课时分层检测(24) 双曲线及其标准方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十四）双曲线及其标准方程 …0 基础达标练0… .已知双商线C:2-号=1的右焦点为F, 1.与椭圆学+y=1共焦点且过点P(2)的 P是双曲线C的左支上一点，M(0,2),则 △PFM的周长的最小值为 双曲线方程是 ( )8.根据下列条件，求双曲线的标准方程， A若 B.3-y2=1 (1)焦距为2√6，经过点(-5,2)，且焦点在 c号- x轴上； (2)焦点为(0，-6)，(0,6)，且过点A(-5,6). 2.设F1,F2是双曲线C:2--1的两个焦 3 点，O为坐标原点，点P在C上且OP|=2, 则△PF1F2的面积为 ) A号 B.3 c D.2 3.(多法尼知点P在双向线C后-号=1上， F1,F2是双曲线C的左、右焦点，若； △PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是 ( A.点P到x轴的距离为号 9.已知定点A(一√3,0)，B(,0),动点P到两 定点A,B距离之差的绝对值为2√2. B.IPF.+IPF:l- (1)求动点P对应曲线C的轨迹方程； C.△PF1F2为钝角三角形 (2)过点Q(1,1)作直线与曲线C交于M,N 两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN D∠RPFE=S 的方程. 4.设FF,为双曲线 一y2=1的两个焦点， 点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则 △F1PF2的面积是 A.1 B. 2 C.2 D.√5 5.已知双曲线 -=1,焦点在y轴上， 若焦距为4，则a等于 6.已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交 点A,B都在某双曲线上，且A,B两点恰好 将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标 准方程为 157 班级 姓名 得分 …0 能力提升练 0… 色·如图所示，已知双曲线 1(多选)关于x,y的方程 y? =1 b2 =1(a>0,b>0)中，c= 里m2+2千4-m2 (其中m2≠4)表示的曲线可能是 ( 2a,F1,F2分别为左、右焦点，P为双曲线上 A.焦点在y轴上的双曲线 的点，∠F1PF2=60°，S△E,PF,=123,求双 B.圆心为坐标原点的圆 曲线的标准方程. C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为2√6的椭圆 2.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少 数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转 化为几何问题加以解决，例如，与 √(x-a)2十(y-b)2相关的代数问题，可以 转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的： 几何问题.结合上述观点，可得方程 √x2+6.x+13-Jx2-6.x十13|=4的解为 ( A士号 B.+⑤ 5 c D.+3⑤ 5 ,七知以曲线号-等=1的左，台熊点分别为 3.在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点： F1,F2 的距离的最小值为3十√3：②C的焦距为6； (1)若点M在双曲线上，且MF1·MF2=0, ③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为 求M点到x轴的距离； 4,这三个条件中任选一个，补充在下面的问 (2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点， 题中并解答该问题， 且过点(3√2,2)，求双曲线C的方程. 问题：已知双曲线C,-之=1， m 2m 求C的方程. 158所以y1十y?一 n2+g'4y-r9 2mn +|PF2I-2PF·|PF2=16, 又过点Q, m2+g' .PF1·PF2=2,则△FPF2的面积 代入①式得(27+m2)(n2-9)-2n(n+3) 故直线MN的方程为y-1=号(x一1)， 是号PF·PF:=1.] 即x-2y+1=0. mn十(n十3)2·(m+9)=0.解得n=25. :能力提升练 或n=一3（舍去）. [根据题意可知，双曲线的标准方程1.BC[对于A,若曲线表示焦点在y轴上 故直线CD的方程为x=mv十之' 3 的双曲线，则n2十2<0，无解，选项A错 为2-a3 -=1.由其焦距为4，得c=2,1 误；对于B,若曲线表示圆心为坐标原点的 即直线D注定点（是0） 1 则有c=2a+3-a=4,解得a=之] 圆，则n2十2=4一n2,解得n=士1，选项 B正确；对于C,若曲线表示焦点在x轴上 若{0，剥直线CD的方程为y=0,过点6号-言-1[由圆的方程r+y-4r 的双曲线，则4一n<0,所以m>2或m <一2，选项C正确：对于D,若曲线表示长 ( 9=0,令x=0, 轴长为2√6的椭圆，则2a=2√6，a=√6，则 得y2一9=0，v=士3， 综上，直线CD过充点(20） ,4-m>0, /4-m≥0， .圆与y轴的交点坐标为(0,3)，(0,1 m2+2>4-m,或 )n十2<4-n2,无 -3), 课时分层检测（二十四） :圆与y轴的两个交点A,B都在某双曲！ 2a=2√m2+2 2√4-m2=2a, 基础达标练 线上， 解，远项D错误.故选B、C.门] 1.C[由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c! ,.双曲线的焦，点在y轴上，且a=3, 2.C[由√x2+6.x+13-Wx2-6.x+13=4, =√尽，设双曲线的标准方程为 又A,B两点恰好将此双曲线的焦距三1 a=1 得√a+3)+(2-0P-√(a-3+(2-0 等分， 一4，其几何意义为平面内动点(x,2)与两 a>0,b>0),则有d+=c2=3,月 .c=9,即有b2=72, 定，点（一3,0），(3,0)距离差的绝对值为4 1 此双南线的标准方程为苦一号-1.] 平面内动点与两定点（一3,0），(3,0)距离 =1，解得。=2，=1，故所求双曲线2.2十42[设双曲线C的左焦点为F,则 差的绝对值为4的，点的轨迹是双曲线，由 2a=4, 的标准方程为号-=1.] PF-PF=2a. 题得)c=3, 解得a=2,b=5.所以 由题可知a=1,c=2 c2=a2+2, 2.B[设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦： .PF=2+PF1,F1(-2,0),F(2,0), 平面内动点与两定点（一3,0），(3,0)距离 点，则由题意可知F1(一2,0)，F2(2,0).又 .MF-2√E,△PFM的周长为MF+MP OP=2,所以OP=OF=OF2,所1 差的绝对值为4的点的轨选方程是 以△PFF:是直角三角形，所以S△F,: +PF-2√2+2+MP+PF. 当M,P,F三点共线时，MP+PF最 y=2, =1.联立 解得x= n an45=3(共中0= 3 小，最小值为MF=2√2， 5 =1 4 5 '.△PFM的周长的最小值为2十4√②.] 65,故选C] ∠FPF2),故选B.] 8.解(1)焦点在x轴上，且c=√6， 5 3.解若选①，因为m>0,所以a2=n,b2= 3.C[国为双商线C的方程为需- 一设双曲线的标准方程为 =1, 91 6-a 2,c2=a2+}=3n,所以a=√m,c= =1, 0a2<6. √3m.因为C的左支上任意一，点到右焦点 所以c=√16十9=5. 的距离的最小值为a十c,所以√m十√3m 1 又：进点(-52心9-g。=1 又因为S△m1R:=zX2cn=2X 解得a2=5或a=30(舍去). =3十3，解得m=3,故C的方程为写 10yp=20, 所以yp=4,选项A错误； “双画线的标准方程为号一-1。 6 =1. 将m=4代入C后一号 (2)由已知得c=6,且焦点在y轴上 9=1, 若选②，则c=3. 点A(一5,6)在双曲线上， 若m>0,则a2=m,形=2，c2=a2十形 得后号-1，所以-婴 42 ∴.2a=|√(-5-0)2+(6+6) =32, /(-5-0)2+(6-6)21=|13-51: 所以c=√3m=3,解得n=3, 不妨取点P的坐标为（婴，可知PE =8, 则a=4,=c2-a2=62-4=20. 则C的方程为号号 1 （碧-可)+=由双南线的定 若m0,则a2=-2n,b2=一m,2=a2+ 31 之所求双身镜的标准方程是若需-引 b2=-3m,所以c=√一3m=3,解得m= 义可知PF1=PF,十2a=1号+8= 9.解(1)由题意知，PA一PB=2√2 -3. 3 AB=2√5，故动点P的轨迹为焦，点在 号所以PF十PF:=号+是-号， x轴上的双曲线，且a=√2，c=√5， 则C的方程为一写一1， 若选③，因为C上一点到两焦点距离之差 远项B正确； b=√2-a=1,故曲线C的方程为 1 的绝对值为4，所以2a=4,即a=2. 对于上面点P,在△PFF2中， -y=1. 若n>0,则a2=n,所以a=√m=2,解得 PF,=>=10>PF,=号， (2)设M(x1,y),N(x,),满： m=4,则C的方程为号-苦=1： 且cos∠PF2F1 -=1， 2 若n<0,则a2=-2m,所以a=√一2m PE+FF-PF 足 =2, 2PF。FF2 则∠PFF为钝角，所以△PFF,为钝角 解得m=一2，则C的方程为号一专-1 三角形，选项C正确；Cos∠F1PF2= 两式相减得矿，主=坊一，即4解由题意得PF-P℉：1=2a, 2 PE2+PF,2-FEF2-319≠ 1 在△F1PF,中，由余弦定理得 2 PFPF.T 487≠2 (西-（十）=(y-y)(y十)， 2 cos 60-PF PE:EF: 所以∠F,PF:≠子，选项D错误，故选 x1x2-1, 2 PF PF2 2 (PF-PF)2+2PF PF2-FF2 B、C. 因为点Q为MN的中点，故 2PF PF, 4.A[由双曲线的定义得|PF一PF,| y1十y2 2 =1, .PF1·PF2=4(c2-a2)=4. =4,F1F=2√5，：PF2+PF22: 1 =FF2,(PF-PF)2=PF y二当 x1一x 2 ,即直线MN的斜率为2， ∴Sag,m,=PEPE,·sim60 237 26.5=56. : (n-m)2=4a, 即)42=(n-n)2+, 则有是一-1解得=3-2 ∴.√5=12√5，=12. (m=16, (a2+b=c2, 由c=2a,c2=a2+b,得a2=4. e2=a2十4，由离心率e=C=√尽，得a= 所以双面线的标准方程为专一苦-1 “双曲线的标准方程为 y 412=1. √2.故选D. (2)△MF1F2是钝角三角形.不妨设M 5.解(1)如图所示，不 v 点在双曲线的右支上，则有MF1一 妨设M在双曲线的 6.号只1由题意，得a2三m,=m 1MF,|=2√5，又|MF+|MF,|= 右支上，M点到x轴 十6，则实轴长为2√m,虚轴长为 6√3，故解得MF=4√5，MF= 的距离为h,MF· FO hF2 x 2√m十6，由题意有2√m×2=1 2√3，又F1Fg=2√5，因此在△MF1F MF,=0,则MF⊥ 2√m+6,解得m-2,代入 y 中，边MF1最长，而cos∠MF,F1= MF2,设MF=m,MF:=, MF:+FF:-MF0 由双曲线定义，知m一n=2a=8,① 又n2+12=(2c)2=80,② 1,得双南线的标准方程为号-苦-1.] 2·MF2·FF。 所以∠MFF为钝角，故△MF1F。为钝 由①②得1=8， 7.3[依题意，得双曲线的左焦，点F的坐{ 角三角形 m=4=Erh 标为(-2,0)，直线AB的方程为y=!能力提升练 h=2⑤ 9+2. 1A[起x=c代入三- =1,得y 5 (2)设所求双曲线C的方程为16一入 由 3 得8x2-4x-13=0. r-x 4于1(-4<A<16),由于双曲线C过！ 3 =1, 效南线的一条新近线方程为y一合， 设A(,y1),B(x2y2), 13 即bx- av=0,则d=c- d2= 点(3√2,2)， 则x1十x2= √a+ 18 ∴164干 =1,解得1=4或1=-14 bc+b2 (舍去)， 所以AB=+() ·x1一x2 √a+b2 所求双曲线C的方程为后一号-1 故d1+d山= Ibc-b⊥+bc十B √[+(]小✉+产-4 /a2+b /a2+b2 课时分层检测（二十五） bc-P+bc+位=2b=6,故b=8. 基础达标练 -+)()-(号川 e2 la2+b 1,C[双曲线方程可化为标准方程： =2, =3. 苦=1a=1,b=尽，双商线的渐近线8 得a2=3, 32 双曲线号一=1的右项点A(3, 方程为y=士名，即y=士] 所以双曲线的方程为号一号-1.门 0),右焦点F(5,0),渐近线方程为 4 12.x- =1「不妨设A在第一象限.由 Q 2.A[依题意知，焦点在x轴上，c=4, y=3x a 4 题意知，OA所在直线的倾斜角为∠A(OC =2,.a=2 不坊设直线FB的方程为y=3(x一5)， 的一半，即∠AOB=60°，故b=tan60°= 、=c2一a2=12,故双曲线的方程为 （工一5）代入双曲线方程整理，得 将y一3 √5，又点B(2,0)为双曲线的焦，点，所以a x2-（x-5)=9,解得x=1, y=-32, 十b2=4>4a2=4→a=1,故b=√3.所以 15' 3.D[法- 由离心率e=￡=2，得c= 所以（吕，） 双线的方程为广-号-1] a 2a,又b=2-a2,得b=a 3厄[由号-花=1可得B队4,0)，右准线 所以双曲线C的渐近线方程为y=士x 所以S△AFB=立 AFyB=(c-a) 方程为x=1,设C(1,业)，∠ACB=2a,则 由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 图C:(x-1)2+(y-)=1BC2=9+ 1中司2反.故选D. 4 的渐近线的距离为 1=×6-3×器-器] 直钱1的方程为工十义=1，即b十 呢，由题意可得S%cB=a(9十呢)=严 2 法三高心率。区的双尚线是等轴双南9解 3 9π 又有tana=一 线，其渐近线方程是y=士x,由点到直线 ay-ab=0. ,即tan2(9+呢) 的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距 于是有b:0+a·0-ab=5 3 ,得y℃=一3，则直线BC的方程为y 4 c, 离为 =2√2，故选D.] Va2+b2 /1+1 y=x-4. 4.BD[:双商线C: 所以ab= 5,两边平方，得心6= 3c. =x一4，联立 得p=3(W瓦 -y2=1,∴a2=3, 4 412 又2=2-a2, BP BP b=1,.c2=a2十b=4,.c=2,.双曲 ∴.16a”(c2一a)=3c,两边同时除以a, 一2)，所以 CP 1 BC-BP 线的实轴长是2a=2√3，虚轴长是2b=2,1 得3e-16e2+16=0,解得e2=4或e2= A错误：焦距为2c=4,B正确：离心率为 VC-VP =√2.] C=23,C错误；渐近线方程为y= 子又ba, !4解(1)当n=4时，双曲线方程可化为 a 3 a >2,则e=2.故双 兮，D正确.故选B,D.] 1· 45 曲线的离心率为2. .a=2,b=√5，c=3, 5D。拉PE人后E由10，解（1)国方程可化为号+苦-1，焦 ∴.焦点坐标为（一3,0），(3,0)， ∠F1PF2=60°，△F1PF2的面积为4√3，· 顶点坐标为（一2,0），(2,0)， 1-m=2a, 点在x轴上，且c=9一4=√5， 得4c2=m2+2-2 mncos60, 渐近线方程为y三土号工 、故设双曲线方程为一芳1(a>0, 之msin60°=43， b>0), 2)因为e= =mt5=1+5 a2 ,e∈ 238