课时分层检测(25) 双曲线的简单几何性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十五） 双曲线的简单几何性质 …0 基础达标练0… 7.过双曲线x2 苦-1的左焦点F:作倾斜角 1.双曲线3.x2一y2=3的渐近线方程是( 为若的直线，与双曲线交于A,B两点，则 B.y=土3t 1 A.y=士3.x |AB|= C.y=士3x D.y= 3 8.双情线号需-1的右顶点为A,右焦点为 F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直 2.已知双曲线的离心率为2，焦点是（一4,0）， 线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为 (4,0),则双曲线的方程为 ( A-1 _y2 日9.设双曲线3 =1(0<a<b)的半焦距为 D. 610 c,直线1过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直 8.已知双曲线C宁 兰=1a>0,b>0)的离 线1的距离为。，求双曲线的离心率。 心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距 离为 ( A.√2 B.2 C.3② 2 D.2√2 4（多选)已知双线C:号-y2=1,下列对双 曲线C判断正确的是 ( A.实轴长是虚轴长的2倍 B.焦距为4 C.离心率为3 D.渐近线方程为x士√3y=0 6设双曲线c:天_1a>0,b>0)的左、 右焦点分别为F1,F2,离心率为√3，P是双 曲线C上一点，且∠F1PF2=60°.若 △F1PF2的面积为4√3，则a= ( A.1 B.2 C.4 D.√2 y 6,已知双曲线粉m+6=1(m>0)的虚轴长 是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为 159 班级 姓名 得分 10.已知双曲线过点(3，一2)且与椭圆4x2十 实轴，√3AD为虚轴作双曲线，交圆弧AB于 9y2=36有相同的焦点 点M,则∠ACM=2∠MCB,即CM为 (1)求双曲线的标准方程； ∠ACB的三等分线.已知双曲线E的方程 (2)若点M在双曲线上，F1,F2为左、右焦 点，且|MF1|+|MF2|=6√3，试判断 为号-台=1，点A,D分别为双面线E的 △MF1F2的形状. 左、右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线 E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB 交双曲线E于点P,若扇形CMB的面积为 受则品的省为 4.已知双曲线E:-上=1 (1)若m=4,求双曲线E的焦点坐标、顶点 坐标和渐近线方程； (2)若双面线E的离心率e∈()，求实 数m的取值范围 …0能力提升练。… 1已短双面线芳芳 =1(a>0,b>0)的离心 率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双： 曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同 一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1十 d2=6,则双曲线的方程为 ( A号苦-1 C. =1 412 n学 1 :5.已知双曲线C:x2一y2=a2(a>0)与椭圆 y2 2双曲线E方 =1(a>0,b>0)的渐近线 营+号-1有相同的维点. 为菱形OABC的边OA,OC所在的直线，点 (1)求双曲线C的方程； B(2,0)为双曲线的焦点，若∠AOC=120°， (2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦 则双曲线的方程为 AB,求弦AB所在直线的方程. 3.三等分角是古希腊三大几 何难题之一，公元3世纪 末，古希腊数学家帕普斯 利用双曲线解决了三等分 角问题.如图，己知圆心角 ∠ACB是待三等分的角 (0<∠ACB<π)，具体操作方法如下：在弦 AB上取一点D,满足AD=2DB,以AD为 16026.5=56. : (n-m)2=4a, 即)42=(n-n)2+, 则有是一-1解得=3-2 ∴.√5=12√5，=12. (m=16, (a2+b=c2, 由c=2a,c2=a2+b,得a2=4. e2=a2十4，由离心率e=C=√尽，得a= 所以双面线的标准方程为专一苦-1 “双曲线的标准方程为 y 412=1. √2.故选D. (2)△MF1F2是钝角三角形.不妨设M 5.解(1)如图所示，不 v 点在双曲线的右支上，则有MF1一 妨设M在双曲线的 6.号只1由题意，得a2三m,=m 1MF,|=2√5，又|MF+|MF,|= 右支上，M点到x轴 十6，则实轴长为2√m,虚轴长为 6√3，故解得MF=4√5，MF= 的距离为h,MF· FO hF2 x 2√m十6，由题意有2√m×2=1 2√3，又F1Fg=2√5，因此在△MF1F MF,=0,则MF⊥ 2√m+6,解得m-2,代入 y 中，边MF1最长，而cos∠MF,F1= MF2,设MF=m,MF:=, MF:+FF:-MF0 由双曲线定义，知m一n=2a=8,① 又n2+12=(2c)2=80,② 1,得双南线的标准方程为号-苦-1.] 2·MF2·FF。 所以∠MFF为钝角，故△MF1F。为钝 由①②得1=8， 7.3[依题意，得双曲线的左焦，点F的坐{ 角三角形 m=4=Erh 标为(-2,0)，直线AB的方程为y=!能力提升练 h=2⑤ 9+2. 1A[起x=c代入三- =1,得y 5 (2)设所求双曲线C的方程为16一入 由 3 得8x2-4x-13=0. r-x 4于1(-4<A<16),由于双曲线C过！ 3 =1, 效南线的一条新近线方程为y一合， 设A(,y1),B(x2y2), 13 即bx- av=0,则d=c- d2= 点(3√2,2)， 则x1十x2= √a+ 18 ∴164干 =1,解得1=4或1=-14 bc+b2 (舍去)， 所以AB=+() ·x1一x2 √a+b2 所求双曲线C的方程为后一号-1 故d1+d山= Ibc-b⊥+bc十B √[+(]小✉+产-4 /a2+b /a2+b2 课时分层检测（二十五） bc-P+bc+位=2b=6,故b=8. 基础达标练 -+)()-(号川 e2 la2+b 1,C[双曲线方程可化为标准方程： =2, =3. 苦=1a=1,b=尽，双商线的渐近线8 得a2=3, 32 双曲线号一=1的右项点A(3, 方程为y=士名，即y=士] 所以双曲线的方程为号一号-1.门 0),右焦点F(5,0),渐近线方程为 4 12.x- =1「不妨设A在第一象限.由 Q 2.A[依题意知，焦点在x轴上，c=4, y=3x a 4 题意知，OA所在直线的倾斜角为∠A(OC =2,.a=2 不坊设直线FB的方程为y=3(x一5)， 的一半，即∠AOB=60°，故b=tan60°= 、=c2一a2=12,故双曲线的方程为 （工一5）代入双曲线方程整理，得 将y一3 √5，又点B(2,0)为双曲线的焦，点，所以a x2-（x-5)=9,解得x=1, y=-32, 十b2=4>4a2=4→a=1,故b=√3.所以 15' 3.D[法- 由离心率e=￡=2，得c= 所以（吕，） 双线的方程为广-号-1] a 2a,又b=2-a2,得b=a 3厄[由号-花=1可得B队4,0)，右准线 所以双曲线C的渐近线方程为y=士x 所以S△AFB=立 AFyB=(c-a) 方程为x=1,设C(1,业)，∠ACB=2a,则 由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 图C:(x-1)2+(y-)=1BC2=9+ 1中司2反.故选D. 4 的渐近线的距离为 1=×6-3×器-器] 直钱1的方程为工十义=1，即b十 呢，由题意可得S%cB=a(9十呢)=严 2 法三高心率。区的双尚线是等轴双南9解 3 9π 又有tana=一 线，其渐近线方程是y=士x,由点到直线 ay-ab=0. ,即tan2(9+呢) 的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距 于是有b:0+a·0-ab=5 3 ,得y℃=一3，则直线BC的方程为y 4 c, 离为 =2√2，故选D.] Va2+b2 /1+1 y=x-4. 4.BD[:双商线C: 所以ab= 5,两边平方，得心6= 3c. =x一4，联立 得p=3(W瓦 -y2=1,∴a2=3, 4 412 又2=2-a2, BP BP b=1,.c2=a2十b=4,.c=2,.双曲 ∴.16a”(c2一a)=3c,两边同时除以a, 一2)，所以 CP 1 BC-BP 线的实轴长是2a=2√3，虚轴长是2b=2,1 得3e-16e2+16=0,解得e2=4或e2= A错误：焦距为2c=4,B正确：离心率为 VC-VP =√2.] C=23,C错误；渐近线方程为y= 子又ba, !4解(1)当n=4时，双曲线方程可化为 a 3 a >2,则e=2.故双 兮，D正确.故选B,D.] 1· 45 曲线的离心率为2. .a=2,b=√5，c=3, 5D。拉PE人后E由10，解（1)国方程可化为号+苦-1，焦 ∴.焦点坐标为（一3,0），(3,0)， ∠F1PF2=60°，△F1PF2的面积为4√3，· 顶点坐标为（一2,0），(2,0)， 1-m=2a, 点在x轴上，且c=9一4=√5， 得4c2=m2+2-2 mncos60, 渐近线方程为y三土号工 、故设双曲线方程为一芳1(a>0, 之msin60°=43， b>0), 2)因为e= =mt5=1+5 a2 ,e∈ 238 (w 6.x=- ·E·MF= 2 [超物线C的焦点为F(台， △PMF的面积为立 1 “号<1+<2，解得5<m<10。 0）将x=台代入y=2虹，解得y= -×4×4=8.] ∴.实数m的取值范图是(5,10). :2.B[若使吸收太阳 士p.因为P为C上一点，PF与x轴垂直， 5.解(1)设双曲线C的两个焦点分别为 光的效果最好，容器 F1(一c,0),F2(c,0),由题意，得c=2, 所以不妨授P(台）因为Q为x轴上 灶图应在抛物面对 应轴裁面的抛物线 A(1,0.25） ∴a2+6=c2=4,则a=√2，即所求双曲线 的焦点处，如图，画 C的方程为x2一v2=2. 一点，且PQ⊥OP,所以Q在F的右侧，又 出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛 (2)当AB所在直线斜率不存在时，由对称： 因为FQ=6,所以Q6+专，0），则P 物线方程x2=2py(p>0),集光板端点 性可知，中点不可能为P(1,2),故此时不 =(6,-p.因为PQ⊥OP,所以Pi.Oi A(1,0.25),代入抛物线方程，得2p一4， 满足题意： 当AB所在直线斜率存在时，设AB所在： 所以抛物线方程为x=4y,故焦点坐标是 直线的方程为y一k.x十n,A(x1, =6X号-p2=0,因为p>0,所以p=3, 2 F(0,1).所以容器灶圈应距离集光板顶点 1m.故选B.] y),B(x2), 3 所以C的准线方程为x=一是] !3.②④[抛物线y2=10x的焦点在x轴 联立y红四得(1-)x2-2mx- {x2-y2=2, 7.5[F是抛物线y2=4x的焦点， 上，②满足，①不满足；设M1,y%)是y2 (n2十2)=0， .F(1,0),准线方程为x=一1， : 10x上-点，则MF=1+号-1+号 则△=4km2一4(1一k°)（一m一2）= 设M(,y),V(2,),∴|MF+NF 7 -8k+4n2+8>0,即2k-n-2<0①，1 =x1+1十x2+1=10,解得x1十x2=8, 2 ≠6，所以③不满足；由于抛物线y2 2km=2②， x1十x2=1—R 线段MW中点的横坐标为4，.线段 MV的中，点到准线的距离为4十1=5.] 10x的焦点为（受，0过该焦点的直线 点P(1,2)在AB所在直线y=kx十n上，！8.2√6[建立如图所示 即2=k十n③. 的平面直角坐标系， 方程为y= 一)若由原点向该直 联立@③两式，解得-合m-号，经检 设抛物线的方程为x 线作垂线，垂足为(2,1)时，则k=一2，此 验，符合题意，因此直线方程为x一2y十3： =一2py(p>0),则点 2 时直线存在，所以④满足，] (2,一2)在抛物线上， =0 4解如图所示，直线1与抛物线Z的准线 代入可得p=1,所以 课时分层检测（二十六） 交于点C, x2=一2y当y=一3时，x2=6,所以水面 基础达标练 1.By=一8x,p=4焦点坐标为9.解(1)：焦点到准线的距离是22p 宽为2√6米.] (-2,0).」 2.D[法一设动点P的坐标为(x,y). =4, .当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程 则√(x-1)2+(y-1)F-3.x+y-4 /10 为x2=4y或x2=-4y. 整理，得x2+9y2+4x-12y-6.xy+41 之 (2)双曲线方程可化为号一=1，左顶！ =0, /x2=4y, 即(x-3y十2)2=0，∴x-3y十2=0. 点为（一3,0），由题意设抛物线方程为y! 由}+(y-1)=4,解得{=2， y=1, 所以动点P的轨迹为直线 =-2px(p>0)且-号=-3，p=6, (x>0,y0, 2 法二显然定点F(1,1)在直线1：3x十y! 所以m=2. 一4=0上，则与定点F和直线1距离相等 ∴.抛物线的方程为y=一12x. 的动点P的轨迹是过F点且与直线1垂：10.解如图，设动圆圆 由∫x6, x=t, 解得) {x2=4y, 直的一条直线，门 心P(x,y),过点P y= 3.AD[由题可设抛物线的标准方程为x2! 作PD⊥I于点D, D =一2py(p0),由定义知点P到准线的· 作直线1：x=2,过点 所8A(,片) P作PD'⊥L'于点 距离为4，故十2=4，p=4,2= x=t, 2 D',连接PA 由x2+(y-1)2=4, -8y. 设圆A的半径为r, （x>0,y>0, 将点P的坐标代入x2=一8y,得m2=一8 动圆P的半径为R,可知r=1 ×(一2)，解得n=士4.] 圆P与圆A外切， 解得∫26， 1y=1+√/4-F. 4.A[由抛物线定义知，点P到准线L的距 ..PA=R+r=R+1. 所以B(t,1+√/4-t), 离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y 又，圆P与直线l:x一1相切， 由抛物线的定义得AF=AC, =4x及直线3x十4v十7=0，得直线与抛· PD'=PD+DD =R+1. 所以△FAB周长=FA|+FB|+AB 物线相离，∴，点P到准线1的距离与点P· PA=PD,即动点P到定点A与 =AC+AB+BF=BC+2 到直线3x十4y十7=0的距离之和的最小· 到定直线的距离相等， 值为，点F(1,0)到直线3x十4y十7=0的距， ·点P的轨迹是以A为焦点，以为准！ =W4-t2+4. 离，即3+7 线的抛物线. 因为t∈(0,2)， =2.」 √/32+42 设抛物线的方程为y=一2px(p>0),: 所以4-+4∈(4,6). 5.C抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),1 可知p=4, 5.解(1)因为C上的点到直线EH与到点 F的距离相等，所以C是以F为焦点，EH p=2,抛物线和双曲线有一个公共的焦 .所求动圆圆心P的轨迹方程为y2= -8x 为准线的抛物线在正方形EFGH内的部 点，∴.p=2c,即c=1. 设P(m,n),由抛物线的定义知 ·能力提升练 分，易得其方程为y2=4x(0y<2). 5 11.B[如图所示，易得 PF=m十 =m十1=，m= F(2,0),过，点P作PN (2)由(1)知，点M的垒标为（子，1则 ⊥1，垂足为N, 点P的坐标为 PM=PF, 所求的短形面软为(1十宁）)×2=，所 a2+b-1, PF=PN, 2 ∴.PM=√2PN. 求的五边形面积为1X2十号X1×十 4 {9-5=1,解得 则双曲线！ (4a2 D= 3 ∴|MN=PN. 2 ×（+×1=共 十2，解得t= 的渐近线方程为y=士 b x=土√3x.故 设P则= 因为矩形面积与S1面积的“经验值”之差 士4， 远C.] 的绝对值为号一号引-，而五边形 239