第3.1讲 椭圆（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

第3.1讲 椭圆 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求椭圆的标准方程 题型2曲线方程与椭圆 题型3 椭圆的几何性质 题型4 椭圆的离心率及范围 题型5 椭圆的焦点三角形 题型6 椭圆有关的轨迹问题 题型7 椭圆有关的最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 求椭圆的标准方程 根据焦点位置（x轴或y轴）设标准方程，利用已知条件（如过定点、焦距、关系）列方程组求参数。易错：焦点位置判断错误导致方程形式设反，或忽略a大于b大于0的隐含条件。 2. 曲线方程与椭圆 判断含参数的二次方程是否表示椭圆，需满足平方项系数同号且不相等，并化为标准形式验证分母为正。易错：漏掉系数相等时为圆，或未考虑方程右侧为1的标准化过程。 3. 椭圆的几何性质 考察范围（的取值边界）、对称性（关于轴和中心对称）、顶点坐标、长轴短轴长度、焦点坐标等。易错：混淆长轴与短轴对应的分母大小，或焦点的位置与方程形式对应错误。 4. 椭圆的离心率及范围 离心率反映椭圆扁平程度，范围在0到1之间。常考根据条件求离心率值，或利用不等式求离心率范围。易错：离心率与斜率概念混淆，或求范围时忽略a大于c的不等关系。 5. 椭圆的焦点三角形 椭圆上一点与两焦点构成三角形，常考利用定义（到两焦点距离之和为2a）结合余弦定理或勾股定理求角、面积、周长。易错：忽略三角形两边之和大于第三边，或面积公式中夹角的正弦值取错。 6. 椭圆有关的轨迹问题 利用椭圆定义（到两定点距离之和为定值）或代入法求动点轨迹。常需先判断轨迹形状是否为椭圆，再求标准方程。易错：未验证定值大于两焦点间距离（否则轨迹不存在或为线段）。 7. 椭圆有关的最值问题 常考椭圆上点到定点或定直线距离的最值，利用参数方程或几何性质（如切线位置）求解；或利用定义转化为焦点距离的最值。易错：最值点与焦点、顶点关系判断错误，或忽略椭圆范围的限制。 学习重点：掌握椭圆标准方程的两种形式及其适用条件（焦点在x轴或y轴）；理解a、b、c的几何意义及关系；熟练运用定义（到两焦点距离之和为常数）解决问题；掌握离心率的计算与几何意义。 学习难点：焦点三角形中定义与余弦定理的综合应用，面积与周长的推导容易出错；轨迹问题中定值条件与焦点距离的验证（确保椭圆存在）；最值问题中几何转化（如利用焦点性质或参数方程）与代数约束的结合分析；离心率范围问题中不等关系的建立与求解容易遗漏边界条件。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的定义和标准方程 1、椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 一般方程 3、椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果确定椭圆的焦点所在的坐标轴，直接可以设椭圆的标准方程，利用待定系数法求解. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题： 一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答； 二是用待定系数法设椭圆的一般方程为，再解答. 即时即练（2026·广东深圳·二模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】BD 【详解】对于A，若定点，满足，动点P满足 ， 则动点P的轨迹为以，为端点的线段，所以A选项不正确; 对于B，若定点，满足，动点M满足 ， 则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以B选项正确; 对于C，当 ，即时，方程表示圆，所以C选项不正确; 对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上. 其中，，可得，所以焦点坐标为，所以D选项正确. 【易错提醒】 1、椭圆定义中的必须大于，否则轨迹不存在或为线段。 2、对于椭圆的标准方程，哪一项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上。所以当焦点位置不确定时，可以设一般方程 知识点02 椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长半轴长，短半轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为. 离心率 椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁； 当e越接近于0时，c越接近于0，从而b越接近于a，因此椭圆越接近于圆； 第二定义 平面内动点与定点的距离和它到定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于常数的轨迹叫做椭圆。定点叫做椭圆的一个焦点，定直线叫做椭圆的一条准线，常数叫做椭圆的离心率。 准线方程 2、点和椭圆的位置关系 点与椭圆的位置关系的判断 ①点P在椭圆内 ②点P在椭圆上 ③点P在椭圆外 3、过椭圆上点的切线方程 ①对于过椭圆上一点P的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦点在轴上；焦点在轴上 ②过椭圆外一点，做椭圆的两条切线，则切点弦方程为焦点在轴上；焦点在轴上 ③椭圆 与直线 相切的条件是 即时即练（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 【答案】 【分析】延长交椭圆于点，则与关于原点对称，进而推得，由椭圆定义及勾股定理求得的长度，进一步求出点的坐标，代入椭圆方程化简可得离心率. 【详解】延长交椭圆于点，连接，由，可知， 由椭圆的对称性可知，，， 因为，所以，所以， 设，则，所以， 则，即，解得， 所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为， 则，所以，即， 由得，所以的离心率 知识点03 椭圆的焦点三角形 1、椭圆焦点三角形的面积 椭圆焦点为，，为椭圆上的点，，则， 当点的位置在短轴端点时，取得最大值，此时最大。的取值范围为 2、椭圆焦点三角形的周长： 3、设，，则椭圆的离心率 即时即练（25-26高二上·四川成都·期末）（多选）设为椭圆：上一动点，为左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．过的直线交于两点，则的周长为 B．的最大值为 C．存在点，使得为直角 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】先由椭圆方程求出，依托椭圆的定义逐一分析，选项A：利用椭圆的定义拆分三角形周长得；选项B：由焦点三角形面积公式结合纵坐标最大值求面积极值；选项C：通过短轴顶点处顶角最大，算出最大角为判定无直角；选项D：设焦半径，结合定义表示另一焦半径，构造函数，利用单调性求取值范围，最终确定正确选项． 【详解】由题可知，，， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，当为上下顶点时，最大值为，B错误； 对于C，当为上下顶点时，最大，此时，故这样的点不存在，C错误； 对于D，设（，即），则，所以， 是增函数， 因为，，所以的值域为， 即的取值范围为，D正确. 题型1求椭圆的标准方程 【例1】（25-26高三·全国·二轮复习）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．求的方程. 【答案】 【分析】根据椭圆性质可得 【详解】设，由题设有， 又点在椭圆上，故为通径端点， 所以，故，故，则， 故椭圆方程为. 【例2】（2026·河北保定·二模）（多选）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 【技巧归纳】 求椭圆标准方程，核心是确定焦点位置和求出。通常可以用定义法或者待定系数法。定义法注意的范围，待定系数法注意焦点位置。 【变式1-1】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 【变式1-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 【答案】 【详解】由题意，得，解得， 则椭圆方程为. 题型2曲线方程与椭圆 【例1】（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 【例2】（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 【技巧归纳】 判断方程是否表示椭圆，需满足。若等式右边不是1，先化为标准形式；若含有参数，则需讨论参数范围确保上述条件成立。注意若则轨迹为圆（非椭圆）。 【变式2-1】（25-26高三·全国·一轮复习）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 题型3 椭圆的几何性质 【例1】（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C 【例2】（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 【技巧归纳】 椭圆的几何性质聚焦于范围、对称性、顶点、离心率，核心是熟记关系及离心率 。 【变式3-1】（2026·江苏无锡·三模）已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质求出所在直线方程，利用角平分线性质，利用到角公式得出，设，得出，设过的直线，联立椭圆方程，结合韦达定理求出，进而求出直线的方程． 【详解】 椭圆中， 左焦点，上顶点, 直线斜率，方程为， 已知为的角平分线，由到角公式： ，则，故， 设，则， ，即， 设过的直线， 联立椭圆方程，代入整理得， 由韦达定理得， ， 则， 整理得，解得或， 当时，直线与重合，与椭圆交点包含点，不符合题意，舍去； 故， ，整理得． 【变式3-2】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B． C．直线的斜率为 D． 【答案】ABC 【详解】对于A，根据椭圆的对称性可知，，，故四边形为平行四边形，故A正确； 对于B，根据椭圆的性质，当在上下顶点时，．此时． 由题意可知不可能在上下顶点，故，故B正确； 对于C，如图，不妨设在第一象限，则直线的斜率为，故C正确； 对于D，． 又，故．故D错误. 题型4 椭圆的离心率及范围 【例1】（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知分别为轴和轴上的点，点在线段的延长线上，且．当运动时，记点的轨迹为曲线，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程，进而求出离心率. 【详解】设，，，由题意可得， 又，，所以，即. 因为，所以，代入化简可得：. 即点的轨迹方程：. 由方程可知的轨迹为椭圆，其中，，. 所以离心率为. 故选：C 【例2】（2026·重庆江津·三模）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用椭圆的定义得到线段之间的关系，再结合余弦定理建立关于的方程，进而求出离心率. 【详解】设，所以，故，，则 在中，， 即， 化简为，解得：， 在中，根据余弦定理，， 即，化简为 两边同时除以得：，则离心率.    【技巧归纳】 求离心率，核心是利用已知条件建立的齐次方程（如边长关系、角度、焦点三角形等），转化为关于e的方程求解。求范围时，根据椭圆的几何约束建立不等式。注意当涉及焦点三角形时，利用定义和余弦定理可建立等量关系 【变式4-1】（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ， 因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以 【变式4-2】（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】，或，或 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】显然有：. 不能占有两个焦点.［否则为等腰三角形，或不存在］ 、、不能占有上、下顶点.［否则为等腰三角形］ 中，一者是焦点，另一者是右顶点，第三者是上顶点或下顶点. 考虑到椭圆的对称性，设、、中，有一者是上顶点. （1）当、、中，有一者是左焦点时，如图1. 显然有：. 点就是点. ①当点为点，点为点时， 有：， 不合理，舍去. ②当点为点，点为点时， 有:. （2）当、、中，有一者是右焦点时，如图2. 此时是针角，点就是点. ③当点为点，点为点时， 有:. ④当点为点，点为点时，有：. 综上①②③④，得：椭圆的离心率是，或，或. 题型5 椭圆的焦点三角形 【例1】（25-26高二下·贵州·阶段检测）（多选）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（     ） A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 【答案】ABD 【分析】由离心率求得，然后根据椭圆的性质判断各选项，注意选项D中，当为短轴端点时，最大. 【详解】对A，由题意，    解得，A正确； 对B，由题意，的周长为，B正确； 对C，的最大值为，C错； 对D，当为短轴端点时，，此时，D正确. 【例2】（2026·吉林·三模）（多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】由题意得，，故的周长为，故A正确， 当的面积为时，有，即，故B错误， 周长为, 当三点共线，在之间时的周长最小，此时, 故周长的最小值为，故C正确， 直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 则，解得， 当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即， 故面积的最大值为，故D正确. 【技巧归纳】 椭圆焦点三角形（为椭圆上一点， ​为焦点）的核心是利用定义和余弦定理建立边角关系。常见问题如面积、顶角范围等，常结合基本不等式和离心率范围求解。注意焦点三角形面积公式可快速求解，但需注意顶点不能在长轴端点（否则退化为线段）。 【变式5-1】（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 【变式5-2】（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）点在椭圆的第一象限部分运动．以为对角线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中为坐标原点．设该矩形的面积为，周长为．则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为 C．当取得最大值时， D．满足的点有且仅有两个 【答案】ABD 【分析】利用三角换元，令，，，将椭圆上的点用三角形式表示，转化为三角函数的最值问题，再逐一判断各选项. 【详解】点在椭圆的第一象限部分运动，所以可令，，． 矩形面积为，因此，所以A正确； 矩形周长为，（其中且为锐角）， 当时，取最大值，所以B正确； 当取得最大值时，，所以． 此时，，于是， 故，所以C错误； 若，则，在内有两个解，因此满足条件的点有且仅有两个．所以D正确． 题型6 椭圆有关的轨迹问题 【例1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两圆方程化成标准方程，求出两圆的圆心和半径；然后根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，由此可判断圆心的轨迹为椭圆；求出长半轴长和短半轴长即可得到动圆圆心的轨迹方程. 【详解】依题意，，圆心为，半径为，，圆心为，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以； 所以圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，所以椭圆的短半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【例2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 由，可得， 因为线段的垂直平分线交线段于点，可得， 则， 结合椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 【技巧归纳】 椭圆轨迹问题，若动点满足到两定点距离之和为常数（大于两点间距），直接用定义求方程；若条件较复杂，用相关点法（设动点坐标，利用已知点与动点关系代入已知曲线）或直接法（设动点坐标，直接翻译几何条件列方程）。注意排除不符合椭圆定义的点（如常数等于焦距时轨迹为线段），并验证轨迹的完备性。 【变式6-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解． 【详解】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A． 【变式6-2】（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知异面直线、成，其公垂线段为，，长为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内，过点分别作，，使得，以点为坐标原点，直线为轴，平面内的角平分线为轴，平面过点且垂直于轴的直线为轴建立空间直角坐标系，设出点、的坐标，并设线段中点的坐标为，再结合以及空间中两点间的距离公式化简可得结果. 【详解】设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内， 因为异面直线、成，过点分别作，，使得， 以点为坐标原点，直线为轴，平面内的角平分线为轴， 平面过点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，直线、所成角为， 则直线的一个方向向量可以为， 直线的一个方向向量可以为，且、. 由题意可知，存在、，使得， ， 所以，即点， ，即点， 设线段的中点为， 则，所以， 因为， 即，化简得， 故线段的中点的轨迹为椭圆. 题型7 椭圆有关的最值问题 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用换元法，设，然后由两点间距离公式计算，结合二次函数和余弦函数的性质求得最小值． 【详解】设，则 ， 所以时，． 【例2】（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【分析】结合椭圆的第二定义，将问题转换成椭圆上的点到定点和左准线的距离和问题即可求解. 【详解】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 【技巧归纳】 椭圆最值问题常用三种方法：①几何法（利用椭圆定义、将军饮马构造对称关系，三角形不等式来找线段和差的最值问题。）；②参数方程法（设，转化为三角函数求最值）；③不等式法（如基本不等式、二次函数配方法）。注意关注变量取值范围（如椭圆上点坐标的界限）及取等条件验证。 【变式7-1】（2026·广西崇左·一模）（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【答案】BD 【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可. 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 【变式7-2】（2026·河南南阳·三模）已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记曲线的焦点为，则的最小值是_____ 【答案】 【分析】根据题意，求得，根据旋转前后的关系，设点对应旋转前的点，则关于原点对称，且对应旋转前的点，由椭圆的定义，得到，再设，得到，根据，结合基本不等式，即可求解. 【详解】曲线关于以及对称， 如图（1）所示，联立方程组 ，解得， 所以，同理b=. 又因为，可得点关于原点对称， 设点对应旋转前的点，则关于原点对称，且对应旋转前的点， 再设椭圆的另一个焦点为， 如图（2）所示，分别连接， 根据椭圆的对称性，可得， 由椭圆的定义，可得，即， 设，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，即的最小值是. 1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知椭圆过点，求椭圆的方程. 【答案】 【分析】将点的坐标代入椭圆联立方程组即可求解. 【详解】将点代入椭圆方程， 得，化简为， 设，则， 解方程组得，即， 所以椭圆的方程为. 2．（25-26高三上·江西抚州·期末）如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的切线方程，根据椭圆的光学性质可得关于直线l对称点在直线上，利用斜率相等计算，再由点在椭圆上，求解即可. 【详解】如图，    由可知圆心， 因为椭圆E与圆C相切于A， 所以它们在点A处有相同的切线l， 因为，所以， 即切线的方程为， 所以l的方程为， 由椭圆的光学性质知， 所以关于直线l对称点在直线上， 所以，即， 所以，所以①， 而椭圆过点A，所以②， 联立①②得，则的方程为. 故选：D 3．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 4．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义确定的周长为，进而可求解. 【详解】 设椭圆的长半轴为，半焦距为，由题意得， 设椭圆左焦点为​，原点是的中点， 因为是中点，是中点，所以是 的中位线， 得： ， ， ， 所以的周长为 由椭圆定义， ， 故的周长为 ，得，椭圆的焦距为. 5．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 6． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）如图，一张半径为的圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线PE相交于点，为的中点，，在折痕上的投影分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A项：利用折叠性质直接得到；B项，通过中位线定理与全等转化，证明T为MN中点；C项，结合椭圆Q轨迹方程，推导；D项：用极化恒等式与不等式缩放证明.. 【详解】对于A，由折叠性质可知，折痕是线段的垂直平分线，因此，A错误； 对于B，在中，，分别为的中点，故， 如图，延长，交于点， 则有，，故，B正确； 对于C，设，，， 则，，则， 由于点的轨迹为椭圆，设椭圆长半轴长、短半轴长、半焦距分别为，，， 则在中，， 化简得，即， 所以，C正确； 对于D，设的中点为，则有 ，故，D正确. 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算用点的坐标表示出点的坐标，再利用给定线段长求出方程. 【详解】设点，由，得， 则，而线段长为3，即，因此， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A 9．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）设椭圆的左､右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的焦点为，所以的右焦点，左焦点， 因为点在的外部，所以，可得， 则的离心率， 因为点是上的动点，所以， 故恒成立可转换为恒成立， ，当且仅当点为射线与在第四象限的交点时取等号， 所以，故， 因此的离心率的取值范围是. 10．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组，求得，得到，根据，求得，进而得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，不妨设， 联立方程组，解得，则， 因为，所以，即， 可得，所以，所以， 故椭圆的离心率的取值范围是． 11．（2026·广东肇庆·二模）（多选）已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．的最小值为 C． D．存在点，使得 【答案】BCD 【分析】设的左焦点为，利用对称性，如，，取具体的点验证是否有判断A，利用椭圆上点到焦点距离的最值判断B，结合椭圆定义判断C，设，由求出判断D. 【详解】对于选项A，由题意得，如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知且，则，由，取点，得，故A错误； 对于选项B，因为为线段的中点，所以，因为的最小值为，所以的最小值为，即，故B正确； 对于选项C，因为分别为线段的中点，所以，由椭圆的定义知，故C正确； 对于选项D，设，则，且，由，得，所以.，若，则，此时，故存在点，使得，故D正确. 32． 12．（2026·江苏南京·模拟预测）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，求出，由于，根据二次函数的性质分类讨论求得的最大值，并由得出关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】由已知，设，则，又，， 所以， 因为，所以， 当，即时，时，，即满足题意， 此时由得，，， 当，即时，时，， 由题意，， ，， ，，， 又，即， 所以， 综上，的范围是,即. 13．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆：，点，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则的值不可能是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】记椭圆的上顶点为，根据结合直角三角形中三角函数的定义即可求解. 【详解】由题知，的最大值要大于等于，记椭圆的上顶点为，易知， 则，又因为，则，，而， 所以，故的值不可能是. 14．（2026·河南南阳·二模）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 15．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）（多选）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，点在椭圆内，点在椭圆上，则（） A．的最小值为 B．椭圆C的离心率的取值范围是 C．存在点N使得 D．当椭圆C的离心率为时，的最大值为 【答案】ABC 【分析】A选项利用椭圆的定义及基本不等式，将目标式变形后求最小值；B选项根据点在椭圆内建立不等式，结合离心率定义求解范围；C选项分析焦点三角形顶角的最大值位置，判断给定角度是否存在；D选项结合离心率确定椭圆方程，利用椭圆的定义和三角形不等式求最值. 【详解】∵点在椭圆上，∴， ， 当且仅当时，即时等号成立，A选项正确； ∵点在椭圆内，∴，即， 解得， 所以椭圆C的离心率的取值范围是，B选项正确； 当点位于椭圆上下顶点时，最大， 此时， 存在，C选项正确； ∵由，， ，D选项错误. 故选：ABC 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.1讲 椭圆 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求椭圆的标准方程 题型2曲线方程与椭圆 题型3 椭圆的几何性质 题型4 椭圆的离心率及范围 题型5 椭圆的焦点三角形 题型6 椭圆有关的轨迹问题 题型7 椭圆有关的最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 求椭圆的标准方程 根据焦点位置（x轴或y轴）设标准方程，利用已知条件（如过定点、焦距、关系）列方程组求参数。易错：焦点位置判断错误导致方程形式设反，或忽略a大于b大于0的隐含条件。 2. 曲线方程与椭圆 判断含参数的二次方程是否表示椭圆，需满足平方项系数同号且不相等，并化为标准形式验证分母为正。易错：漏掉系数相等时为圆，或未考虑方程右侧为1的标准化过程。 3. 椭圆的几何性质 考察范围（的取值边界）、对称性（关于轴和中心对称）、顶点坐标、长轴短轴长度、焦点坐标等。易错：混淆长轴与短轴对应的分母大小，或焦点的位置与方程形式对应错误。 4. 椭圆的离心率及范围 离心率反映椭圆扁平程度，范围在0到1之间。常考根据条件求离心率值，或利用不等式求离心率范围。易错：离心率与斜率概念混淆，或求范围时忽略a大于c的不等关系。 5. 椭圆的焦点三角形 椭圆上一点与两焦点构成三角形，常考利用定义（到两焦点距离之和为2a）结合余弦定理或勾股定理求角、面积、周长。易错：忽略三角形两边之和大于第三边，或面积公式中夹角的正弦值取错。 6. 椭圆有关的轨迹问题 利用椭圆定义（到两定点距离之和为定值）或代入法求动点轨迹。常需先判断轨迹形状是否为椭圆，再求标准方程。易错：未验证定值大于两焦点间距离（否则轨迹不存在或为线段）。 7. 椭圆有关的最值问题 常考椭圆上点到定点或定直线距离的最值，利用参数方程或几何性质（如切线位置）求解；或利用定义转化为焦点距离的最值。易错：最值点与焦点、顶点关系判断错误，或忽略椭圆范围的限制。 学习重点：掌握椭圆标准方程的两种形式及其适用条件（焦点在x轴或y轴）；理解a、b、c的几何意义及关系；熟练运用定义（到两焦点距离之和为常数）解决问题；掌握离心率的计算与几何意义。 学习难点：焦点三角形中定义与余弦定理的综合应用，面积与周长的推导容易出错；轨迹问题中定值条件与焦点距离的验证（确保椭圆存在）；最值问题中几何转化（如利用焦点性质或参数方程）与代数约束的结合分析；离心率范围问题中不等关系的建立与求解容易遗漏边界条件。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的定义和标准方程 1、椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 一般方程 3、椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果确定椭圆的焦点所在的坐标轴，直接可以设椭圆的标准方程，利用待定系数法求解. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题： 一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答； 二是用待定系数法设椭圆的一般方程为，再解答. 即时即练（2026·广东深圳·二模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【易错提醒】 1、椭圆定义中的必须大于，否则轨迹不存在或为线段。 2、对于椭圆的标准方程，哪一项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上。所以当焦点位置不确定时，可以设一般方程 知识点02 椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长半轴长，短半轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为. 离心率 椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁； 当e越接近于0时，c越接近于0，从而b越接近于a，因此椭圆越接近于圆； 第二定义 平面内动点与定点的距离和它到定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于常数的轨迹叫做椭圆。定点叫做椭圆的一个焦点，定直线叫做椭圆的一条准线，常数叫做椭圆的离心率。 准线方程 2、点和椭圆的位置关系 点与椭圆的位置关系的判断 ①点P在椭圆内 ②点P在椭圆上 ③点P在椭圆外 3、过椭圆上点的切线方程 ①对于过椭圆上一点P的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦点在轴上；焦点在轴上 ②过椭圆外一点，做椭圆的两条切线，则切点弦方程为焦点在轴上；焦点在轴上 ③椭圆 与直线 相切的条件是 即时即练（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 知识点03 椭圆的焦点三角形 1、椭圆焦点三角形的面积 椭圆焦点为，，为椭圆上的点，，则， 当点的位置在短轴端点时，取得最大值，此时最大。的取值范围为 2、椭圆焦点三角形的周长： 3、设，，则椭圆的离心率 即时即练（25-26高二上·四川成都·期末）（多选）设为椭圆：上一动点，为左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．过的直线交于两点，则的周长为 B．的最大值为 C．存在点，使得为直角 D．的取值范围为 题型1求椭圆的标准方程 【例1】（25-26高三·全国·二轮复习）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．求的方程. 【例2】（2026·河北保定·二模）（多选）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 求椭圆标准方程，核心是确定焦点位置和求出。通常可以用定义法或者待定系数法。定义法注意的范围，待定系数法注意焦点位置。 【变式1-1】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 题型2曲线方程与椭圆 【例1】（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【例2】（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【技巧归纳】 判断方程是否表示椭圆，需满足。若等式右边不是1，先化为标准形式；若含有参数，则需讨论参数范围确保上述条件成立。注意若则轨迹为圆（非椭圆）。 【变式2-1】（25-26高三·全国·一轮复习）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 题型3 椭圆的几何性质 【例1】（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【例2】（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 椭圆的几何性质聚焦于范围、对称性、顶点、离心率，核心是熟记关系及离心率 。 【变式3-1】（2026·江苏无锡·三模）已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B． C．直线的斜率为 D． 题型4 椭圆的离心率及范围 【例1】（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知分别为轴和轴上的点，点在线段的延长线上，且．当运动时，记点的轨迹为曲线，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·重庆江津·三模）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 求离心率，核心是利用已知条件建立的齐次方程（如边长关系、角度、焦点三角形等），转化为关于e的方程求解。求范围时，根据椭圆的几何约束建立不等式。注意当涉及焦点三角形时，利用定义和余弦定理可建立等量关系 【变式4-1】（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 题型5 椭圆的焦点三角形 【例1】（25-26高二下·贵州·阶段检测）（多选）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（     ） A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 【例2】（2026·吉林·三模）（多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 【技巧归纳】 椭圆焦点三角形（为椭圆上一点， ​为焦点）的核心是利用定义和余弦定理建立边角关系。常见问题如面积、顶角范围等，常结合基本不等式和离心率范围求解。注意焦点三角形面积公式可快速求解，但需注意顶点不能在长轴端点（否则退化为线段）。 【变式5-1】（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式5-2】（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）点在椭圆的第一象限部分运动．以为对角线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中为坐标原点．设该矩形的面积为，周长为．则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为 C．当取得最大值时， D．满足的点有且仅有两个 题型6 椭圆有关的轨迹问题 【例1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 【技巧归纳】 椭圆轨迹问题，若动点满足到两定点距离之和为常数（大于两点间距），直接用定义求方程；若条件较复杂，用相关点法（设动点坐标，利用已知点与动点关系代入已知曲线）或直接法（设动点坐标，直接翻译几何条件列方程）。注意排除不符合椭圆定义的点（如常数等于焦距时轨迹为线段），并验证轨迹的完备性。 【变式6-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知异面直线、成，其公垂线段为，，长为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 题型7 椭圆有关的最值问题 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【技巧归纳】 椭圆最值问题常用三种方法：①几何法（利用椭圆定义、将军饮马构造对称关系，三角形不等式来找线段和差的最值问题。）；②参数方程法（设，转化为三角函数求最值）；③不等式法（如基本不等式、二次函数配方法）。注意关注变量取值范围（如椭圆上点坐标的界限）及取等条件验证。 【变式7-1】（2026·广西崇左·一模）（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【变式7-2】（2026·河南南阳·三模）已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记曲线的焦点为，则的最小值是_____ 1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知椭圆过点，求椭圆的方程. 2．（25-26高三上·江西抚州·期末）如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 6． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）如图，一张半径为的圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线PE相交于点，为的中点，，在折痕上的投影分别为，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）设椭圆的左､右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广东肇庆·二模）（多选）已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．的最小值为 C． D．存在点，使得 32． 12．（2026·江苏南京·模拟预测）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 13．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆：，点，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则的值不可能是（    ） A． B． C．3 D． 14．（2026·河南南阳·二模）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 15．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）（多选）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，点在椭圆内，点在椭圆上，则（） A．的最小值为 B．椭圆C的离心率的取值范围是 C．存在点N使得 D．当椭圆C的离心率为时，的最大值为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $