2026-2027学年高一上学期必修一1.3.2 第2课时 基本不等式的应用新授课

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，涵盖求参数范围、实际问题最值等核心内容。通过复习基本不等式“一正二定三相等”条件导入，以例1参数恒成立问题、例2虎笼设计实际应用为载体，构建从理论到实践的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过题型探究（多解法如例2两种思路）、误区警示（例3错因分析）培养数学思维，归纳提升与课堂检测帮助学生用数学语言表达解决过程。既提升学生逻辑推理与模型构建能力，又为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

§3　不等式 3.2　基本不等式 第2课时　基本不等式的应用 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 利用基本不等式求参数范围  例 1 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax．将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式． 2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 基本不等式的实际应用  　　　　如图所示动物园要围成相同面积的长方形 虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围 成． (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 例 2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　(1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值． (2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值． [解析]　(1)设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18． 设每间虎笼面积为S，则S＝xy． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题 (1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域． (3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值． (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❷　如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？ 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 例 3 B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 基本不等式求最值 基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 例 4 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．已知x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为______． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2，80元/m2，那么水池的最低总造价为____________元． 1 760　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　　设a＞b＞c，且＋≥恒成立，求m的取值范围． [解析]　由a＞b＞c，得a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0． ∴原不等式等价于＋≥m． 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可． ∵＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝， 即2b＝a＋c时，等号成立， ∴m≤4，即m的取值范围为{m|m≤4}． 【对点练习】❶　若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是___________． 　 [解析]　因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥． 方法一：由于2x＋3y≥2＝2， 所以2≤18，得xy≤， 即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大． 方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y． 因为x＞0，所以9－y＞0，所以0＜y＜6，S＝xy＝(9－y)y＝(6－y)·y．因为0＜y＜6，所以6－y＞0，所以S≤·＝． 当且仅当6－y＝y即y＝3时等号成立，此时x＝4.5． 故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大． (2)由条件知S＝xy＝24． 设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y． 方法一：因为2x＋3y≥2＝2＝24， 所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48． 当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． 方法二：由xy＝24，得x＝． 所以l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48． 当且仅当＝y即y＝4时，等号成立，此时x＝6． 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． [解析]　设矩形广告牌的高为x cm，宽为y cm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，cm(x＞20，y＞25)，两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000， 由此得y＝＋25， ∴广告牌的面积S＝xy＝x＝＋25x， 整理得S＝＋25(x－20)＋18 500． ∵x－20＞0，∴S≥2＋18 500＝24 500． 当且仅当＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14 400， 解得x＝140，代入y＝＋25，得y＝175． 即当x＝140，y＝175时，S取得最小值为24 500． 故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌的面积最小． 易错问题——忽略等号成立的条件或等号成立的一致性 　　　　已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　) A．1＋　　　 B．3＋2 C．3　 D．4 [错解]　∵x＞0，y＞0， ∴1＝x＋2y≥2，∴8xy≤1． ∴xy≤，∴≥8． ∵＋≥2＝4． 故＋的最小值为4． [错因分析]　上述在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2，＋≥2，但这两次取等号的条件需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以等号取不到． [正解]　∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0， ∴＋＝(x＋2y)(＋)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当＝，即x＝y时，等号成立)． ∴x＝－1，y＝1－． 故当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2． 　　　　求函数y＝的最大值． [分析]　把看成一个整体→函数转化为用来表示→找出其内在的形式特点→用基本不等式来处理． [解析]　设t＝≥0，则x＝t2－2． 于是y＝(t≥0)． 当t＝0时，y＝0． 当t＞0时，y＝≤＝． 当且仅当2t＝， 即t＝时，y有最大值为． 由＝， 解得x＝－． 即x＝－，y有最大值为． 1．若x＞2，则x＋的最小值为 (　　) A．2　 B．4 C．6　 D．8 [解析]　令t＝x－2，则t＞0， x＋＝t＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当t＝，即t＝2，x＝4时， x＋(x＞2)的最小值为6． 2．设x＞0，y＞0，x＋y＝4，则＋的最小值为______． 　 [解析]　∵x＋y＝4，∴＋＝(x＋y)＝，又x＞0，y＞0，则＋≥2＝4(当且仅当＝时取等号)，则＋≥×(5＋4)＝． 　 [解析]　xy＝x·4y≤＝，当且仅当x＝4y＝时取等号． [解析]　设池底一边长为x m，总造价为y元． 则y＝4×120＋2×80＝320＋480(x＞0)． 因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝即x＝2时取等号，所以ymin＝480＋320×4＝1 760(元)． $