第13讲 双曲线（十大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第13讲 双曲线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2、掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）． 3、了解双曲线的简单应用． 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 考点一：双曲线的定义、条件 【典例1-1】（2024·高二·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·全国·专题练习）相距千米的，两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒千米，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（　　） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【变式1-1】（2024·高二·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式1-2】（2024·高二·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 考点二：求双曲线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 【典例2-2】（2024·高二·上海·期末）以点为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是 ． 【变式2-1】（2024·高二·广东深圳·期末）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 . 【变式2-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知标准方程的双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为 ． 【变式2-3】（2024·高二·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过两点； (2)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 【变式2-4】（2024·高二·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等； (2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）． 考点三：双曲线的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【典例3-2】（2024·高三·上海静安·期末）已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 【变式3-1】（2024·高二·广东河源·期末）已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为. (1)求的标准方程； (2)若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积. ①关于原点对称；②关于轴对称. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式3-2】（2024·高二·全国·期中）已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 考点四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·河南南阳·期中）（1）已知圆，，动圆与圆，均外切，求圆心的轨迹方程 （2）已知点是圆上的动点，过点作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 【变式4-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知、两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程． (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 考点五：双曲线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·福建泉州·阶段练习）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则下列结论中正确的是（    ） A．的实轴长为 B．的虚轴长为 C．的渐近线方程为 D．的离心率为2 【典例5-2】（多选题）（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 【变式5-2】（多选题）（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为 C．的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·湖南·开学考试）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4 C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆 D．当或时，曲线表示的图形是双曲线 考点六：求双曲线的离心率 【典例6-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·高二·河南·阶段练习）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这个值称为黄金分割数，已知双曲线的虚轴长与实轴长的比值恰好是黄金分割数，设的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·全国·二模）如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式6-3】（2024·高二·北京平谷·期末）已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上一点满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点七：求双曲线离心率的取值范围 【典例7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点，，，为与在第一象限的交点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·高二·浙江·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高二·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·高二·江苏南京·期末）已知圆的一条切线与双曲线C：（，）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点八：由双曲线离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2024·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________ 【典例8-2】（2024·全国·高二专题练习）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________. 【变式8-1】（2024·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________. 【变式8-2】（2024·高二课时练习）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________. 【变式8-3】（2024·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______. 考点九：双曲线中的范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【典例9-2】（2024·高二·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 【变式9-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为 【变式9-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【变式9-3】（2024·高二·北京·期中）已知点，，，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为 . 考点十：焦点三角形 【典例10-1】（2024·高二·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【典例10-2】（2024·高二·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【变式10-1】（2024·高二·湖南永州·开学考试）点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为 ． 【变式10-2】（2024·高二·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【变式10-3】（2024·高二·福建福州·阶段练习）双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，若双曲线的焦距为4，则其实轴长为 . 【变式10-4】（2024·高二·山东泰安·阶段练习）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 1．（2024·高二·宁夏石嘴山·期末）若复数z满足，则复数z在复平面内对应点的轨迹是（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 2．（2024·高二·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 3．（2024·高二·甘肃白银·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2024·高二·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（    ） A．存在m，使C表示圆 B．当时，则C的渐近线方程为 C．当时，则C的焦点是， D．当C表示双曲线时，则或 6．（多选题）（2024·高二·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 7．（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 8．（2024·高二·辽宁朝阳·阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ． 9．（2024·高二·湖北咸宁·期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为 . 10．（2024·高二·山西晋中·期中）已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为 . 11．（2024·高二·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ． 12．（2024·高二·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 . 13．（2024·高二·河南·阶段练习）已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 . 14．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点，则的最小值为 . 15．（2024·重庆·二模）已知双曲线：的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则周长最小值为 ． 16．（2024·高二·浙江温州·期末）已知是双曲线；右支上的任意一点，是双曲线的右焦点，定点的坐标为，则的最小值为 17．（2024·高二·河北邯郸·阶段练习）如图从双曲线（其中）的左焦点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于，若为线段的中点，为原点，则的值为用、表示 ． 18．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程 19．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式. (1)求线段的长度； (2)求顶点的轨迹方程. 20．（2024·高二·黑龙江鸡西·期中）已知圆，圆． (1)证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程； (2)已知点，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形． 21．（2024·高二·全国·专题练习）完成下列问题： (1)已知双曲线中心在原点，该双曲线过点，且渐近线方程为，求该双曲线的方程. (2)已知圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程. 22．（2024·高二·陕西榆林·开学考试）已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 23．（2024·高二·青海西宁·期中）已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 24．（2024·高二·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 25．（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 26．（2024·高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 双曲线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2、掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）． 3、了解双曲线的简单应用． 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 考点一：双曲线的定义、条件 【典例1-1】（2024·高二·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆； 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·全国·专题练习）相距千米的，两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒千米，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（　　） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【答案】B 【解析】由已知可得:，根据双曲线的定义可知，点在以，为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点的轨迹可能是双曲线. 故选：B 【变式1-1】（2024·高二·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为P为双曲线右支上一点，所以. 故选：B. 【变式1-2】（2024·高二·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 【答案】C 【解析】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 考点二：求双曲线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【解析】设双曲线的方程为， 由题意可得：，解得， 所以双曲线的标准方程是. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高二·上海·期末）以点为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，为其焦点， 所以双曲线的焦点在上，可设双曲线的方程为， 则，因为为其焦点， 所以， 所以，故双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式2-1】（2024·高二·广东深圳·期末）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 . 【答案】 【解析】由题意，所求双曲线为等轴双曲线，可得双曲线的方程为， 因为所求双曲线过点，可得，解得， 所以，所求双曲线的方程为. 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知标准方程的双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】依题意，标准方程的双曲线的渐近线方程为， 设双曲线方程为，由双曲线过点，得， 所以双曲线的方程为，即. 故答案为： 【变式2-3】（2024·高二·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过两点； (2)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 【解析】（1）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得,解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 【变式2-4】（2024·高二·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等； (2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）． 【解析】（1）过点（2，0），可知所求双曲线的焦点在x轴上，且a＝2， 因为所求双曲线与双曲线1的离心率相等； 所以e，解得c，所以b1， 所以双曲线方程为1． （2）与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）， 则可设所求双曲线的方程为k（）， 把点M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2． 所以所求双曲线的标准方程为1． 考点三：双曲线的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 【典例3-2】（2024·高三·上海静安·期末）已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 【解析】（1）直线的方程为． 由方程组得． 设,则， ． （2）设点，则点的坐标为． ，， ． 因为，所以． 【变式3-1】（2024·高二·广东河源·期末）已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为. (1)求的标准方程； (2)若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积. ①关于原点对称；②关于轴对称. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）由题意得的一条渐近线的方程为，故， 又，解得， 故的标准方程为； （2）若选①，关于原点对称， 由题意得，，， 故， 则， 若选②，关于轴对称， 由题意得，，， 故， 则， 【变式3-2】（2024·高二·全国·期中）已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【解析】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 考点四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·河南南阳·期中）（1）已知圆，，动圆与圆，均外切，求圆心的轨迹方程 （2）已知点是圆上的动点，过点作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程 【解析】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设动圆半径为， 由条件可得，即， 则根据双曲线的定义可知，点是以，为左右焦点，以2为实轴长的双曲线的右支， 则，，可得，所以曲线的方程为． （2）设，，则， 因为，则， 则，可得，解得，即． 因为点在圆上，则，即， 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 【解析】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即， 于是，即，整理得， 所以动点M的轨迹方程. 【变式4-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程． 【解析】因为，所以根据双曲线的定义可知， 一定在1，2且焦点在x轴上的双曲线的右支上，则， 这就是说，点P的坐标一定满足． 另一方面，由可知，因此P的横坐标要大于零， 从而可知P的轨迹方程为． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知、两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程． (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）因为、，则， 又， 所以点的轨迹是轴上以为端点向右的一条射线，则轨迹方程为（）. （2）因为， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以轨迹方程为（）. （3）因为， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且、， 所以， 所以轨迹方程为. 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【解析】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为. （3）设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为. 考点五：双曲线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·福建泉州·阶段练习）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则下列结论中正确的是（    ） A．的实轴长为 B．的虚轴长为 C．的渐近线方程为 D．的离心率为2 【答案】AC 【解析】不妨设，设该渐近线方程为，即， 设与该渐近线的交点为，则到该渐近线的距离， 又，，又直线与圆相切，， 设另外一个焦点为，则，， 又，，，又，， 双曲线的实轴长为，虚轴长为，A选项正确，B选项错误； 渐近线方程为，离心率为，C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 【典例5-2】（多选题）（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【解析】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 【答案】AC 【解析】对于A中，根据双曲线的标准方程的形式，可判定A正确； 对于B中，由双曲线的几何性质，可得的焦点到其渐近线的距离为，的焦点到其渐近线的距离为，所以B错误； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由（不是定值），当且仅当时，等号成立，所以D错误． 故选：AC 【变式5-2】（多选题）（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为 C．的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于 【答案】AD 【解析】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误； 对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确. 故选：AD 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·湖南·开学考试）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4 C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆 D．当或时，曲线表示的图形是双曲线 【答案】AD 【解析】对于A，当时，曲线方程为， 所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，当时，曲线方程为， 所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为，故B错误； 对于C，当时，曲线表示的图形是一个方程为的圆，故C错误； 对于D，当或时，， 所以曲线表示的图形为双曲线，故D正确. 故选：AD 考点六：求双曲线的离心率 【典例6-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的渐近线方程为， 由点在双曲线的一条渐近线上，得，解得， 所以的离心率. 故选：C 【典例6-2】（2024·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 【变式6-1】（2024·高二·河南·阶段练习）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这个值称为黄金分割数，已知双曲线的虚轴长与实轴长的比值恰好是黄金分割数，设的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，则. 故选：A. 【变式6-2】（2024·全国·二模）如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】依题意，由对称性知，四边形是等腰梯形，过作于，连接， 则，， 在中，, 所以与的离心率之积为. 故选：C 【变式6-3】（2024·高二·北京平谷·期末）已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上一点满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为双曲线的焦点分别为、，， 所以，故， 又因为双曲线上一点满足，所以，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 考点七：求双曲线离心率的取值范围 【典例7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点，，，为与在第一象限的交点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆方程为： ，由题意有： ， 设双曲线方程为 ，同理可得 , 由 有：. 本题选择C选项. 【典例7-2】（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的半焦距为， 离心率为， 由，则，， 因为是的平分线， 所以, 又因为， 所以， 所以，解得，即， 所以双曲线的离心率取值范围为. 故选：B 【变式7-1】（2024·高二·浙江·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知双曲线左支上存在点使得， 设，则 ，等号成立当且仅当点与双曲线的左顶点重合， 从而双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为， 故，即，故， 即离心率的取值范围为. 故选：B 【变式7-2】（2024·高二·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，有，即，由， 得，所以，即的取值范围是. 故选：B 【变式7-3】（2024·高二·江苏南京·期末）已知圆的一条切线与双曲线C：（，）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得圆心，半径， 则圆心到切线的距离， 解得：，所以切线方程为， 因为与双曲线有两个交点， 所以，所以， 即双曲线的离心率的取值范围为. 故选：A. 考点八：由双曲线离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2024·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】因为表示双曲线的方程， 所以有，因此， 因为， 所以由 ， 即k的取值范围为， 故答案为：. 【典例8-2】（2024·全国·高二专题练习）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________. 【答案】 【解析】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，， 所以，，解得. 故答案为：. 【变式8-1】（2024·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，所以，解得， 则，故虚轴长. 故答案为：. 【变式8-2】（2024·高二课时练习）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________. 【答案】 【解析】由题意，社区向的中心在坐标原点，离心率为，且焦点在y轴上， 可得＝，则＝＝，整理得＝，解得＝， 所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【变式8-3】（2024·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______. 【答案】3 【解析】由题意，双曲线的离心率为2， 即，解得， 所以双曲线的一条渐近线的方程为，即， 所以点到的渐近线的距离为. 考点九：双曲线中的范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值. 故答案为：. 【典例9-2】（2024·高二·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】 由双曲线方程知：，，，则，， 由双曲线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， 又，. 故答案为：. 【变式9-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为 【答案】. 【解析】由双曲线，可得，则， 如图所示，设点的坐标为，则点是双曲线的焦点， 根据双曲线的定义，可得， 所以， 又由是圆上的点，圆的圆心为，半径为， 所以，所以， 当点在线段上时，取得等号，即的最小值为. 故答案为：. 【变式9-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】9 【解析】，，，则 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，半径分别为， 所以， 则 ， 故答案为：9 【变式9-3】（2024·高二·北京·期中）已知点，，，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为 . 【答案】4 【解析】点，，且动点M到A的距离比到B的距离多2， 所以， 故动点M的轨迹为双曲线右侧一支， 则动点M到B，C两点的距离之和， 当且仅当M，A，C三点共线时取等号， 所以动点M到B，C两点的距离之和的最小值为4. 故答案为：4. 考点十：焦点三角形 【典例10-1】（2024·高二·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【解析】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 【典例10-2】（2024·高二·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【答案】/ 【解析】 由可得：，如图，设则①， 在中，由余弦定理，，即：② 由①②联立，解得：. 则三角形的面积为. 故答案为：. 【变式10-1】（2024·高二·湖南永州·开学考试）点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为 ． 【答案】 【解析】结合题意可得：双曲线的实半轴长，半焦距， 有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为：. 【变式10-2】（2024·高二·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【答案】 【解析】由题意， 在双曲线中，， ∴，， 由余弦定理的推论可得， 所以， 所以，， 所以，所以， 所以的周长为． 故答案为：. 【变式10-3】（2024·高二·福建福州·阶段练习）双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，若双曲线的焦距为4，则其实轴长为 . 【答案】 【解析】设双曲线的右焦点为，因为，焦距为4， 所以，则， 所以，， ，故实轴长为. 故答案为：. 【变式10-4】（2024·高二·山东泰安·阶段练习）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【解析】由双曲线，可得，则， 因为是该双曲线上一点，且，可得， 即， 在中，可得， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 1．（2024·高二·宁夏石嘴山·期末）若复数z满足，则复数z在复平面内对应点的轨迹是（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】D 【解析】设，复数对应点，由题意复数z满足， 即，可知复数z满足双曲线的定义. 故选：D． 2．（2024·高二·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【答案】B 【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支. 故选：B 3．（2024·高二·甘肃白银·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】双曲线中，， 所以双曲线的离心率 故选：C 4．（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设分别为双曲线的左右焦点，连接， 因为A，B两点关于原点对称，所以为平行四边形，所以， 因为，， 所以. 因为，所以； 在中，由余弦定理可得， 因为，所以，即. 故选：D 5．（多选题）（2024·高二·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（    ） A．存在m，使C表示圆 B．当时，则C的渐近线方程为 C．当时，则C的焦点是， D．当C表示双曲线时，则或 【答案】AD 【解析】A选项，当，即时，为圆，故A正确； B选项，当时，，故渐近线方程为，故B错误； C选项，当时，则，显然C的焦点在轴上，故C错误； D选项，当C表示双曲线时，，则或，故D正确. 故选：AD. 6．（多选题）（2024·高二·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】由标准方程可得， 所以，A正确； 离心率，B正确； ，，C错误； 渐近线方程为，D错误. 故选：AB. 7．（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 【答案】 【解析】设双曲线方程为，则渐近线方程为，焦点为， 所以焦点到渐近线的距离为， 又，结合，可得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 8．（2024·高二·辽宁朝阳·阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ． 【答案】 【解析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线， 可设双曲线C的方程为，又C过点， 所以，， 整理得双曲线C的标准方程是． 故答案为： 9．（2024·高二·湖北咸宁·期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】双曲线即， 双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以双曲线的方程可设为：，代入点的坐标，可得， 则双曲线的方程为，即双曲线的标准方程为. 故答案为： 10．（2024·高二·山西晋中·期中）已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】依题意，，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 11．（2024·高二·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ． 【答案】 【解析】双曲线的焦点在轴上，将双曲线方程化为所以，解得，即. 离心率， 因为，所以，所以，从而. 故答案为： 12．（2024·高二·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 . 【答案】 【解析】由椭圆及双曲线定义得：，， 即，， 因为， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 即， 故答案为：. 13．（2024·高二·河南·阶段练习）已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设渐近线的倾斜角为，则，即， 所以，离心率. 故答案为：. 14．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】是双曲线的左焦点，则，右焦点为， 由双曲线的定义可得. 故答案为： 15．（2024·重庆·二模）已知双曲线：的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则周长最小值为 ． 【答案】 【解析】解由双曲线的方程知：，，，， 周长为， 设左焦点为，且是双曲线的左支上一点，由双曲线的定义得： （当三点共线时等号成立） 的最小值为， 故周长的最小值为， 故答案为： 16．（2024·高二·浙江温州·期末）已知是双曲线；右支上的任意一点，是双曲线的右焦点，定点的坐标为，则的最小值为 【答案】 【解析】由题意，双曲线中，，，设是双曲线的左焦点，即， 由于在右侧，则， ∴， 当且仅当，，共线时取等号， ∴的最小值是. 故答案为：. 17．（2024·高二·河北邯郸·阶段练习）如图从双曲线（其中）的左焦点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于，若为线段的中点，为原点，则的值为用、表示 ． 【答案】 【解析】 由图可知点在第一象限，设为双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，所以， 由双曲线的定义可知，， 故. 故答案为： 18．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程 【解析】因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为， 则，，所以， 所以点的轨迹是双曲线的一支， 又，，， 所以其轨迹方程为. 19．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式. (1)求线段的长度； (2)求顶点的轨迹方程. 【解析】（1）椭圆的方程为， 椭圆的方程为， 分别为椭圆的左焦点和右焦点， ， ，线段的长度； （2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)， ， ， , ． 点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点， 设该双曲线方程为 且， 顶点的轨迹方程为 20．（2024·高二·黑龙江鸡西·期中）已知圆，圆． (1)证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程； (2)已知点，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形． 【解析】（1）圆A，圆心，半径， 圆B，圆心，半径，， ∴，所以圆A与圆B相交． 圆，圆， 两式相减，得． （2）设，由题意得，， 化简得，P的轨迹方程为，所以P的轨迹是除去，两点的双曲线． 21．（2024·高二·全国·专题练习）完成下列问题： (1)已知双曲线中心在原点，该双曲线过点，且渐近线方程为，求该双曲线的方程. (2)已知圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为， 把点代入，可得，即. 该双曲线的方程为. （2）圆的圆心为，半径为2； 圆的圆心为，半径为10. 设动圆圆心为，半径为， 则，， 于是， 动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为12的椭圆. ，，. 的轨迹方程为：. 22．（2024·高二·陕西榆林·开学考试）已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）已知点在双曲线：（）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）由题可知若直线存在，则直线的斜率存在，故设直线的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为中点，则，， 则， 即有直线的方程为，即， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线与该双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点. 此时的方程为. 23．（2024·高二·青海西宁·期中）已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【解析】（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为． （2） 记双曲线的左焦点为，则， ， 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为． 24．（2024·高二·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 25．（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【解析】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 26．（2024·高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【解析】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$