2.4.1 圆的标准方程(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 1.B　由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 2.A　由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1. 3.B　由圆的标准方程（x－a）2＋（y－1）2＝2a，知圆心为（a，1），则原点与圆心的距离为.∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外. 4.B　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13. 5.C　依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，AB的斜率为－1，线段AB的中点为（3，4），故线段AB的中垂线的方程为y＝x＋1，故圆心C到坐标原点的距离的最小值为＝.故选C. 6.AD　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. 7.AD　根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；当圆心C在直线y＝－x上时，设圆心C的坐标为（a，－a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2＋a）2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半径长为1或5. 8.－4　解析：∵点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝－（y＋2）2＋5.∵y∈[－1，1]，∴当y＝1时，－（y＋2）2＋5有最小值－4. 9.（x－）2＋（y－）2＝ 解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段AB的中点D（，）为圆心，｜AB｜＝＝为半径，故所求圆的标准方程为（x－）2＋（y－）2＝. 10.解：（1）设圆心坐标为（a，b），则圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝5. 因为（0，1），（2，1）是圆上的点， 所以 解得或 因此所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或（x－1）2＋（y－3）2＝5. （2）由题设知｜PA｜＝，｜PB｜＝， ｜PC｜＝5，所以｜PA｜＜｜PB｜＜｜PC｜， 要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，所以圆以｜PB｜为半径， 故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13. 11.B　动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而｜OM｜＝＝1＜2，故点M（，－）在圆内，所以当O，M，P三点共线且M在O，P之间时，｜PM｜最小，即｜PM｜min＝2－｜OM｜＝2－1＝1. 12.ABD　易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确. 13.π　解析：由y＝－得x2＋y2＝4（x≤0，y≤0），所以曲线y＝－（x≤0）的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧长，所以曲线y＝－（x≤0）的长度是×4π＝π. 14.解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为－3. 又点T（－1，1）在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1）， 即3x＋y＋2＝0. （2）由解得点A的坐标为（0，－2）， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0）， 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心. 又r＝｜AM｜＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8. 15.解：（1）由圆经过O（0，0），A（0，2）两点，得圆心在OA的中垂线y＝上， 又圆心C在直线l：y＝x上，联立直线方程有得 即圆心坐标为C（1，），又r2＝｜CO｜2＝4， 故圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－）2＝4. （2）设P（x0，y0），易知x0∈[－1，3]， 则｜PO｜2＋｜PA｜2＝＋＋＋（y0－2）2＝2＋2（y0－）2＋6，（*） 因为点P在圆C上运动，则（x0－1）2＋（y0－）2＝4， 故（*）式可化简为｜PO｜2＋｜PA｜2＝2＋2[4－（x0－1）2]＋6＝4x0＋12， 由x0∈[－1，3]得｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围为[8，24]. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1　圆的标准方程 1.若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的值为（　　） A.－1 B.1 C.0 D.2 2.（2025·汕头月考）若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是（　　） A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1 B.（x－2）2＋（y－1）2＝1 C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1 D.（x＋1）2＋（y－2）2＝1 3.已知圆（x－a）2＋（y－1）2＝2a（0＜a＜1），则原点O在（　　） A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 4.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（　　） A.（x＋2）2＋（y－3）2＝13 B.（x－2）2＋（y＋3）2＝13 C.（x－2）2＋（y＋3）2＝52 D.（x＋2）2＋（y－3）2＝52 5.已知圆C过点A（2，5），B（4，3），则圆心C到坐标原点的距离的最小值为（　　） A.4 B.5 C. D. 6.〔多选〕以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（　　） A.x2＋（y－4）2＝20 B.（x－4）2＋y2＝20 C.x2＋（y－2）2＝20 D.（x－2）2＋y2＝20 7.〔多选〕若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径长可能为（　　） A.1 B.2 C.4 D.5 8.已知点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为　　　　. 9.写出经过A（1，3），B（4，2）两点，且周长最小的圆的标准方程为　　　　. 10.根据下列条件，求圆的标准方程： （1）过点（0，1）和点（2，1），半径为； （2）以P（2，－1）为圆心作一个圆，使得A（3，2），B（5，－3），C（－1，3）三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外. 11.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足｜OP｜＝2，其中O为坐标原点，若M（，－），则｜PM｜的最小值为（　　） A. B.1 C. D.2 12.〔多选〕（2025·珠海月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），则下列说法正确的是（　　） A.无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆Ck的面积均为4π 13.曲线y＝－（x≤0）的长度为　　　　. 14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的标准方程. 15.已知圆心为C的圆经过O（0，0），A（0，2）两点，且圆心C在直线l：y＝x上. （1）求圆C的标准方程； （2）点P在圆C上运动，求｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $