3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程（一）(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 第一课时　双曲线及其标准方程（一） 1.A　当｜PF1｜－｜PF2｜＝±3时，｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝3＜｜F1F2｜＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P点的轨迹是双曲线. 2.B　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，故右焦点坐标为（，0）. 3.D　双曲线－y2＝1的焦点为（±，0），设双曲线的方程为－＝1（a，b＞0），可得a2＋b2＝3，将点（，）代入双曲线方程可得－＝1，解得a＝1，b＝，即所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 4.B　将直线的方程化为y＝－x－，可知即将方程ax2－by2－c＝0化为－＝1，由可得＜0，故方程ax2－by2－c＝0表示焦点在y轴上的双曲线.故选B. 5.C　由双曲线C：－＝1，得a2＝4，即a＝2，由双曲线的定义知｜F1P｜－｜PF2｜＝2a＝4，｜F1Q｜－｜QF2｜＝2a＝4，｜PQ｜＝｜PF2｜＋｜QF2｜，所以｜F1P｜＋｜F1Q｜－｜PQ｜＝｜F1P｜＋｜F1Q｜－（｜PF2｜＋｜QF2｜）＝｜F1P｜－｜PF2｜＋｜F1Q｜－｜QF2｜＝8.故选C. 6.BCD　若方程＋＝1表示椭圆，则解得1＜t＜3且t≠2，故A错误；若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则解得2＜t＜3，故B正确；若曲线C为双曲线，则（3－t）·（t－1）＜0，解得t＜1或t＞3，故C正确；若曲线C是圆，则解得t＝2，故D正确.故选B、C、D. 7.AB　由于b＝a，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入（1，1）点，得a2＝，此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1. 8.6或－6　解析：若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，即k＝6.若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋（－）＝32，即k＝－6. 9.9　解析：由题意得，2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2，又｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，所以｜5－｜MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9，当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不满足题意，故舍去；当｜MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意，所以｜MF2｜＝9. 10.解：（1）∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），由其焦距为10，得2c＝10，c＝5， 又该双曲线过点（0，4），则a＝4， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， ∴双曲线的标准方程为－＝1. （2）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 11.A　依题意，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），因为｜BC｜＝2，则a＝1，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以双曲线与圆O在第一象限内的交点坐标为（，），于是（）2－＝1，解得b2＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.故选A. 12.B　如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵·＝0，∴MF1⊥MF2，设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线定义，知m－n＝2a＝8　①，又m2＋n2＝（2c）2＝80　②，由①②得mn＝8，∴mn＝4＝｜F1F2｜·h，∴h＝. 13.－2　解析：因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.由已知得F1（－3，0），当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2. 14.解：（1）当t2＞0，t2－1＞0且t2≠t2－1， 即t＞1或t＜－1时，曲线C为椭圆；当t2＞0，t2－1＜0，即－1＜t＜0或0＜t＜1时，曲线C为双曲线. （2）证明：由（1）可知，当t＞1或t＜－1时， 曲线C是椭圆，且t2＞t2－1， 因此c2＝a2－b2＝t2－（t2－1）＝1， 所以焦点为F1（－1，0），F2（1，0）； 当－1＜t＜0或0＜t＜1时，双曲线C的方程为－＝1， 因为c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1， 所以焦点为F1（－1，0），F2（1，0）. 综上所述，无论t为何值，曲线C总有相同的焦点. 15.解：（1）因为｜｜·｜｜sin（π－θ）＝2，｜｜·｜｜cos θ＝m， 所以tan θ＝， 又＜m＜4，所以1＜tan θ＜4， 即tan θ的取值范围为（1，4）. （2）设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）， Q（x1，y1），则＝（x1－c，y1）， 所以S△OFQ＝｜｜·｜y1｜＝2， 则y1＝±，又·＝m. 即（c，0）·（x1－c，y1）＝（－1）c2， 解得x1＝c， 所以｜｜＝ ＝≥＝2， 当且仅当c＝4时取等号，｜｜最小， 此时Q的坐标为（，）或（，－）. 因此 所以 所以双曲线的标准方程为－＝1. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　双曲线及其标准方程（一） 1.已知定点F1（－2，0），F2（2，0），则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是（　　） A.｜PF1｜－｜PF2｜＝±3 B.｜PF1｜－｜PF2｜＝±4 C.｜PF1｜－｜PF2｜＝±5 D.｜PF1｜2－｜PF2｜2＝±4 2.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（　　） A.（，0） B.（，0） C.（，0） D.（，0） 3.与双曲线－y2＝1有公共焦点，且过点（，）的双曲线标准方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1 4.已知直线ax＋by＋c＝0在平面直角坐标系中的位置如图所示，则方程ax2－by2－c＝0表示（　　） A.焦点在x轴上的双曲线 B.焦点在y轴上的双曲线 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆 5.设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于P，Q两点，则｜F1P｜＋｜F1Q｜－｜PQ｜＝（　　） A.5　　　　B.6 C.8　　　　D.12 6.〔多选〕（2025·泉州月考）若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个选项中正确的是（　　） A.若1＜t＜3，则曲线C为椭圆 B.若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则2＜t＜3 C.若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞3 D.曲线C可能是圆 7.〔多选〕过点（1，1），且b＝a的双曲线的标准方程可以是（　　） A.－y2＝1 B.－x2＝1 C.x2－＝1 D.y2－＝1 8.已知双曲线方程为2x2－y2＝k（k≠0），焦距为6，则k＝　　　　. 9.双曲线－＝1（a＞0）的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且｜MF1｜＝5，则｜MF2｜＝　　　　. 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在y轴上，焦距为10，且经过点（0，4）； （2）a＝4，经过点A（1，－）. 11.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为（　　） A.x2－＝1 B.2x2－y2＝1 C.x2－＝1 D.x2－＝1 12.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线上，且·＝0，则M点到x轴的距离为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 13.已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为　　　　. 14.已知曲线C：＋＝1（t≠0，t≠±1）. （1）求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； （2）求证：不论t为何值，曲线C总有相同的焦点. 15.已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点. （1）设＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，｜｜＝c，m＝（－1）c2，当｜｜取得最小值时，求此双曲线的标准方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $