3.3 培优课 圆锥曲线中的综合问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

培优课　圆锥曲线中的综合问题 1.AB为过椭圆＋＝1（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为（　　） A.b2　　　　　　　　B.ab　　　　　　　　C.ac　　　　　　　　D.bc 2.设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（　　） A.（0，1] B.（0，） C.（0，］ D.［，＋∞） 3.一动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且该动圆恒与直线y＋4＝0相切，则动圆必经过的定点为（　　） A.（0，4） B.（4，0） C.（2，0） D.（0，2） 4.已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（0，） C.[－1，1] D.［，1） 5.〔多选〕已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P（，1）在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（　　） A.椭圆C的离心率的取值范围是（0，］ B.当椭圆C的离心率为时，｜QF1｜的取值范围是[2－，2＋] C.存在点Q使得·＝0 D.＋的最小值为1 6.抛物线y2＝4x的顶点为O，点A的坐标为（2，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O和点A）且交抛物线于P，Q两点，则｜PQ｜的取值范围为　　　　. 7.若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，当｜t｜变化时，｜AB｜的最大值为　　　　. 8.已知△AOB的顶点O为抛物线y2＝2x的顶点，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°. （1）求证：直线AB必过一定点； （2）求△AOB面积的最小值. 9.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且过点（，）. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 10.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过焦点垂直于x轴的弦长为1，左顶点为B，定点C（4，0），过点C作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，直线BP，BQ分别与y轴交于M，N两点. （1）求椭圆的方程； （2）试探究｜OM｜·｜ON｜是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，请说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　圆锥曲线的综合问题 1.D　由椭圆的对称性知，A，B两点关于原点O对称，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·｜yB｜，故当｜yB｜＝b时，△AFB面积最大，最大面积为bc. 2.C　设P点的坐标为（，y0），y0＞0，则点M的坐标为（＋，），直线OM的斜率kOM＝＝≤＝，当且仅当y0＝，即y0＝时取等号.故选C. 3.A　由抛物线x2＝16y，得到准线方程为y＝－4，焦点坐标为（0，4），∵动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且动圆恒与直线y＝－4相切，由抛物线的定义知｜MF｜＝｜MK｜，如图所示，即动圆必经过定点F（0，4）. 4.D　由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，又｜FA｜＝－c＝，｜PF｜∈[a－c，a＋c]，∴∈[a－c，a＋c]，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴ ∴又∵e∈（0，1），∴e∈［，1）. 5.BCD　由题意得a＝2，又点P（，1）在椭圆C外，则＋＞1，解得b＜，所以椭圆C的离心率e＝＝＞，即椭圆C的离心率的取值范围是（，1），故A不正确；当e＝时，c＝，所以｜QF1｜的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，故B正确；设椭圆的上顶点为A（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），由于·＝b2－c2＝2b2－a2＜0，所以存在点Q使得·＝0，故C正确；（｜QF1｜＋｜QF2｜）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当｜QF1｜＝｜QF2｜＝2时，等号成立，又｜QF1｜＋｜QF2｜＝4，所以＋≥1，故D正确. 6.（4，4）　解析：设直线l的方程为y＝x－m，有0＜m＜2，由方程组消去y，得x2－（2m＋4）x＋m2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝2m＋4，x1·x2＝m2，所以｜PQ｜＝4×，所以4＜｜PQ｜＜4. 7.　解析：联立两个方程，得5x2＋8tx＋4t2－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－t，x1x2＝（t2－1），∴｜AB｜＝＝ ＝，而Δ＝（8t）2－4×5×（4t2－4）＞0，解得0≤t2＜5.∴取t2＝0得｜AB｜max＝. 8.解：（1）证明：设OA所在直线的方程为y＝kx（k≠0）， 则直线OB的方程为y＝－x. 由得A（，）， 由得B（2k2，－2k）. ∴AB所在直线方程为（y＋2k）（－2k2）＝（＋2k）（x－2k2）， 化简得x－（－k）y－2＝0， ∴直线过定点P（2，0）. （2）由于直线AB过定点P（2，0）， ∴可设直线AB的方程为x＝my＋2，A（x1，y1），B（x2，y2）. 由得y2－2my－4＝0. 则Δ＝（－2m）2－4×（－4）＝4m2＋16＞0， ∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4， ∴｜y1－y2｜＝＝＝. ∴S△AOB＝｜y1｜·｜OP｜＋｜y2｜·｜OP｜＝｜OP｜·｜y1－y2｜＝｜y1－y2｜＝≥4（当且仅当m＝0时取“＝”）. ∴当m＝0时，△AOB面积的最小值为4. 9.解：（1）依题意结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，c＝2. 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. （2）假设存在点M（t，0）（t＜0）满足题设条件. 由（1）知双曲线C的右焦点为F（2，0）.设Q（x0，y0）（x0≥1）为双曲线C右支上一点. 当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是｜MF｜＝｜QF｜＝3， 所以t＝－1.即M（－1，0）.当x0≠2时， tan∠QFM＝－kQF＝－， tan∠QMF＝kQM＝.因为∠QFM＝2∠QMF， 所以－＝. 将＝3－3代入并整理得－2＋（4＋2t）x0－4t＝－2－2tx0＋t2＋3， 所以解得t＝－1.即M（－1，0）. 综上，满足条件的点M存在，其坐标为（－1，0）. 10.解：（1）由已知得＝，即＝，即＝⇒a＝2b，由题意知椭圆过点（c，）， 则＋＝1，解得b＝1，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1. （2）设PQ：x＝my＋4，P（x1，y1），Q（x2，y2）， ⇒（m2＋4）y2＋8my＋12＝0，Δ＝（8m）2－4（m2＋4）×12＝16m2－192＞0， 即m2＞12，y1＋y2＝，y1y2＝，又B（－2，0），∴直线BP的方程为y＝（x＋2）， 令x＝0，得yM＝，同理，yN＝，∴｜OM｜·｜ON｜＝｜yM·yN｜＝· ＝ ＝ ＝ ＝＝＝，∴｜OM｜·｜ON｜为定值. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $