（A卷）数学（北师大版）试题-【1号卷·A10联盟】2024届高二上学期2月初期末质量检测

2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）参考答案A 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 题号 3 3 6 8 答案 c A B B A D B 1.C由题意得，若选出的负责人是高一学生，有3种情况；若选出的负责人是高二学生，有4种情况： 若选出的负责人是高三学生，有6种情况.由分类加法计数原理可得，共有3+4+6=13种不同的 选法.故选C. 2,A由题意得，2=4，b=2,所以离心率e=1- 故选A 3.B若l⊥12，则2a2-2=0,解得a=±1，故“Z⊥l2”是“a=1”的必要不充分条件.故选B. 4.B从10个零件中抽取3个的总方式数为C。;不合格零件有3个，从中选1个的方式数为C,合格 零件有7个，从中选2个的方式数为C?,根据分步乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为 C×Cg,根据古典概型得P=CC.故选B 5A设000,0)，则0D=x01+0丽+z0C,即(-2，-3，)=(-2x,y32),故x=1,y=-3,2= 3 又x+y+z=1,解得2=9.故选A. 6.D由题意得，C与C2相交；而圆C:(x+4)2+(y-3)2=16,则CC,=V(-3)2+42=5,故 a-4<5<a+4,解得1<a<9.故选D. 7.C设事件A表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件B,B2,B,分别表示“抽到的教师来自高一、高二、 高三年级”，因为三个年级的教师人数之比为3：3：4，所以P(B)=3+3+410 33 Pa)厂34340P叫a)344语区为商离二、离三三个年楼中*沙远 动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，所以P(A|B)=40%=0.4, P(AB,)=30%=0.3,P(AB3)=35%=0.35,根据全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+ P4)P4B)+P2)P4B)-×04+×03+x035=035.放选C 10 10 8.B由题意得，M-MF=2a①，2ME+2MF=4MO+EE②（平行四边形四条边 的平方和等于两对角线的平方和)，MO=M:M③，联立三式，化简可得2a2=c2,则a=b, 故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 ACD AB AD 9.ACD由随机变量X~N(9,2)可知X服从正态分布，正态密度曲线对称轴为9，方差为4，所以 P(X>≥9)=0.5，故A正确；D(2X+1)=4D(X)=16,故B错误； 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第1页共6页 A P(7≤X≤11)=2P(9≤X≤11)，故C正确；P(X≤8)+P(X<10)=P(X>10)+P(X<10)=1, 故D正确.故选ACD, 10.AB对于A,由组合数的性质C2=C2-5得x+2=15-(2x-5)或x+2=2x-5,得x=6或7， L1,23,4这六个数字组成的不同六位数共有6】 于C,将8个相同小球放人4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，C3=35, 故C错误；对于D,因为 629=(63-1)”=C9639+Cg638.(-1)+C6637.(-12+…+C863.(-1)98+C88(-1)9 =C9639-Cg638+C%,63”-…+C863-7+6,因为展开式中除了6均能被7整除，则 629被7除所得的余数为6，故D错误.故选AB. 1D由题意得，F0,,设直线1：y=在+1，联立X=4y,则￥-4红-4=0，设MG,W以， y=优+1 N(2,2),故x+2=4t,xx2=-4,则MN=y+y2+2=1(x+x2)+4=4+4=6,解 得1=±兰度A正滴：将1-号代入广-44=0，郁得=6+万，名=万-6， 当点M在第一象限时，MV6+2,V5+2),当点M在第二象限时，M(-√6+V2,-√3+2 此时PM+MF为定值，且大于10，故B错误； 因为wr>.题-点6+语-2+5，放c误设) WFx,√6-√2 )的方类y=数45，击化隔-恤-6-0， △=16k2+16b>0,x3+x4=4k,xx4=-4b,易知直线0A,QB的斜率存在，设直线 QM的方程为m.由一maFm中0 4 x2=4y 由△=(4切P-44nm,-)=0,解得m=产，所以直线Q4的方程为y=x-名， 即4y=2xx-x号；同理可得，直线2B的方程为4y=2x4x-x,将Q(n,-1)代入直线2A、 2B中，-4=2x-x号，-4=2x4-x,即x号-2x3-4=0,x-2x4-4=0,所以 x3,x4可看作方程x2-2x-4=0的两根，所以xx4=-4,又xx4=-4b,所以b=1, 所以直线AB的方程为y=c+1,故D正确；综上所述.故选AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2,4,-2) 向量AP在法向量n上的投影向量为 P.”n=1242,-）=2,4-2). 6 13.[5,9] 由题意得，PF+PF=6,则PF=6-PF,其中PF∈[1,5]，故 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第2页共6页 A PFPF=PF(6-PF )E [5,9]. 14.4(或0.16) 25 由x,y,z∈N*,且x+y+z=7,相当于在7个1之间的6个空隙中插入两个挡板，所以共有C6=15 种情况，因为随机变量X为x,y,z中的最小值，所以随机变量X为1或2.当最小数字为1时，可分 为两种情况：①三个数字中只有一个1时，设其中一个数为1，则另两数之和为6，且均不小于2， 这两个数可以是(2,4)或(3,3)，当三个数为(1,2,4)时，有A=6种排列，当三个数为(1,3,3)时，有 C?=3种排列，故共有6+3=9种情况；②三个数字中有两个1时，有C=3种情况，所以概率为 P(X=1)=9+3-4 15一5：当最小数字为2时，则三个数字为2,23，有C=3种情况，所以概率为 P=2-写则x=1w2×g .16 5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)由题意得，圆C:(x-2)2+(y-1)2=1;…(2分) 显然直线l,l的斜率存在，设直线l,2的方程为y=c, 故圆心C(2,1)到直线l的距离d= 2k-到=1，…(4分） V1+k2 解得k=0或k=3 …（7分) 又直线的倾斜角大于直线的倾斜角，散直线，的方程分别为y=专少=0。(8分) (2)由题意得，0C=V22+1=V5,故0W=√0C-R2=2,…(11分) 而SOMCN=2 SONC=CV.ON=2X1=2.…(13分) 16.(15分) (1)令x=-l,得a-a+a2-43+a4-a,+a6-a,+a3=0,…(2分) 所以a1-a+a3-a2+a5-a4+a-a6-g =-(a0-4+a2-43+a4-a+a6-a,+a)=0.…(5分) (2)因为[1+(x+1]°=Cg(x+1)°+Cg(x+1)'+C(x+12++C(x+1), 所以a+ax+ax2+…+agx8=(x+2)8-1, 则(a+1)+a4x+a2x2+…+ax8=(x+2) ，…(9分) 令x=0,得a,+1=2,即a=28-1=255,…(11分) 因为(x+2)8=Cx8-*2,ke[0,8且keZ, 令8-k=5,即k=3,得a5=C823=448,…(14分) 所以a。-a5=255-448=-193.…(15分)》 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第3页共6页 A 17.（15分) （1)由题意得，∠ABC=∠ABC=30°，AB=2AC,…(1分) 由正弦定理知， in乙ACBsin30,故in∠4CB=l,则CA1CB,…(3分) AB AC 而AA⊥平面ABC,CBC平面ABC,故AA⊥CB,…(4分) 又AA∩AC=A,故CB⊥平面AAC;…（5分) 因为A,CC平面AAC,故CB⊥AC,所以△ABC为直角三角形.…(6分) (2)分别以CB,CA,CC1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设A4=m,因为AB=2AC=4,所以BC=2W5, 故A(0,2,0),C(0,0,0),B2V5,0,0,4(0,2,m), 故4=(0,0，m),4B=(2V5,-2,-m),CB=(25,0,0）.…(8分) 设平面A4,B和平面ABC的法向量分别为n1=(x,,)，2=(x2,y2,z2), 则m网=mz,=0 ,令x=1,则%=1，V5,0,…(10分) 4·4B=2W5x-2y-mz1=0 m2CB=25x2=0 而 ,令y2=m,则%2=(0，m,-2),…（12分) n2·4B=2W3x2-2y2-mz2=0 记平面AA,B与平面ABC所成角为0， 因为sin0=V ,所以cos9=V6 4 4 则cos0=los<%,m,>= 四2m+44,解得m=14=2.…(15分) mn23m6 18.（17分) (1)由题意得， 设M(x,),N(x2,y2), 因为过点F的直线1的斜率为1，所以直线1的方程为y=x-】 …（1分) 29 1 联立 2，得x2-3x+}=0,则x+6=3,…(3分) y=x-- 4 y2=2x 所以MW=x+x2十p=3+1=4.…(4分) 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版)参考答案第4页共6页 2’…(5分) 1 (2)显然直线l与y轴不垂直，设直线l:x=my+ △=4m2+4>0 联立 x=mv+2,得y2-2my-1=0,则4+为=2m ,…(7分) y2=2x yy2=-1 因此O.0N=5+%=2+⅓= 3 …(9分) 4 4 (3)结论：DP=PF,证明如下： 不妨设M在第一象限，N在第四象限，显然直线1'的斜率存在， 设直线：y-y2=k(x-x2),联立 2x-,®号-y+%-=0, y2=2x 则=1-4经0-)1-4气-)-0得= …（12分) y 所以的方程为y-=x-),即y= ,x+ 2 令=0.得⅓，则P0 …（14分) 又直线OM的方程为y=4x=2x=-2x, 令x=将y=则D2 …（16分） 即DP=PF.…(17分) 19.(17分) (1)由题意知，随机变量X的取值可以为0,1,2,3， P(x=0)=Cci_ C335 P(X=1)-CC-18 C35' P(X=2)= 3C4_12 P(X=3)= CC=1 C35 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 p 4 18 12 1 35 35 35 35 … (4分) 数学期望E(X)=0Xx18 4 35+2× 12 35 +3 1459 3535=7 …(5分) (2)设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为A、B、C, 则至少有两人做对该题的事件为：ABC+ABC+ABC+ABC,…（7分) 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第5页共6页 所以竞赛小组能进入决赛的概率为 P(ABC+ABC+ABC+ABC=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) -*-引-}-*+品 …（10分) (3)按照赛制一，设做完选定的2n-1题后，A组的得分为Y,则Y~B(2n-1,p), A组取得胜利的概率为p,=P(≥n)=P(Y=n+P(>≥n+1)；…（12分) 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完2n+1题，A组取得胜利的概率为P2, 则P2=P(Y=n-1)p2+P(Y=n)[1-(1-p)2]+P(Y>n+1),…(14分) p2-p=P(Y=n-1)p2-P(Y=n)0-p)2=C2p-1-p)”p2-C3np"1-p)-1-p)月 =C2m-p(1-p)-C2m-1p”1-p)1=C2n-p"1-p)[p-(1-p)] =2cr0-p旷n-》 …(16分) 已知05<p<1,所以2cp-pr(p-》0. 所以P2>卫，因此A组采用赛制二更有利于胜出.…(（17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第6页共6页 A2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）试题A 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要 A.y=±2x B.y=x C.y=tv2x Dy= 求的 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 1.现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 人为负责人，则不同的选法有( A.18种 B.72种 C.13种 D.24种 9.若随机变量X~N(9,2),则下列说法正确的是( 2已知椭圆C: +上=l,则其离心率e=（ AP(X>9)=0.5 B.D(2X+1)=8 42 C.P(7≤X≤11)=2P(9<X≤11) D.P(X≤8)+P(X<10)=1 A.② 1 B. D.V3 10.下列说法正确的是() 2 2 2 A.已知C2=C-5,则x的取值为6或7 3.已知直线4：2x-y+1=0,42:a2x+2y+2=0(aeR),则“⊥l2”是“a=1”的( B.由1,1,1,2,3,4这六个数字组成的不同六位数共有120个 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.629被7除所得的余数为1 4.一批零件共有10个，其中有3个不合格.随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概 11.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线1与抛物线C交于M,N两点，且MN=6, 率是() 点P(2,9),Q(n,-1),则( A.CC B.Cc c.CCia D.CCto A直线I的斜率为士② 2 5.若A(-2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,3),D(-2,-3,)四点共面，其中2∈R,则2=( B.PM+MF的最小值为10 A.9 B.12 C.15 D.18 6.已知圆C:x2+y2+8x-6y+9=0,圆C,:(x+1)2+(y+1)2=a(a>0),若C与C,有且仅 c若M>N,则-3+5 有2条公切线，则实数a的取值范围为( NF A.(2,10) B.(1,10) C.(29) D.(1,9) D.过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB过点F 7.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为() 12.已知三棱维P-ABC中，平面ABC的一个法向量为n=(L,2,-1),若AP=(3,4,-1),则向量 A.0.42 B.0.36 C.0.35 D.0.45 &E知双南线C:若卡=a>06>0的左，右焦点分别为B,及，点M在双线C上，者 AP在法向量n上的投影向量为 1B.已知椭圆C:女+上=1的左、右焦点分别为，R,若点P在椭圆上运动，则PFPF的取 95 MO=MFMR(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为() 值范围为 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）试题第1页共4页 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）试题第2页共4页 A 14.已知x,y,z∈N,且x+y+z=7,记随机变量X为x,z中的最小值，则D(X)= 18.(17分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,过点F的直线1与抛物线C交于M,N两点，连接MO交 15.(13分) 已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0,过原点0引圆的两条切线4,2，切点分别为M,N,其中 直线x=-号于点D,过点N写引提物线C的切线 直线L的倾斜角大于直线，的倾斜角 (1)若1的斜率为1，求MN的值； (1)求L,1,的方程： (2)求OM·OW的值： (2)求四边形OMCN的面积 (3)若点P(O,y)在直线'上，比较DP与PF的大小关系，并说明理由. 16.(15分) 19.(17分) 已知a,+ax+a,x2++ax3=C(x+1)+C2(x+1)2++C8(x+1)° 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成 (1)求a-4+4-a2+a5-a4+a,-a6-a的值： 竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进人决赛 (2)求a-a,的值.（结果用数字表示） (1)已知某班甲、乙、丙三人已经人围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛 小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进人竞赛小组的人数为X,求X的分布列与数学期望： (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若 甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为了，子，，求 此竞赛小组能进入决赛的概率： (3)假如只有A组与B组进人决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有2+1道题，两 个小组同时做同一道题.假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1 17.(15分) 分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为p(0.5<p<1),B组先做对的概率都为q: 如图，在直三棱柱ABC-4B,C中，AB=2AC=4,∠ABC=30 且卫+9=】，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选 (1)求证：△4BC为直角三角形： 出2n-1道题，这2n-1道题全部做完后，得分高的小组获得冠军：赛制二：做完2n+1道题. (2)若平面A4B与平面4BC所成角的正弦值为 得分高的小组获得冠军，你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导 4 ,求AA的值 过程. 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）试题第3页共4页 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（北师大版）试题第4页共4页