3.3 培优课 抛物线焦点弦性质的应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

培优课　抛物线焦点弦性质的应用 1.B　y＝2x2即x2＝y，由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－. 2.C　由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝，由｜AF｜＝4，｜BF｜＝1，得＝＋1＝，解得p＝. 3.D　设直线l的倾斜角为α，∵p＝6，由抛物线焦点弦的性质知，｜AB｜＝＝＝16，∴sin2α＝，则sin α＝.∴α＝或. 4.D　如图所示，设线段AB的中点为P（x0，y0），分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2.又｜PQ｜＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝. 5.B　∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵外接圆的面积为9π，∴外接圆的半径为3.又∵圆心在OF的垂直平分线上，｜OF｜＝，∴＋＝3，∴p＝4. 6.D　易知抛物线中p＝，由抛物线的性质可得弦长｜AB｜＝＝12，又O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，∴S△OAB＝｜AB｜·d＝. 7.ACD　由x2＝8y，得p＝4，由抛物线焦点弦的性质，得x1x2＝－p2＝－16，故A正确；y1y2＝＝4，故B错误；根据题意，直线l的斜率一定存在，又过点F（0，2），设直线l的方程为y＝kx＋2，联立得x2－8kx－16＝0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，＝（x1，y1－2），＝（x2，y2－2），则·＝x1x2＋（y1－2）（y2－2）＝x1x2＋y1y2－2（y1＋y2）＋4＝－16－2k（x1＋x2）＝－16－16k2≤－16，故当k＝0时，·的最大值为－16，故C正确；｜｜＝，｜｜＝，｜｜2·｜｜2＝（＋）（＋）＝（8y1＋）·（8y2＋）＝y1y2（8＋y1）·（8＋y2）＝4[64＋8（y1＋y2）＋y1y2]＝16（25＋16k2），所以｜｜·｜｜＝4≥20＞12，故D正确. 8.ABD　把点B（1，2）代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；因为A（x1，y1），B（1，2），C（x2，y2），F（1，0），所以＝（x1－1，y1），＝（0，2），＝（x2－1，y2），又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以｜｜＋｜｜＝x1＋＋x2＋＝4＝2｜｜，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；设AC的中点为M（x0，y0），因为｜AF｜＋｜CF｜≥｜AC｜，｜AF｜＋｜CF｜＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确. 9.4　解析：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BE｜，又｜AC｜＝2｜AF｜，所以｜AC｜＝2｜AD｜，则∠ACD＝.所以直线AB的倾斜角为，因为｜HF｜＝p＝2，＝＝，所以｜AF｜＝｜AD｜＝.又｜AB｜＝＝＝，即｜AF｜＋｜BF｜＝，所以｜BF｜＝4. 10.2＋　解析：作MM'⊥l于点M'，设MM'交y轴于点R.易知△MM'P≌△MFP，则∠PMM'＝∠FMP，从而有△MRQ≌△MDQ，所以｜MR｜＝｜MD｜.因为｜MM'｜＝｜MF｜，所以｜DF｜＝｜M'R｜＝1，设｜NF｜＝x，则｜MD｜＝2x.由＋＝＝1，得｜MF｜＝，所以＝1＋2x，解得x＝（负值舍去），｜MF｜＝1＋2x＝2＋. 11.解：（1）将直线l与抛物线C方程联立，得⇒y2－2pmy＋2pm－4p＝0， 又因为直线l与抛物线C恒有两个交点， 所以其判别式Δ＝（－2pm）2－4（2pm－4p）＝4p2m2－8pm＋16p＞0对∀m∈R恒成立， 故需使方程4p2m2－8pm＋16p＝0的判别式Δ1＝（－8p）2－4×4p2×16p＜0， 又p＞0，所以解得p＞，即p的取值范围为（，＋∞）. （2）由题，当m＝1时，l：x－y－1＝0，由l过焦点F（，0）得p＝2，所以抛物线C：y2＝4x. 将直线l与抛物线C方程联立，并令A（x1，y1），B（x2，y2），得⇒x2－6x＋1＝0，Δ＞0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，又因AB经过抛物线焦点，故｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 12.解：（1）由题意｜PF｜＝1＋＝2，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x. （2）法一　由（1）知焦点为F（1，0），若直线l斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意， 因此设直线l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，｜AB｜＝x1＋x2＋2＝＋2＝8， 解得k＝1或k＝－1. 法二　若直线l的斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意， 设直线l的倾斜角为α，根据焦点弦的性质，｜AB｜＝， 代入可得sin2α＝＝，即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　抛物线焦点弦性质的应用 1.（2025·烟台月考）已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2＝（　　） A.－　　　　　　　B.－　　　　　　　C.－1　　　　　　　D.－2 2.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若｜AF｜＝4，｜BF｜＝1，则p＝（　　） A. B.2 C. D.1 3.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于（　　） A. B. C.或 D.或 4.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若｜AB｜＝4，则AB中点的纵坐标是（　　） A.1 B.2 C. D. 5.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线上一点.若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p＝（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　） A. B. C. D. 7.〔多选〕在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝8y，若过焦点F的直线l交抛物线于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（　　） A.x1x2＝－16 B.y1y2＝16 C.·的最大值为－16 D.｜｜·｜｜＞12 8.〔多选〕已知抛物线y2＝2px（p＞0）上三点A（x1，y1），B（1，2），C（x2，y2），F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（　　） A.抛物线的准线方程为x＝－1 B.若＋＋＝0，则2｜｜＝｜｜＋｜｜ C.若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D.若｜AC｜＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 9.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若｜AC｜＝2｜AF｜，则｜BF｜＝　　　　. 10.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C准线l上一点，且PF⊥MN，连接PM交y轴于点Q，过点Q作QD⊥MF于点D，若｜MD｜＝2｜NF｜，则｜MF｜＝　　　　. 11.已知直线l：x－my＋m－2＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）恒有两个交点A，B. （1）求p的取值范围； （2）当m＝1时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段AB的长度. 12.（2025·淮安月考）已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且｜PF｜＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. （1）求抛物线C的方程； （2）若｜AB｜＝8，求直线l的斜率. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $