3.2.1 双曲线及其标准方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

2.B[依题意得，a2=9,=4,c2=5,因 因为A(2,1)不在直线MN上， 一2（舍去）. 此以FF。为直径的圆的方程为x2十y 所以2k十m-1≠0，故2k+3n+1=0,·因此a的值为1. =5. k≠1. :对点训练 /x2+y2-5, 9 于是MN的方粒为y=:一号) 1.B[方程对应的图形是双曲线， /.x2= 3 {后+-1， 得】 v-16 又点P在！ (k≠1). -5-0>a即0. 1 第一象限，P35,4],又F(-5, 所以直战MN过点P(号一） 支{2解号5浅-2<2] 55 若直线MN与x轴垂直，可得N(51,2.AB[由题意得(m+)(3m-n)>0,解 45-0 得一m2<n<3n2,又由该双曲线两焦点间 5 由AM.AN=0得(x,-2)(五-2)十(y 的距离为4，得n2+n十3m2-n=4,即m 0),∴.kPF, ,故远B. 35+5 2 =1,所以一1<n<3.故选A、B.] 5 -1)(-y-1)=0. !题点二 3.B[由题意，得2c=2,即c=1,a2-形= 又号+誉=1，可得8-8a十4=心 [典例]解(1)法一若焦点在x轴上， 1,普点(1，受)代入辅周方粒，可得之+ 解得x1 号我百=2以合) 则设双曲线的方程为三 -若-1a>0, b>0) 2亦-1，解得a=区，6=1，即精圆的方程 1 比时直线MN过点P(号，一) 由于点P(3,)和Q(-号在双 为号+y-1.设B).则椭圆G在 令0为AP的中点，即Q(告吉) 线上， 9225 点B处的切线方程为受x十必y=1,令x 若D与P不重合，则由题设知AP是： a216 =1, Rt△ADP的斜边， 所以) =0,得%=，令y=0,可得=2，又 256_25=1, (9a2b 3 点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>】 故Q=AP-29 若D与P重合，则DQ=AP. 解得一16·（含去 09>0,号+6=1，所以5am= 1 =-9 若焦，点在y轴上，则设双曲线的方程为 综上，存在点Q(寺，号)）俊得DQ为 1 2 1 2+≥ a-家=1(a>0,b>0), 定值 2y2x2 225 9 双曲线及其标准方程 16a =1, 一·当-区，即SAn≥瓦，当且仅 3.2.1 22w4 将P,Q两点坐标代入可得 必备知识·自主梳理 当譬-一合，即点B的坐标为(， 1.差的绝对值非零常数焦点焦距 解得a=9, 即时小练 =16, 号)时，△0CD的面积取得最小值2，故！1.(1)×(2)×(3》为 所以双曲线的标准方程为 x 选B.] :2.D「由已知PM-PN=2=MN, 916-1. 4.3:5[由椭圆的光学性质得到PM平分： 所以点P的轨迹是一条以N为端点的射！ 线NP.故远D.] 综上，双曲线的标准方程为号-石一1， ∠FPE所以-器由PEaC周为F:满双自我的定 法二 设双曲线方程为n.x2十y2=1(nn 义知A、C中动点P的轨迹为双曲线，故！ 0), =是，PF,+P,=4得到PE= 选A、C.] P,Q两点在双曲线上， (二) 225 号故EM:EM=3:5] 19n十 F1(-c,0),F(c,0) F1(0,一c),F2(0, 16n=1, 16 解得 c)a2+6 25 5,解(1)由题设得4 9m+25n=1, 0 等千在=1，即时小练 a 1 1.(1)×提示友曲线标准方程中，a>0,1 ∴，所求双曲线的标准方程为 =立 b>0,没有大小关系 916-1. 解得a2=6,=3. (2)×提示友曲线中c2=a2十b,椭圆： (2)法一 中a2=形十c2. 依题意可设双曲线方程为哥 所以C的方程为后+苦-1 2.CD3.A4.16 :关键能力·合作探究 b2 =1(a>0,b>0).则有 (2)证明：设M(x1,y),N(x2,y). 若直线MN与x轴不垂直， !题点一 1a2十=6， 设直线MN的方程为y=kx十n, [典例]解(1)若焦点在x轴上， 25 是-1，解得5 1=1, 代入号+学-1得(1+20)2+hmr+ 则方程可化为受一苦-1， (a2 ·所求双曲线的标准方程为二一Y=1 5 2m2-6=0. 2-点0 Akm 所以会+=3，即=6， 法二焦点在x轴上，C=√6， 于是x1十x= 1+2k21 :设所求双曲线方程为云一。兰=1（共 由AMLAN知AM.AN=0, 若焦点在y精上，则方程可化为兰 一 中0λ6). 故(x1-2)(x2-2)+(y-1)(y2-1): 2 双曲线经过点（一5,2）， =0, =1 可得(k十1)x1x2十(km一k-2)(x1十x) 254 +(m-1)2+4=0. 所以一+（一) ）=32,即k=-6. 天6-=1A=5或入=30（会去）. 格而代入上式可得+12安-（如 综上所述，k的值为6或一6. “所求双曲线的标准方程是 5y-1. (2)由双曲线方程知焦，点在x轴上且c2一1对点训练 --2》·4十(m-10+4-0 a+2(a>0). 1.C[b2=c2-a2=72-52=24,双曲线的 由椭圆方程，知c2=4一a2,所以a十2= 焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故 整理得(2k十3m十1)(2k+m-1)=0. 4-a2,即a2十a-2=0,解得a=1或a= 远C.] 210 3一方=1[由题意得，双曲线的焦点 √3-（-3)]+1平=√37.故AP+3.2.2双曲线的简单几何性质 |AF:的最小值为√37-2√5，故选C.] 在x轴上，且c=2√2 必备知识·自主梳理 3. 「圆F,:(x+(一) 设双曲线的标准方程为 a2 =1(a> 9。 v一a或y≥ax轴、y轴坐标原点 4 0,b>0) A(-a,0),A(a,0)A1(0,-a),A(0, 5)2+y2=1, 则有a2+形-2=8,9 10 a）2a2bab 6 =1,解得 圆心F(-5,0),半径r1=1. !即时小练 a2=3,=5. 圆F2:(x-5)2十y2=42, :1.A[由双曲线方程可知顶点在x轴上，又 圆心F,(5,0),半径r2=4. 故所求双曲线的标准方程为 a=25,a=5,.顶，点坐标为（士5,0）， 3 设动圆M的半径为R, 故选A.] =1.] 则有MF=R+1,MF,=R+4, 2.D[由题意知2a=2,2b=4,∴.a=1,b= 题点三 ,∴.MF|-|MF=310=|FF2. 2,.a=1,形=4，又双曲线的焦点位置不 角度1 ∴，点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲！ 确定，故选D. [典例]解双向线的标准方程为号 y 3 (二) 16 线的左支，且a=号c=5,于是=c2- =1, a2-91 1云±古=0渐近线2.等轴2 故a=3,b=4,c=√a2+6F=5. 4 :即时小练 (1)由双曲线的定义得MF,一MF,1 故动圆国心M的轨远方程为 y 9 =11.D[因为曲线 =1(a>0,b>0)为 y =2a=6, 91 a2- 又双曲线上一，点M到它的一个焦点的距 等轴双曲线，所以a2=b,所以c= 离等于16， x≤- ) √a+形=√2a,即焦，点的坐标为（士√2a, 假设点M到另一个焦点的距离等于x, 0),其渐近线方程为x士y=0,因为焦点到 则16一x=6,解得x=10或x=22. 素养演练·提升技能 故点M到另一个焦点的距离为10或22. ·1.C「由题意，知MN=4,当a=1时，· 渐近线的距离为2，所以=a=2,故 ② (2)由号-若=1得a=3,4,6=5 y PM-PN=2a=2<4,此时点P的轨 迹是双曲线的一支：当a=2时，PM 双曲线的标鱼方程为一—1，px” 由双曲线的定义和余弦定理得 PV|=2a=4=MN,点P的轨逑为以！ PF,-PF=6, V为端，点沿x轴向右的一条射线.故· y=2.故选D.] 1F1F212=|PF2+PF22-2PF1|: 远C.] 2生王令-g =0,解得y= PFg·cos60°， 2D厂因为双曲线方程为x2一y2=16,化为 3 所以10=(PF一PF,)2+PF1· PF,, 标准方程得后-后=1，即。=4， (三) 所以PF·PF,=64, .|川PF-PF,11=2a=8,而点P在双： 焦距实轴长(1，十∞) 所以Sa,m,=合PF·PF· 曲线左支上，于是|PF|<PF,即时小练 .PF1-PF2=-8.故选D.] 1.(1)/ sin∠FPF aBCD[A籍误，当=号时，曲线C表示 (2)×提示椭圆、友曲线的离心率的 =号×64×5 -165. 取值范围分别为0<e<1,e>1. 2 圆；B正确，若C为双曲线，则(4一t)(t一 角度2 1)0,11或>4：C正确，若曲线C2C[由双曲线 43 =1,得a2=4,b2= 为焦点在x轴上的椭圆，则4一>t一1>！ [典例]解由sinB-sinA=之sinC及 3,∴.c2=a2+b2=7,∴.a=2,c=7,∴.e= 0,'.1t 正弦定理， 号：D正痛，若曲线C为焦点 =夏，故选C] a 2 可得6-a=乞，从而有CA-CB= 在y轴上的双曲线，则40>4. 1-1>0, 故远B、C、D.] a[由题言可得，-，得心=16， a ABI-2ABI, 苦-1[设双向线的标准方程为 又a>0,所以a=4.] 由双面线的定义知，点C的轨选为双曲线4： a2 (四) 的右支（除去顶点）， 即时小练 y a=√2，c=22,∴.=c2-a2=6, =1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),1.(1)×(2)/(3)/2.A 品顶点C的轨迹方程为号-发1(x> C(2,3), :3.y=2士2四[设直线1的方程为y 3 6 ,4=a2+b 2). ∴.49 解得=1， 2x十m,A(x1,y),B(x2,为.把y=2x十 =1, la b 1=3, 对点训练 m代入双曲线的方程2x2一3y2一6-0，得 10x2+12m.x+3m2+6=0,由△>0，得m 1.A[依题意得，a=1,b=3,因此c=√/10， 图为PF=3∈(c-a,a+c),所以点P 双曲线的标准方程为x2一 3 =1.] √10或m>√10.故x1十x2= 6 只可以在双曲线的左支上，因此PF一 一y=1[由题意得，双曲线的焦点在 PF,=-2,即3一PF,=-2,所以1 4 ①，1西=3m6②.由已知，得AB 0 PF2=5,故远A.] x轴上，且FF,=2c=2√5. 2.C[因为AF 由双曲线的定义知，PE一PF, =(1十4)[（十x)2-4x1x2]=16③. AF,=25, =2a, 杞①②代入③，解得m=土√②，满足题 P(3,1) 3 ∴.AF|=AF 得PF12-2PF11·|PF2|+PF2: 2√5.AP+AF =4a2, 意，六直线1的方程为y=2x士30] =AP+AF- 由PF.PF=0知，PF1⊥PF2, 关键能力·合作探究 2√5，所以要求AP ∴.PF1I2+PF12=FF22=20. !题点一 十AF。的最小值，只需求AP|十AF: 又|PF·PF2=2,a=4 :[典例]解将9y2一4x2=一36化为标准 的最小值，如图，连接F,P交双曲线的右！ 又c=√5，∴.=c2-a2=1, 支于点A。,当点A位于点A。处时，AP1 双向找的标准方程为号-少-1门 方程为号一-1，即一 32=1,a 十AF最小，最小值为PF,|= 3,b=2,c=√13. 211数学选择性必修第一册 已知椭圆C:花十a>6>0)的离心率为 课堂小结 2 ，且过点A(2,1). 重要思想与方法 (1)解决直线与椭圆位置关系最基本的方法是利用直线方 (1)求C的方程： 程与椭圆方程联立后所得方程的判别式，当直线过定点时， (2)点M,N在C上，且AM⊥AN,AD⊥MN, 可利用点与椭圆的位置关系，但需注意其并非是充要条件， D为垂足.证明：存在定点Q,使得DQ|为 (2)解决椭圆的中点弦问题的三种方法 定值 ①根与系数的关系法：②点差法：③中点转移法 椭圆的 范围 简单几 何性质 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 椭圆与x轴、y轴的交点 直线与椭 顶点 圆的位置 长轴、短轴 关系 离心率 e=&且0<e<1 温馨提示 请做课时分层检测（二十三） 3.2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能 运用标准方程解决相关问题 【素养要求】1.通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养.2.通过求解双曲线的方程，提升数 学运算素养。 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)双曲线的定义 (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,一4)的距离之 1.文字语言 差等于6的点的轨迹是双曲线. () 平面内与两个定点F1,F2的距离的 (3)平面内到点F1(0,4),F2(0,一4)的距离之 等于 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线： 双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ,两焦 点间的距离叫做双曲线的 2.动点P到点M(1,0)的距离与点V(3,0)的距 2.集合语言 离之差为2，则点P的轨迹是 设M是双曲线上任意一点，双曲线的定义用集： A.双曲线 B.双曲线的一支 合语言表示为： C.两条射线 D.一条射线 P={M|11MF1|-1MF21|=2a,0<2a<3.(多选)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),在平面 |F1F2|. 内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线 的是 ( 即时小练 A.|PF1|-|PF2|=±3 1.判断正误 B.IPF1|-|PF2|=±4 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数（小于： C.|PF1|-|PF2|=士2 两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( D.1PF1I2-|PF22=士4 88 第三章圆锥曲线的方程 (二)双曲线的标准方程 (2)在双曲线标准方程中，a,b,c之间的关系与 焦点在x轴上 焦点在y轴上 椭圆中a,b,c之间的关系相同. () 标准方程 2 =1(a>0,b>0) 62 =1(a>0,b>0) 2.(多选)与椭圆号+y2=1有共同焦点的双曲线 方程是 图形 -y2=1 B.y2、x2 =1 -y2=1 D.x2、 21 焦点坐标 a,b,c的 :3.若方程3十2=1，kR表示焦点在x轴 关系 上的双曲线，则k的取值范围是 A.-3<k<-2 B.k<-3 即时小练 C.k<-3或k>-2D.k>-2 1.判断正误 :4.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y二 (1)双曲线标准方程中，a,b的大小关系是a>b. n9=1 的一个焦点，则m= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一利用双曲线的标准方程求参数 /方法技巧/ 方程表示双曲线的条件及参数范围求法 5 [典例]求满足下列条件的参数的值 对于方程十=1，当mm<0时表示双 m n 求k的值； 曲线，进一步，当m>0,n<0时表示焦点在 =1与双曲线-号=1有相 x轴上的双曲线；当m<0,n>0时表示焦点在 a 2 y轴上的双曲线 同的焦点，求a的值 （2)对于方程-y=1,当mm>0时表示双 [听课记录] m n 曲线，且当m>0,n>0时表示焦点在x轴上 的双曲线；当m<0,n<0时表示焦点在y轴 上的双曲线 (3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范 围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方 程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建 立不等式（组）求解参数的取值范围： 对点训练 1已知方程，2 k-5k-2 =1对应的图形是双曲 线，那么的取值范围是 A.k>5 B.k>5或-2<k<2 C.k>2或k<-2 D.-2<k<2 89 数学选择性必修第一册 (多选尼知方程 =1表示双曲 3m2-n 对点训练 线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取 :1.已知双曲线的a=5,c=7,则该双曲线的标准方 值可以是 ( 程为 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 题点二 求双曲线的标准方程 B y2 I2 [典例] 根据下列条件，分别求双曲线的标准 25241 方程， x2 1 (1)经过点P(3,)Q(-,5列： y2 0或 x2 D 2524 524 =0 (2)c=√6，经过点（一5,2），焦点在x轴上 [听课记录] 2.以椭圆后+芳=1长轴的端点为熊点，且经过 点(3，√10)的双曲线的标准方程为 题点三双曲线的定义及其应用 角度1双曲线中的焦点三角形问题 [典例门已知双曲线 令一长-1的左、右焦 916 点分别是F1,F2 (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一 个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且 ∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. [听课记录] …/方法技巧/… 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的 方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方 程，然后求出a,b的值.若焦点位置不确定，可 按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此 方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定 点，可设其方程为mx2十ny2=1(mn<0),通 过解方程组即可确定m,,避免了讨论，从而 简化求解过程. 90 第三章圆锥曲线的方程 /方法技巧/ /方法技巧/ 焦点三角形问题的解法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 在解与焦点三角形（△PF1F2)有关的问题时， 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程； 一般地，可由双曲线的定义，得焦半径|PF1|, (2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应 |PF2的关系式，或利用正弦定理、余弦定理， 的方程. 得PF1,|PF2的关系式，从而求出|PF1, 对点训练 |PF2.但是，一般我们不直接求解出|PF1, PF2,而是根据晋要，把1PF十PF,,1.设F,F,分别是双间线2-号=1的左右焦 |PF|-|PF2|,IPF1I·|PF2看作一个整 点.若点P在双曲线上，且|PF1|=3,则PF2|= 体来处理 角度2利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程 A.5 B.1 C.3 D.1或5 [典例]在△ABC中，已知A(-2√2,0)，B(2√2， 2已知F,F2分别为双曲线装 一y2=1的左、右 4 0,且内角A,B.C满足snB-mA=2imC求 焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线 顶点C的轨迹方程. 的右支上，则|AP|十AF2|的最小值为() [听课记录] A.√37+4 B.√37-4 C.√37-25 D./37+25 3.如图所示，已知定圆F1:x2+ y2+10.x+24=0,定圆F2:x2 +y2-10x+9=0,动圆M与 定圆F1,F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程 为 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.动点P到点M(1,0)及点N(5,0)的距离之差： C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1< 为2a,则当a=1和a=2时，点P的轨迹分： 别是 K号 ( A.双曲线和一条直线 D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 B.双曲线和一条射线 t>4 C.双曲线的一支和一条射线 :4.如图所示，已知双曲线以长方 D.双曲线的一支和一条直线 形ABCD的顶点A,B为左、 2.P是双曲线x2-y2=16左支上一点，F1,F2分 右焦点，且双曲线过C,D两顶 别是左、右焦点，则|PF1I一PF2|=( 点.若AB=4,BC=3,则此双 A.4 B.-4 C.8 D.-8 曲线的标准方程为 3(多选)已知方程，十二1表示的曲线为 y2 5.已知双曲线的两个焦点分别是F1(一√5,0)， F2(5,0),P是双曲线上一点，且PF1·PF2=0, C.给出以下四个判断正确的是 PF1·|PF2=2,则双曲线的标准方程为 A.当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B.当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线 91 数学 选择性必修第一册 课堂小结 定义 焦点、焦距 双曲线及其标准方程 焦点在x轴上 重要思想与方法 (1)双曲线的定义式为1川PF-|PF21|=2a(2a<FF2|) 标准 焦点在y轴上 方程 (2)用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所 求 定义法 在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a,b,c的方程 解 待定系数法 组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或 用形如m.x2+ny2=1(mn<0)的形式求解」 温馨提示 请做课时分层检测（二十四） 3.2.2 双曲线的简单几何性质 【课标要求】1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.理 解直线与双曲线的位置关系.4.会求解有关弦长问题： 【素养要求】1.通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.2.通过运用双曲线的方 程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)双曲线的范围、对称性和顶点 :(二)双曲线的渐近线 标准方程 =1(a>0,b>0)》 =1(a>0,b>0) 1.渐近线 62 范围 x≤-a或x≥a,y∈R ,x∈R 般地，双曲线2一2 =1(a>0,b>0)的两支 对称性 对称轴： :对称中心： 性 顶点坐标 向外延伸时，与两条直线 逐渐接 质 实轴：线段A1A2,长：；虚轴：线段B1B2,长： 近，我们把这两条直线叫作双曲线的 莎 :半实轴长： ;半虚轴长： 双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 2.等轴双曲线 即时小练 实轴和虚轴等长的双曲线叫做 双曲线， 1双自骏 =1的顶点坐标是 -9 其离心率e= A.(±5,0) 即时小练 B.(士5,0)或(0，士3) C.(士4,0) 1,已知双曲线 62 =1(a>0,b>0)为等轴双曲 D.(士4,0)或(0，士3) 2.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是 线，且焦点到渐近线的距离为√2，则该双曲线的 ( 方程为 A2-y2= B.x2-y2=1 B.y2-2 1 C.x2-y2=√2 D.x2-y2=2 一6三1或一之2 4161 y2 2,双曲线。号 =1的两条渐近线的方程为 =1或y2- 4 41 92