2.4.2 圆的一般方程(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.4.2　圆的一般方程 1.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－2，3），则D，E分别为（　　） A.D＝4，E＝－6 B.D＝－4，E＝－6 C.D＝－4，E＝6 D.D＝4，E＝6 2.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点（1，－1）的圆的方程是（　　） A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D.x2＋y2－4x－6y－4＝0 3.若点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是（　　） A.（－2，＋∞） B.［－2，－］ C.（－2，） D.（－2，2） 4.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（　　） A.点 B.直线 C.线段 D.圆 6.〔多选〕已知圆的方程为x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有（　　） A.关于点（2，0）对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 7.〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　） A.F＝4 B.点（0，1）在圆外 C.圆与y轴相切 D.点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9 8.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m＝　　　　. 9.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为　　　　. 10.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一个圆. （1）求t的取值范围； （2）求该圆的圆心坐标和半径； （3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程. 11.（2025·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　） A.（－∞，－2） B.（－∞，－1） C.（1，＋∞） D.（2，＋∞） 12.已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C.若∠ACB＝，则实数m＝　　　　. 13.已知A（－2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是　　　　. 14.已知圆C经过（0，2），（1，），（，）三点. （1）求圆C的方程； （2）设定点M（－3，4），动点N在圆C上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP（O为坐标原点），求点P的轨迹. 15.已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0，a∈R. （1）当a取何值时，方程表示圆； （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点； （3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2　圆的一般方程 1.A　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－，－），又已知该圆的圆心坐标为（－2，3），∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6. 2.B　依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由于所求圆过点（1，－1），所以1＋1－4－6＋m＝0，解得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.故选B. 3.C　因为点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满足解得－2＜k＜. 4.C　由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（，1），圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2. 5.D　∵圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），∴（1－a）2＋（0－b）2＝1，∴（a－1）2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是圆心为（1，0），半径为1的圆. 6.ABC　x2＋y2－4x－1＝0⇒（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为.选项A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以A正确；选项B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B正确；选项C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C正确；选项D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D不正确.故选A、B、C. 7.ABD　由题知解得D＝－4，E＝8，F＝4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，C错误；因为圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点（2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确. 8.1　解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. 9.x2＋y2＝9　解析：设M（x，y），因为△AOB是直角三角形，所以｜OM｜＝｜AB｜＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求. 10.解：（1）圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2. 由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1. 故t的取值范围是（－，1）. （2）由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为. （3）r＝ ＝≤. 所以r的最大值为，此时t＝， 故此时圆的标准方程为（x－）2＋（y＋）2＝. 11.D　由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）. 12.－3　解析：∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m，∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝.由∠ACB＝可得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝r，解得r＝2，∴＝2，解得m＝－3. 13.3＋　解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心（－，0）位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是（1，0），半径是1.由题意可得｜AB｜＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋. 14.解：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解得 则圆C的方程为x2＋y2＝4. （2）法一（定义法）　设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋（y－4）2＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点不共线.当点P在直线OM上时有或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－，）和点（－，）. 法二（代入法）　如图所示， 设点P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为（，），线段MN的中点坐标为（，）. 由于平行四边形的对角线互相平分，故从而 又点N（x＋3，y－4）在圆x2＋y2＝4上， 故（x＋3）2＋（y－4）2＝4. 当点P在直线OM上时， 有或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆并除去点（－，）和点（－，）. 15.解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，方程为（x－）2＋（y＋）2＝，因为＞0，所以a≠－1时方程表示圆. （2）证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0. 对于a取任何值，上式成立，则有 解得或 所以C过定点A（0，0），B（，－）. （3）由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小， 从而得以AB为直径圆的方程为 （x－）2＋（y＋）2＝， 所以＝，＝，＝， 解得a＝. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $