置为－18℃； (2)珠穆朗玛峰的海拔为＋8 848.86m，吐鲁番盆地的海拔为－154.31m. 解：(1)＋4℃表示零上4℃，－18℃表示零下18℃； (2)＋8 848.86m表示高于海平面8 848.86m，－154.31m表示低于海平面154.31m. 3.下列各数哪些是正数？哪些是负数？有没有既不是负数，也不是正数的数？ －37，＋81，－0.065，－，0，＋4.23，－16.3，0.618，＋，－11.57. 解：正数：＋81，＋4.23，0.618，＋； 负数：－37，－0.065，－，－16.3，－11.57； 有既不是负数也不是正数的数，这个数是0. 【概念归纳】 在正数中，像＋7，998这样的数我们称之为正整数； 负数中，像－9，－998这样的数称为负整数； 正整数、零、负整数统称为整数. 正整数和零就是我们熟悉的自然数. ， －都是分数，其中是正分数， －是负分数. 小学里，我们已经知道有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如4.5＝ ，所以0.1＝，有限小数与循环小数都可以看作分数. 【典例分析】 例2：指出下列数中哪些是正有理数，哪些是负有理数，哪些是非负有理数？ ＋5，－11，，－， 1002，－， 0.8，0. 解：＋5，，1002，0.8是正有理数； －11， －， －是负有理数； ＋5，，1002，0.8，0是非负有理数. 【新知巩固】 把下列各数填入相应的圈内： ＋13，－3.25，－，0， ＋12/5 ，0.32， － 知识点一 认识正数、负数 （1）正数：像+5，+，，2.86这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大于0； （2）负数：像-5，-4，-0.68这样正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 知识点二 正、负数的意义 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。 （2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。 知识点三 有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. 知识点四 有理数的分类 知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； (2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 知识点五 0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界； （2） 为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点； （4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 知识点六 带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0，在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易错的地方。 考点一 正负数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 【变式训练1】下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】负数在现实生活中有广泛的应用．有理数可以描述（     ） A．天气气温 B．数轴原点 C．旗杆高度 D．参赛人数 考点二 相反意义的量 【典例精讲】正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 【变式训练1】我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入20元记作元，那么元表示（    ） A．支出100元 B．收入100元 C．支出20元 D．收入20元 【变式训练2】两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作元，则元表示（  ） A．支出50元 B．支出150元 C．收入50元 D．收入150元 考点三 正负数的实际应用 【典例精讲】一袋大米包装上标有：，表示它最轻是（     ）kg． A． B．15 C． D．16 【变式训练1】如图是某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温为________． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 考点四 有理数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 【变式训练1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 考点五 0的意义 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【变式训练1】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【变式训练2】（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 考点六 有理数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把下列各数填在相应集合里： 正数集合： 分数集合： 负整数集合： 【变式训练1】下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．5 【变式训练2】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 考点七 带“非”字的有理数 【典例精讲】（26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【变式训练1】把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{         } (2)分数集合：{            } (3)非负整数集合：{            } (4)非负有理数集合：{            } 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 【基础通关能力提升】 1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各数中，属于负数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 4．刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 6．某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 7．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 8．把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 9．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 5．（25-26七年级上·福建福州·期中）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 6．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）下列各数：，10，，，0，其中非正数共有_____个 7．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　 　｝ 分数集合：｛　　 　｝ 正数集合：｛　　 　｝ 负数集合：｛　　 　｝ 8．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 10．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第二讲 正数与负数「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+七大考点讲练+难度分层练 共41题 解析版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 【教学目标】 1.通过生活实例认识正数和负数，理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量. 2.知道有理数的分类，理解有理数的意义. 3.初步感受数系的扩充，发展抽象能力. 【情境引入】 你知道海洋的深度、山峰的高度如何表示吗？ 海洋的深度通常用负数表示，因为它是相对于海平面以下的位置. 陆地上山峰的高度通常用正数表示，因为它是相对于海平面以上的位置. 【问题情境】 我国有世界上海拔最高的山峰——珠穆朗玛峰，也有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园. 你知道8848.86m和－80.97 m是什么意思吗？为什么要用“海拔”来描述高度呢？ 【新知探究】 像海拔高度这样，通过设置一个分界点，以此区分具有相反意义的量在日常生活中很常见. 我国计算海拔高度是从青岛的黄海平均海水面作为零点起算，水准零点位于青岛市东海中路30号银海大世界.用“海拔”来描述高度体现了实际问题中“基准”的作用. 【试一试】 1. 某高山山脚的温度为4℃，记为4℃，山顶的温度为零下6℃，记为－6℃； 2. 某人到活畜交易市场卖牛收入40000元，记为＋40000元，买羊羔支出10000元，记为－10000元； 3. 竹竿直立于湖中，竹竿在水面的位置标记为0m，竹竿顶端高出水面1.7m，竹竿底端低于水面0.6m，分别记为1.7m和－0.6m. 请再列举一些生活中具有相反意义的量. 【概念引入】 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正，用“＋”表示；把与其意义相反的量规定为负，用“－”表示. 像 8848.86，4，＋40000，1.7这样的数是正数 (positive number)； 像－80.97，－6，－10000，－0.6这样的数是负数 (negativenumber). 【新知归纳】 “＋”读作“正”，如“＋2/3”读作“正三分之二”，正号通常省略不写； “－”读作“负”，如“－80.97”读作“负八十点九七”. 0既不是正数，也不是负数. 0除了表示没有外，还是正数与负数的分界. 【知识链接】 【典例分析】 例1：指出下列数中的正数、负数： +7, -9, , -4.5, 4.5, , 998, -998, , 0 解答： - 正数：+7, , 4.5, , 998 - 负数：-9, -4.5, -998, - 注意：0 既不是正数，也不是负数。 【新知巩固】 1.用正数或负数表示下列问题中的数量： （1）小明家在学校正西方3km，小丽家在学校正东方2.5 km. （2）某人今年9月份收入9 500元，消费支出5 300元. （3）马里亚纳海沟的最深处低于海平面11034 m，这也是已知世界最深处. 解：(1)若小明家在学校正西方3km处记为＋3km，小丽家在学校正东方2.5km处记作记为－2.5km. (2)若收入9500元记为＋9500元，消费支出5300元记为－5300元. (3)马里亚纳海沟的最深处低于海平面11034m记为－11034m. 2.说出下列叙述中正数、负数各表示什么. (1)某家用冰箱冷藏室的温度设置为＋4℃，冷冻室的温度设置为－18℃； (2)珠穆朗玛峰的海拔为＋8 848.86m，吐鲁番盆地的海拔为－154.31m. 解：(1)＋4℃表示零上4℃，－18℃表示零下18℃； (2)＋8 848.86m表示高于海平面8 848.86m，－154.31m表示低于海平面154.31m. 3.下列各数哪些是正数？哪些是负数？有没有既不是负数，也不是正数的数？ －37，＋81，－0.065，－，0，＋4.23，－16.3，0.618，＋，－11.57. 解：正数：＋81，＋4.23，0.618，＋； 负数：－37，－0.065，－，－16.3，－11.57； 有既不是负数也不是正数的数，这个数是0. 【概念归纳】 在正数中，像＋7，998这样的数我们称之为正整数； 负数中，像－9，－998这样的数称为负整数； 正整数、零、负整数统称为整数. 正整数和零就是我们熟悉的自然数. ， －都是分数，其中是正分数， －是负分数. 小学里，我们已经知道有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如4.5＝ ，所以0.1＝，有限小数与循环小数都可以看作分数. 【典例分析】 例2：指出下列数中哪些是正有理数，哪些是负有理数，哪些是非负有理数？ ＋5，－11，，－， 1002，－， 0.8，0. 解：＋5，，1002，0.8是正有理数； －11， －， －是负有理数； ＋5，，1002，0.8，0是非负有理数. 【新知巩固】 把下列各数填入相应的圈内： ＋13，－3.25，－，0， ＋12/5 ，0.32， － 知识点一 认识正数、负数 （1）正数：像+5，+，，2.86这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大于0； （2）负数：像-5，-4，-0.68这样正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 知识点二 正、负数的意义 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。 （2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。 知识点三 有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. 知识点四 有理数的分类 知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； (2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 知识点五 0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界； （2） 为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点； （4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 知识点六 带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0，在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易错的地方。 考点一 正负数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 【答案】 4 3 【思路引导】根据正负数的定义解答即可． 【规范解答】解：正数有：、、、1，共4个， 负数有：、、，共3个． 【变式训练1】下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据“小于的数是负数”，判断各选项数值与的大小关系即可得到答案． 【规范解答】根据定义，小于的数是负数， A、，是负数，符合题意； B、既不是正数也不是负数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意． 【变式训练2】负数在现实生活中有广泛的应用．有理数可以描述（     ） A．天气气温 B．数轴原点 C．旗杆高度 D．参赛人数 【答案】A 【规范解答】解：A、天气气温可以低于，可以用表示零下3摄氏度，符合要求； B、数轴原点对应的数是，不是，不符合； C、旗杆高度是长度，为非负数，不能为，不符合； D、参赛人数为非负整数，不能为，不符合． 考点二 相反意义的量 【典例精讲】正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 【答案】 【规范解答】解：存入银行元记作元， 从银行取出元记作元． 【变式训练1】我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入20元记作元，那么元表示（    ） A．支出100元 B．收入100元 C．支出20元 D．收入20元 【答案】A 【规范解答】解：∵由题意得，收入20元记作元，即收入用正数表示， ∴负数表示与收入意义相反的量，即支出， ∴元表示支出100元． 【变式训练2】两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作元，则元表示（  ） A．支出50元 B．支出150元 C．收入50元 D．收入150元 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了正数、负数的意义，掌握正数和负数表示相反的意义是解题的关键． 利用正数和负数表示相反的意义即可解答． 【规范解答】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出50元． 故选：A． 考点三 正负数的实际应用 【典例精讲】一袋大米包装上标有：，表示它最轻是（     ）kg． A． B．15 C． D．16 【答案】A 【思路引导】理解标注的含义，计算最轻质量即可得到答案． 【规范解答】解：∵的含义是：这袋大米的标准净重为，实际净重允许的范围是上下浮动，即最轻比少， ∴最轻质量为． 【变式训练1】如图是某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温为________． 【答案】 【规范解答】解：某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温是． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【思路引导】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）把所给的行程数据相加分析即可； （2）运算出总路程，再运算油费即可； （3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 考点四 有理数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 【答案】 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【思路引导】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【变式训练1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路引导】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果． 【规范解答】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数， 逐个判断得： 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数. 故有理数共5个，故选C． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【思路引导】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【规范解答】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 考点五 0的意义 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【规范解答】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路引导】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可． 【规范解答】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确； 小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确； 小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误； 小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确； 综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意． 【变式训练2】（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【规范解答】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 考点六 有理数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把下列各数填在相应集合里： 正数集合： 分数集合： 负整数集合： 【答案】正数集合：；分数集合：；负整数集合： 【思路引导】根据正数、分数和负整数的定义，将题目中给出的数值按题意分类． 【规范解答】解：题干中给出的数值中，正数有：；分数有：；负整数有：． 【变式训练1】下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【规范解答】是分数，是整数，其中5是正整数，0既不属于正数也不属于负数，是负整数． 【变式训练2】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）； 0.3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【思路引导】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 【规范解答】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 考点七 带“非”字的有理数 【典例精讲】（26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【答案】2 【规范解答】解：在，，0，这四个有理数中， 非负数有：，0共2个． 【变式训练1】把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{         } (2)分数集合：{            } (3)非负整数集合：{            } (4)非负有理数集合：{            } 【答案】(1) (2) (3)0，2005 (4) 【规范解答】（1）解：正数集合：； （2）解：分数集合：； （3）解：非负整数集合：； （4）解：非负有理数集合：． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 【答案】， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类逐个解答即可． 【规范解答】解：，，，， 整数：{， ， 0}； 负分数：{， }； 正有理数集：{， ， }； 非负整数集：{， 0} 故答案为：， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 【基础通关能力提升】 1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：，， 所以满足题意的范围是， 观察各选项，只有B符合题意．． 2．在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了负数的定义，根据负数的定义，判断给出的数中小于0的数，统计个数即可得到答案． 【规范解答】解：，是负数； 不是负数； ，是正数，不是负数； ，是负数. ∴负数共有2个． 3．下列各数中，属于负数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 【答案】B 【规范解答】解：A、，是正数，不符合要求； B、，是负数，符合要求； C、0既不是正数也不是负数，不符合要求； D、，是正数，不符合要求． 4．刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【思路引导】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【规范解答】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 5．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 【答案】 【思路引导】利用正负数表示一对相反意义的量，已知零上温度记为正，可推得零下温度的表示方法． 【规范解答】解：由题意得，零上温度记为正，则零下温度记为负， 最低气温为零下，因此最低气温记为． 6．某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【答案】29.92 【规范解答】解：由题意可得，该零件的实际直径为：． 7．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【思路引导】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【规范解答】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 8．把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 【答案】0，；，，；，，， 【规范解答】解：非正整数：{0，}； 负分数：{，，}； 负有理数：{，，，}． 9．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶ ． 正数：{_____________________________}； 负分数∶ {____________________________________} 负整数：{______________________}； 整数∶ {____________________________________} 【答案】；；； 【思路引导】根据有理数的分类解答即可． 【规范解答】解：正数：{}； 负分数∶ {}； 负整数：{}； 整数∶ {}． 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)具有相反意义，得20分记为分，扣10分记为分 (2)具有相反意义，增加记为，减少记为 (3)具有相反意义，下去10名记为名，上来8名记为名 (4)无相反意义 【思路引导】根据正负数的意义，相反意义的量的特点，逐项进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴它们是具有相反意义，得20分记为，扣10分记为． （2）解：∵蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴具有相反意义，增加记为，减少记为． （3）解：∵下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴具有相反意义．下去10名记为名，上来8名记为名； （4）解：∵周长是长度量，面积是面积量， ∴两者无相反方向含义，故无相反意义． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题与抽屉原理，分析整数的奇偶性并运用抽屉原理是解题的关键． 通过，b，的奇偶性进行分类讨论：①若，b，全为奇数或全为偶数；②若，b，既有奇数又有偶数，则必有两个数同为奇数或同为偶数；以此证明无论，b，的奇偶如何组合，代数式，，中至少有一个是整数，即可判断． 【规范解答】解：∵，b，是整数， ∴分两种情况讨论： ①若，b，全为奇数或全为偶数，则，，均为偶数， ∴，，均为整数. ②若，b，既有奇数又有偶数，根据抽屉原理，必有两个数同为奇数或同为偶数， 设这两数为和，则为偶数， ∴为整数，即三个代数式中至少有一个为整数； 综上，，，中至少有一个是整数． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【规范解答】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的分类．需要先对题目中给出的数进行化简，再根据非正有理数(即负有理数和0)的定义来判断这些数中非正有理数的个数． 【规范解答】解：是非正有理数； ，是负有理数，非正； ，是正有理数，不符合； 是无理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是负有理数，非正； 是有限小数，是有理数，且为负数，非正． 符合的非正有理数有：0、、、，共4个． 故选：C． 4．（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【思路引导】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【规范解答】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·福建福州·期中）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，通过模拟翻转过程，用表示杯口朝上，表示杯口朝下，从初始状态开始，逐步翻转，找到使所有杯口朝下的最少次数即可． 【规范解答】解：设杯口朝上用“”表示，杯口朝下用“”表示， 初始状态全部杯口朝上，即为6个， 第一次翻转任意4个，变为4个和2个，即状态为： ， 第二次翻转选择第2、3、4、5个杯子，翻转后状态为： ． 第三次翻转选择第2、3、4、6个杯子，翻转后状态为： ，即全部杯口朝下． ∴最少翻转3次就能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：3． 6．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）下列各数：，10，，，0，其中非正数共有_____个 【答案】4 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法即可得出答案，掌握有理数的分类方法是解题的关键． 【规范解答】解：， 非正数有，，0，，共个， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 【答案】，，，，；，，，，；，，，，；，，， 【思路引导】根据整数，分数，正数，负数的定义，把各数填入相应的集合里面即可． 【规范解答】解：整数集合：｛，，，，…｝ 分数集合：｛，，，，…｝ 正数集合：｛，，，，…｝ 负数集合：｛，，，…｝ 8．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了数字的分类（计数、测量、标号与排序）、整数与分数的概念，以及数在实际生活中的应用，熟练掌握数字的分类方法和整数、分数的定义是解题的关键． （1）先从题干描述中逐一提取出现的所有数字，再根据计数、测量、标号与排序的定义，对每个数字的用途进行判断和归类． （2）依据整数和分数的数学定义，对提取出的所有数字进行整数与分数的划分． （3）结合实际生活中的具体数学问题，举例说明仅用整数和分数无法满足需求，从而论证数系需要扩展． 【规范解答】（1）解：老师刚才描述中出现了：、、、、、、， 计数的有50，测量的有、、、、13岁、，没有属于标号与排序的数字； （2）解：按整数和分数分类：整数有、、、，分数有、、． （3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【思路引导】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【规范解答】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 10．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】此题考查数字的表示，理解题意是解题的关键． （1）根据图形的表示进行解答即可； （2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可； （3）根据图形的表示进行解答即可． 【规范解答】（1） 解：算筹所表示的数是3875． 故答案为：3875； （2） 解：用算筹表示下列各数： （3）解：用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $