课时分层检测(6) 用空间向量研究直线，平面的位置关系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

(a-1,b-1,1),B0=(m-1,m-1,1). BA.CB :6.4[a∥B,∴存在实数，使(1,2，-2) 因为BP⊥AE,BQ⊥AE, '.cos(BA,CB>= √30 =λ(-2，-4，k),.k=4.] BA CB 10 :7.(1,0,-1)(答案不唯一）[易得O(0,0, =0, 所以 0.A主=-(m-1)+(m-1D- 故A,B与B,C所成角的余孩值为Y圆 0),C(0,1,0),B1(1,1,1),∴.(C=(0,1 =01 由(1)中建立的坐标系得C,(0, 0),OB=(1,1,1).设n=(x,y,z),OC (3)证明 ·n=y=0,OB1·n=x十y十x=0,故y= b-a= 解得 ’所以P西=(n一b,n一， 0.2.N1,01.M合2） 0,x=一，取x-1,故x=一1.平面 1 OCB1的一个法向量为n=(1,0,-1)(答 n-m= 2 案不唯一).] 0),又DB=(1,1,0),且P年DB,所以PQ i-(）G=1. 、 与BD的位置关系是平行，由以上分析可！ -1),B=(1,-1,1) [设M(x,y,x),因为AB 知，b-a= 2,AP=√(a-1)+= GiB成=号×1+ 2 ×(-1)+0× =(1,-1,0),BM=(x,y,x-1),CM= (x-1,y-2,十3)，由题意，得 1=0, a-+(e+）-√22-a+哥 x-1-(y-2)=0, CN·BV-1×1+0×(-1)+(-1)X1 所以x= 2y =0. 2-1=0, 时，AP .CMLB,C⊥B .BN⊥CM,BN⊥CN, 2=1,所以点M的坐标为 -2 有最小值，最小值为平] 又'CM∩CV=C1,CMC平面C1MW, CVC平面C,MN, 4.解如图，以D为原 D ∴.BN⊥平面CMN !9.证明如图所示，取 点，DA,DC,DD所 BC的中点O,连 在直线分别为x轴 课时分层检测（六） 接A0. y轴、z轴建立空间直 基础达标练 因为△ABC为正三 角坐标系，设正方体 1.B[AB=(3,0,-2)- 角形，所以AO⊥BC 的棱长为a,则D(0, 3 (9,0,-6),故 因为在正三棱柱 0,0),B(a,a,0),C 选B.」 (0,a,0),A1(a,0, 2.C[l⊥a,v与平面a平行， ABC-A1B,C1中，平 面ABC⊥平面 a),C(0,a,a). ∴.uv,即u·=0, BCCB,所以AO⊥平面BCCB,取 (1)证明设E(0,a,e),则A1它-(-a,a, ∴.1×3+(-3)×(-2)+z×1=0,.2= BC的中点O,连接0O,以O为原点， -9. e-a),又BD=(-a,-a,0),A1E.Bd3.B[建立如图室 OB,OO,OA分别为x轴、y轴、x轴的正 间直角坐标系， 方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0), =0.A1E⊥Bd,即AE⊥BD. 设正方形ABCD D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,5), (2)E为CC1的中点.理由如下： 的边长为1，PA B1(1,2,0).所以AB=(1,2,-V5),BA 假设点E是CC1的中点，则E0,a, =a,则B(1,0, =(-1,2,N5),BD=(-2,1,0).图为AB ·BA=1×(-1)+2X2+(-W3)×3 受)如图，设BD的中点为0，连接OE,! 0.E(1 =0,AB,.BD=1×(-2)+2×1+( 0,P(0,0,a).设F(0,y,0),则BF 0A,则0（号，受0）=（号， 3)X0=0.所以AB1⊥BA,AB⊥BD, 即AB⊥BA1,AB1⊥BD.又因为BA1∩ (-1y,0,P=（1，-@因为BF BD=B,所以AB⊥平面ABD. 能力提升练 =(-a,-a,0),所以Oi.Bd=0,.O正 ⊥PE,即脉.P成=(-)X 十y=0,:1.ABC[以D为原点，以DA,D元，DD为 ⊥BD,即OE⊥BD.易知OA:⊥BD, 方向向量建立空间直角坐标系Dxyz(图 解得y=,即F(0,,0）是AD的中 略)，设AD=2,则有关点及向量的坐标 ∴∠AOE为二面角A1-BD-E的平面 为：A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,2,1),F(1, 点，故品-1故连B] 0,0),G2,0,1),B1(2,2,2),D(0,0,2), D,F-(1,0,-2),B1C=(-2,0,-2), a2 4.A[图为n1·AB=0,n·AC=0,ABn 4一4 T2=0,} AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量，1 FG=(1,0,1),D1E=(2,2,-1),D1A= 又平面a与平面ABC不重合，所以平面a (2,0,-2). ∴.OA⊥O正.则∠AOE=90,.平面 与平面ABC平行，故选A.] 设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z), A,BDL平面EBD,.当点E为CC的中5，B[如图所示，以 点时，满足平面ABD⊥平面EBD D为坐标原点， D 则”：D=0即g-2=0 {n·D1E=0,{2x+2y-x=0, 5.解(1)如图所示，建立空 DA,DC,DD1所 取x=2,则x=2,y=-1,n=(2,-1,2). 间直角坐标系Cxvz 在直线分别为x, 依题意得B(0,1,0), y,之轴，建立空间 D1F.BC=(1,0,-2)·(-2,0,-2)= V(1,0,1),.1B1= 直角坐标系，设正 2≠0，故A不正确：周为之≠号，故PG∥ √/(1-0)2+(0-1)2+(1-0) 方体的棱长为3， DE不成立，故B不正确； =3, 则E(1,0,1),F (2,1,0),A(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3, FG·D1E=(1,0,1)·(2,2,-1)=1≠0， .线段BV的长为√. 0),D(0,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3), 故FG⊥平面ADE不成立，故C不正确； (2)由(1)中建立的坐标系得A1(1,0,2), ∴EF-(1,1,-1),AC=(-3,3,0),A1D BF·n=(-1,-2,0)·(2,-1,2)=0,又 C(0,0,0),B(0,1,2), =(-3,0,-3),BD=(-3,-3,3). BF平面ADE,故BF∥平面AD,E,故 ∴.BA1=(1,-1,2),CB=(0,1,2), D正确.故选ABC. .BA.CB=1X0+(-1)X1+2×2 :EF·AC=0,EF·A1D=0,.EF⊥ =3 AC,EF⊥AD,A错误，B正确；BD 223(-4)迹=（1，-3，-子）d 又BA1=6,CB,1=√5， =-3EF,.BD∥EF,即EF∥BD, .C、D错误，] {a·AC-0, 221 7 课时分层检测（七） 则A(2,0,0),C(0,2,0),C(0,2,4),P(0,t, x-3y-4=0, 3, 基础达标练 2t),t∈[0,2]，Q(2-m,m,0),n∈L0,2], -2.x-y- 42=0, 1.D[法一 连接BD,AC交于点O(图1 3, ∴.PQ=√/(2-m)2+(m-)2+(-21)2 略)，则DO= (2a)2+ v2 32 所以x:y:= 3y:y: 24 2 +6,当且 为所求 2:3:(-4).] 法二如图建立空间直角坐标系， 仅当-m时，Q取最小值子选C] 3.解以D为坐标原 易得C(a,a,0),D1(0, 点，建立如图所示的 5.D[在平面直角坐标 a,2a), D 空间直角坐标系，设 系中，已知A(一1,6) 正方体棱长为2a,则 取a=CD1=(-a,0, B(2,一6)，沿x轴将坐 B(2a,2a,0), 2a), 标平面折成平面角为 D B B1(2a,2a,2a), AC 60的二面角后，作AC E(2a,a,0),G(a, i= 22 Lx轴，交x轴于C 0,0),F(0,2a,a), AC 点，作BDx轴，交x A(2a,0,0). (1)设异面直线B,E与BG所成角为0， 轴于D点，如图所示，则AC=6,CD1 B1E=(0,-a,-2a),BG=(-a,-2a, 3,DBI =6,ACLCD,CDLDB,AC,DB 则点D到直线AC的距离为 BE.BG 的夹角为120°，：AB=AC+CD+DB, 2a2 0),.cos0= √a-(a·w)=√ B EIBGI W5a·√5a 2a.] ..AB =AC2+CD:+DB+2 AC.CD+ 2.C[以D为坐标原点，DA,D,DD,的方！ 2CD·DB+2AC·DB=62+32+62+2 ，即异面直线BE与BG所成角的余弦 2 向分别为x,y,之轴的正方向建立如图所！ X6x6×(-号）=45应=36， 值为号 示的空间直角坐标系， 则C(0,12,0), 即折叠后A,B两点间的距离为3√.故 (2)假设在棱CD上存在点T(0,t,0),t∈ D1(0,0,5). D 选D.] [0,2a],使得AT∥平面B,EF,易得B1E 设B(x,12,0) B(x,12,5) 6.366 [:AP=(-6,0,0),n=(6,3, =(0,-a,-2a),EF=(-2a,a,a),AT= 61 (x>0). (一2a,t,0),设平面B1EF的法向量为ni 设平面A,BCD 4),d= A·n -36 =(xy2》, 的法向量为n n √36+9+16 (BE·n=-ay-2ae=0, (a,b,c), 36V6I EF.n=-2ax+ay+az=0, 由nLBC,n⊥CD, 61 令之=1，则y=一2，x= 2 得n…BC二(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax2.49☑ 17 [设平面ABC的法向量为n= =0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)= ∴n=(--21 -12b+5c=0, (xy,),AB=(2,-2,1),AC-(4,0,6), ∴7·n=a-21=0,解得=号， 所以a=0,b= 2,所以可取n=(0,5, :0即2-2+=0， {n·Ac=, {4x十6x=0, 12). DT=子DC,棱CD上存在点T,满足 令=-2,得x=3,y=2,则n=(3,2, 又B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面 -2) DT=DC,使得AT∥平面BEF A1BCD1的距离为 B1B·n_60 又AD=(-7,-7,7),点D到平面 n 13 4.解(1)证明以D为坐标原点，建立如 因为BC∥平面ABCD,所以BC到· ABC的距离为d=A西：n=49 图所示的空间直角坐标系，由已知得 n 17 B(2,2,0),C1(0,2, 面A,BCD,的距高为器] 2), 3.B [连接DA, 17 E(2,1,0),F(1,0, AC1,则O点在 8.解连接AO,建立 0). 如图所示的空间直角 P(0,0,A),M(2,1 A1C1上，建立如图 D 所示的空间直角坐 坐标系，则A(2,0 2),V(1,0,2),BC 标系，则D(0,0,0), 0),0(0,0,2),C(0 =(-2,0,2),Fp- E A 1 3,0),A0=(-2, (-1,0,A),E C(0,1,1).0 0,2),AC=(-2,3, (1,1,0),M=(-1,-1,0),Np=(-1, 0,入-2). 则D=1,0,1).ò= AO·AC 0), ,∴.O到直线AC 当A=1时，FP=(-1,0,1), AC /13 因为BC=(-2,0,2) 易知DA,为平面 A01·A0 所以BC=2FP,即BC∥FP ABCD的一个法向量，故O点到平面！ 的距离d= (AO)2 又BC与FP无公共点，所以BC∥FP DA1·CO 7 而FPC平面EFPQ,且BC,T平面EFPQ, ABC1D1的距离为d= 故直线BC1∥平面EFPQ. DA 2286 3 (2)假设存在符合题意的入.设平面EFPQ 9.解取CD的中点O,连接OB,(OM,则OB 的法向量为n=(x,y,x), CD,OMCD,又平面MCD平面 则由正n=0,」 RFP.n=0, :4C建立如困所示的空间直角坐标系， BCD,所以M)⊥平面BCD.以O为原点， 分别以直线OC,BO,(OM为x轴、y轴，z 于是可取n=(,一，1).同理可得平面 轴建立空间直角坐标系 PQMN的一个法向量为m=(a-2,2-入，1).： B Oxyz,如图所示。因为 则m·n=(λ-2,2-入，1)·（λ，一入，1）=0,1 △BCD与△MCD都是边长 即λ（λ-2）-λ(2-λ)十1=0， 为2的正三角形，所以OE 解得-1士 =O0M=√5，则0(0,0,0) 2 C(1,0,0),M(0,0,√5)， 故存在=1土 2 ,使平面EFPQ⊥平面： B(0,-3,0),A(0,-3, PQMN. 2√5)，所以BC=(1,√5,0)， 222班级 姓名 得分 课时分层检测（六） 用空间向量研究直线、平面的位置关系 6.设平面a的一个法向量为n1=(1,2,一2)， 0 基础达标练 0 平面3的一个法向量为n2=(-2,-4,), 1.若A(0,2,1),B(3,2,一1)在直线1上，则直线1 若α∥3，则= 的一个方向向量为 ( ):7.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是 A.(-3,0,-6) B.(9,0,-6) 正方形，O是底面中心，AO⊥平面ABCD, C.(-2,0,2) D.(-2,1,3) AB=AA1=√2，如图建系，则平面OCB1的 2.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向： 法向量n= 量为u=(1,-3,),向量v=(3,-2,1)与平面a A2 平行，则之等于 ( ) A.3 B.6 C.-9 D.9 D 3.如图，PA⊥平面ABCD,四边 形ABCD为正方形，E为CD D 的中点，F是AD上一点，当 8.已知空间三点A(-1,1,1),B(0,0,1),C(1, 2,一3)，若直线AB上存在一点M,满足 BFLPEE时，部 ( CM⊥AB,则点M的坐标为 1 :9.如图所示，正三棱柱ABC- A.2 B.1 C.2 D.3 A1B1C1的所有棱长都为 4.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面： 2,D为CC1的中点.求证： a的法向量为n1=(2,-3,1),向量AB=(1,0, AB1⊥平面A1BD. -2),AC=(1,1,1),则 ( A.平面a∥平面ABC B.平面a⊥平面ABC C.平面α、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能 5.如图所示，正方体ABCD D A1B1C1D1中，E,F分别在 A A1D,AC上，且A1E= D 号AD,AF=3AC.则 ) A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 121 班级 姓名 得分 4.如图，在棱长为2的正方体 …0 能力提升练 ABCD-A1B1C1D1中，E, A B 1.(多选)在如图所示的正 F,M,N分别是棱AB, 方体ABCD-A1B1C1D1 AD,A1B1,A1D1的中点， A 中，E,F,G分别是棱 点P,Q分别在棱DD1, D BB1,AD,AA1的中点， G卧 BB1上移动，且DP=BQ=λ(0<A<2) 则下列说法错误的是 (1)当入=1时，证明：直线BC1∥平面EF PQ; A.D1F⊥B1C (2)是否存在入，使平面EFPQ⊥平面 B.FG∥D1E PQMN?若存在，求出实数入的值；若不存 C.FG⊥平面AD1E 在，说明理由. D.BF∥平面AD1E 2.若点A(0,2,8)B(1,-1,8)C(-2,1 君)是平面Q内的三点，设平面。的法向量 a=(x,y,之)，则x:y:之 3.如图，在正方体ABCD D A1B1C1D1中，E,F,G分 A 别是AB,CC1,AD的 中点. G (1)求异面直线B1E与 BG所成角的余弦值； (2)棱CD上是否存在点T,使得AT∥平面 B1EF?请证明你的结论 122