课时作业25 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(二十五)　双曲线的简单几何性质 [基础达标练] 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2　　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 解析：选C　将双曲线方程化成标准形式为－＝1，得2a＝4. 2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　) A． B．2 C． D．2 解析：选D　∵e＝＝＝，∴＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0. ∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2. 3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选D　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16. 所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 4．已知双曲线C：－＝1过点(， )，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　 ) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析：选A　∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a.所以双曲线的方程为－＝1.将点(，)的坐标代入双曲线的方程，可得－＝＝1.解得a＝1.故b＝.因此，双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A． 5．渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________，离心率为________． 解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 故可设双曲线的方程－y2＝λ(λ≠0)． 因为点A(2，－3)在双曲线上， 所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 所以a＝2，c＝＝2. 所以离心率为e＝＝＝. 答案：－＝1　 6．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________． 解析：双曲线方程可变为－＝1， 则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝. 又因为e∈(1,2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0. 答案：(－12,0) 7．已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________. 解析：因为双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±，所以＝x.故m＝－3. 答案：－3 8．分别求出满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点； (2)焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x，且顶点到渐近线的距离为1； (3)焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线． 解：(1)对于圆C的方程，令y＝0，得x2－6x＋8＝0.解得x1＝2，x2＝4，即圆C与x轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)．令x＝0，得y2－4y＋8＝0，此方程无解，即圆C与y轴没有交点．因此点(2,0)为双曲线的右顶点，点(4,0)为双曲线的右焦点． 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则a＝2，c＝4.所以b2＝c2－a2＝12. 从而双曲线的标准方程为－＝1. (2)由焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 所以其渐近线方程为y＝±x＝±x.解得a＝b. 由顶点(a,0)到渐近线y＝x的距离为1，得＝1. 所以a＝2，b＝a＝. 从而双曲线的标准方程为－＝1. (3)设所求双曲线的标准方程为－＝1(λ≠0)．由双曲线的一个焦点为(0,6)，可知λ＜0，且－λ－2λ＝36.解得λ＝－12.所以双曲线的标准方程为－＝1. [能力提升练] 9．(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 答案：AD 10．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：选B　∵C：－＝1(a＞0，b＞0)， ∴双曲线C的渐近线方程是y＝±x. 联立x＝a与y＝±x， 可得D(a，b)，E(a，－b)．∴|ED|＝2b. ∴△ODE面积为S△ODE＝a×2b＝ab＝8. ∵双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)， ∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝8， 当且仅当a＝b＝2时取等号． ∴C的焦距的最小值为8. 11．与双曲线－＝1有共同渐近线且过点A(3，－3)的双曲线的方程为________． 解析：设双曲线的方程为－＝λ，则 －＝λ. 从而有λ＝. 所求双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 12．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 解析：依题意，设＝2m，则＝3m＝，＝2a＋2m. 在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)·(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)． 所以＝4a，＝2a，＝＝3a，则＝5a. 故cos∠F1AF2＝＝＝. 所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2. 故e＝＝. 答案： 13．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程． 解：由题意知，椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8. ①当双曲线的焦点在x轴上时， 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)． ∴解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. ②当双曲线的焦点在y轴上时， 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)． ∴解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为 －＝1或－＝1. [素养拓展练] 14．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 解：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝2a＋|PF2|. 所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|， 即|PF2|＝2a时取等号． 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a. 因为|PF1|－|PF2|＝2a＜2c， |PF1|＋|PF2|＝6a＞2c， 所以1＜e＝＜3，即e∈(1,3)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$