2.3.3 点到直线的距离公式+2.3.4 两条平行直线间的距离 课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 一．选择题 1.点(1,-1)到直线y=1的距离d是(　　) A. B. C.3 D.2 2.到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程为(　　) A.2x+y=0 B.2x+y-2=0 C.2x+y=0或2x+y-2=0 D.2x+y=0或2x+y+2=0 3.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 4.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则直线l1,l2间的距离是(　　) A. B. C.4 D.2 5.过两条直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点,并与原点的距离等于1的直线共有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 6.(多选题)已知两条不重合的直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,且始终保持平行,则l1,l2之间的距离d可能的取值为(　　) A.2 B.2 C.5 D.2 7.已知两条平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是(　　) A.[-11,-1] B.[-11,0] C.[-11,-6)∪(-6,-1] D.[-1,+∞) 8.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 9.已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为(　　) A.2 B. C. D.2 10.(多选题)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0截得的线段长为2,则直线m的倾斜角可能是(　　) A.15° B.30° C.60° D.75° 二．填空题 11.设点P在直线x+3y=0上,且点P到原点的距离与点P到直线x+3y-2=0的距离相等,则点P的坐标是　　　　　　　.  12.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则|AB|的最小值为　　　　　;AB中点到原点距离的最小值为　　　　　.  13.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为　　　　　　　　.  14.已知实数x,y满足3x-4y+2=0,则x2+y2-4x+6y+13的最小值为　　　　　.  三．解答题 15.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)的距离相等的直线l的方程. 16.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,求直线l2的方程. 17.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程. 18.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程. 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 一．选择题 1.答案:D 解析:d==2,故选D. 2.答案:D 解析:根据题意,知所求直线与直线2x+y+1=0平行,故可设所求直线方程为2x+y+C=0(C≠1),因为这两条直线间的距离等于,所以由两条平行直线间的距离公式,得距离d=,解得C=0或C=2, 故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 3.答案:B 解析:由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大,最大值为|AP|=. 4.答案:B 解析:∵l1∥l2,∴解得a=-1. ∴直线l1的方程为x-y+6=0,l2的方程为-3x+3y-2=0,即x-y+=0. 由两条直线间的距离公式得直线l1,l2间的距离是. 5.答案:B 解析:解方程组 即两条直线的交点坐标为(0,1). 由交点到原点的距离为1,可知只有1条直线符合条件. 6答案:ABC 解析:易知两直线之间的距离的最大值为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|==5.故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5],因此d的可能取值为2,2,5,故选ABC. 7.答案:C 解析:y=-2x-k-2可化为2x+y+k+2=0. 由两条平行直线间的距离公式,得,且k+2≠-4,即k≠-6, 得-5≤k+6≤5,即-11≤k≤-1,且k≠-6. 8.答案:BC 解析:先考虑|PM|的最小值,即点M到所给直线的距离d,当d≤4时,直线上存在点P使|PM|=4,此时该直线为“切割型直线”. 对于A,d1==3>4,不符合条件; 对于B,d2=2<4,符合条件; 对于C,d3==4,符合条件; 对于D,d4=>4,不符合条件. 9.答案:B 解析:将(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ变形整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以直线l是经过两直线x+y-2=0和3x+2y-5=0的交点的直线系.设两条直线的交点为Q,解方程组得交点Q(1,1),所以直线l恒过定点Q(1,1),于是点P到直线l的距离d≤|PQ|=,即点P到直线l的距离的最大值为. 10.答案:AD 解析:因为直线l1∥l2,所以直线l1,l2间的距离d=. 如图,设直线m与直线l1,l2分别相交于点B,A,则AB=2. 过点A作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则AC=d=, 则在Rt△ABC中,sin∠ABC=,所以∠ABC=30°.又直线l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.故选AD. 二．填空题 11.答案: 解析:设P(-3a,a), 由题意得, 即10a2=,解得a=±, 即点P的坐标为. 12.答案:　3 解析:|AB|min=; 原点O到直线l1的距离d1=, 原点O到直线l2的距离d2=, 故AB的中点到原点的距离的最小值为=3. 13.答案:x=-3或7x+24y-75=0 解析:当直线l的斜率不存在时,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意; 当直线l的斜率存在时, 设直线l的方程为y-4=k(x+3), 即kx-y+3k+4=0. 则原点到直线l的距离d==3, 解得k=-. 即直线l的方程为7x+24y-75=0. 综上可知,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0. 14.答案:16 解析:由x2+y2-4x+6y+13可得(x-2)2+(y+3)2,可以看作直线3x-4y+2=0上的动点(x,y)与点(2,-3)之间的距离的平方.又因为点(x,y)与点(2,-3)之间的最小距离为点(2,-3)到直线3x-4y+2=0的距离,即=4,故x2+y2-4x+6y+13的最小值为16. 三．解答题 15. 解法一:∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等, ∴直线l的斜率存在,设为k. 又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0. 由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等, 得,解得k=0或k=1. ∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0. 解法二:当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等. ∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2), ∴直线l的方程是x-y+2=0; 当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等. ∵直线AB的斜率为0, ∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2. 综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2. 16. 解:设直线l2的方程为y=-x+b(b>1), 则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b). ∴|AD|=,|BC|=b. 设梯形的高为h,则h即为A点到直线l2的距离. 由点到直线的距离公式,得h=(b>1), 由梯形的面积公式得(b)×=4, ∴b2=9,b=±3.又b>1,∴b=3. 从而得直线l2的方程是x+y-3=0. 17.解:设P(x,y)为角A的平分线上任一点, 则点P到直线AB与到直线AC的距离相等. 由已知条件可得直线AB,AC的方程分别是4x-3y-13=0和3x+4y-16=0, 故由点到直线的距离公式, 有, 即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|, 即4x-3y-13=±(3x+4y-16), 整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0. 易知x-7y+3=0是角A的外角平分线的方程,7x+y-29=0是角A的平分线的方程. 18.解:若截距为0, 可设直线l的方程为y=kx. 由题意知=3,解得k=. 若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0. 由题意知=3, 解得a=1或a=13. 故所求直线l的方程为y=x,y=x,x+y-1=0或x+y-13=0. 学科网（北京）股份有限公司 $