课时分层检测(8) 夹角问题-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（八） 夹角问题 8.如图，已知点P在正方体 0 基础达标练0… ABCD-A'B'C'D'的体对 1.直线11，l2的方向向量分别是1,2，若y1与 角线BD'上，满足BP v2所成的角为0，直线l1,l2所成的角为a,则 =2PD' ( (1)求DP与CC'所成角 A.a=0 B.a=元-0 的余弦值； C.cos 0=cos a D.cos a=cos 0l (2)求DP与平面AA'D'D所成角的正 2.设直线1与平面α相交，且l的方向向量为 弦值. a,a的法向量为n,若a,m)-则1与a所 成的角为 A B. c晋 D.号 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC -2,DD,-是，则AC与BD1所成角的余弦 值是 ( A.0 及0 70 C.270 70 D.7 70 9.如图，D为圆锥的顶点，O是 4.如图所示，过边长为1的正方形 圆锥底面的圆心，AE为底面 ABCD的顶点A作线段EA⊥ 直径，AE=AD.△ABC是底 平面ABCD,若EA=1,则平面 面的内接正三角形，P为DO ADE与平面BCE夹角的大 小是 上点0-9n (1)证明：PA⊥平面PBC; A.120° B.45 C.135° D.60° (2)求二面角B-PC-E的余弦值. 5.如图，在长方体ABCD D A1B1C1D1中，AB=BC= A 2,AA1=1,则BC1与平面 BB1D1D所成角的正弦值 为 6.在空间中，已知平面a过(3,0,0)和(0,4,0) 及之轴上一点(0,0，a)(a>0),如果平面a与 平面Oxy的夹角为45°，则a= 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1 =2,AD=1,E为CC1的中点，则异面直线 BC1与AE所成的角的余弦值为 125 班级 姓名 得分 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 …。能力提升练 0 ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD= 1.如图所示，在空间直角坐 2,BC=2√2，PA=2. 标系中有直三棱柱ABC A1BIC1,CA CC1= A 2CB,则直线BC1与直线 s- A AB1所成角的余弦值为 ( A要 B复 C.26 5 (1)取PC的中点N,求证：DN∥平面PAB; 2.已知正四棱柱ABCD (2)求直线AC与PD所成角的余弦值： D A1B1C1D1中，AA1 (3)在线段PD上，是否存在一点M,使得平 2AB,建立如图所示的空间 面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果 直角坐标系，则平面BDC 存在，求出BM与平面MAC所成角的大小； 的一个法向量是 D 如果不存在，请说明理由. (答案不唯一，写出一个坐 A 标即可)，直线CB1与平面 BDC1所成角的正弦值等于 3.如图为一个半圆柱，E为半圆 弧CD上一点，CD=√5. (1)若AD=2√5，求四棱锥 E-ABCD的体积的最大值； (2)有如下三个条件： ①4DE.DC=EC·DC:②直线AD与BE 所成角的正弦值为号：③A sin∠EBA2 请你从中选择两个作为条件，求直线AD与 平面EAB所成角的余弦值， 126BM=(0,√3,3).设平面MBC的法向量！4，解，(1)存在.如图建 为n=(x,y,2), 立空间直角坐标系 由：成0得{0，取x= D1xyz,则A(1,0,1), B1(1,1,0),B(1,1, {n·BM-0,府{5y+5z=0, 1),设F(0,0,h), √3，可得平面MBC的一个法向量为n=! E(m,1,1),则AB= (√5，-1,1).又BA=(0,0,2√5)，所以所： (0,1,0),B1E=(m 求距离d=BA·nm-2V正 1,0,1),FA=(1,0, n 5 能力提升练 1-h),若B1E⊥平面ABF,则FA·BE 1.D[以D为原点，DA为x轴，DC为y =0,∴h=m,即E,F满足DF=CE时， 轴，DD为x轴，建立空间直角坐标系（图： B,E⊥平面ABF. 略)，则M(2,入，2)，D1(0,0,2),E(2,0,1), (2)由(1)知，B,E⊥平面ABF,则平面 F(2,2,1),ED,=(-2,0,1),EF-(0,2, ABF的一个法向量为B正-（-立，0， 0),EM=(0,A,1). 设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z), 1）.又BB=(0,0,-1),B到平面 则mED=-2x+=0, {n·EF=2y=0, ABF的距离为 BB·BE_25 取x=1,得n=(1,0,2), BE 5 所以点M到平面D1EF的距离为：d= 课时分层检测（八） Ei:n-2=25 基础达标练 n √5 51 因为N为EM的中点，所以N到平面 1D[a=0战a=x-0,且a∈[0，]，因 D,BF的距离为怎，故选D,] 而cosa=cos0.] 2C[线面角的范图是[0，受]：(a,m) 2.11[以D为原点，DA,DC,DD1所在 直线分别为工轴y轴、x轴建立空间直角： 受1与法向量所在直线所成的角为 坐标系（如图），则 2 D(0,0,0),A(2,0, 5,∴1与a所成的角为石] 0),B(2,2,0),C(0, B. A 3.A[建立如图所示的空间直角坐标系，则 2,0),C1(0,2,2√②)， D E(0,2,√2)，DB=(2, 2,0),DE=(0,2N2). 方、 设n=(x,y,z)是平 面BDE的法向量. A 则m·D市=2x+2y=0, {n·DE-2y+√2z=0, 所以∫x=一y, D(0,0,号）B(22,0,A(2.00 {x=-√2y, C0,2,0).所以Bd=（-2,-2,号） 令y=1,则x=一1，之=一√2， .n=(-1,1,一2)为平面BDE的一个1 AC=(-2,2,0)所以cos(BD,AC) 法向量 BD,·AC 又DA=(2,0,0),所以，点A到平面BDE =0,即AC与BD,所成角 BDI·AC 的距离是 的余弦值为0. d=ln·Di -1×2+0+0 :4.B[以A为原，点，分别 /(-1)2+12+(-√2)2 以AB,AD,AE所在直 =1. 线为x轴、y轴、z轴，建 连接AC1,易知AC1∥平面BED,所以点！ 立如图所示的空间直角 C到平面BED的距离也是1.] 坐标系，则E(0,0,1), 3.解以A为原点，AB,AC,AA的方向分 B(1,0,0),C(1,1,0), 别为x轴、y轴、x轴正方向，建立空间直！ EB=(1,0,-1),EC= 角坐标系（图略），则A(0,0,0),A1(0,0, (1,1,-1).设平面BCE的法向量为n (x,y,z), 2),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0), E(0,2,1),F(1,1,0) 则有”…第=x-=0, {n·EC-x+y-z=0, 令x=1,则1 (1)易知A1B=(2,0,-2),E亦=(1，-1， x=1,y=0,则n=(1,0,1)是平面BCE的 -1),.cos 0=cos (A B,EF= 一个法向量.又平面ADE的一个法向量} A B.EF 4 √6 为AB=(1,0,0),所以cos(n,AB〉= AB1E市2E×531 1 √2X1 ，故平面ADE与平面BCE的 (2)设平面AEF的一个法向量为n=(a,· 2 b,c),AE=(0,2,1),AF=(1,1,0), 夹角为45°.] m·AE=0, 5. √10 「如图所 D {n·AF=0, 2060◆a=1, 示，建立空间直角 A b=-1,c=2,n=(1,-1,2),又AB= 坐标系，则A(2, (2,0,2),.点B1到平面AEF的距离为 0,0),B(2,2,0), AB n6. C(0,2,0),C(0, n 2,1),BC= 223 （一2,0,1).连接AC,易证AC⊥平面 BB1DD,∴平面BBDD的一个法向量 为a=AC=(-2,2,0). ∴所求角的正弦值为cos(a,BC)|= a·BC 4=] al BC5 5 [设A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,a) (a>0),则AC=(-3,0,a),AB=(-3,4, 0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则AC:n=0即{3x士a=0取： AB·n=0," 1-3x+4y=0, 1,则x号==(号， 取平面Oxy的一个法向量为m=(0,0, 1),则cos(m,n〉= 0+0牛1L= a2a2 2 V9+i6+1 解得a-器又a>0∴a=是.] √30[以D为坐标 D 1 原点，建系如图，则 A B(1,2,0),C1(0,2 2),A(1,0,0),E(0, 2,1),所以BC A (-1,0,2),AE (-1,2,1).剥0s(BC,A立=，所以 0 异面直线BC1与AE所成的角的余弦值 为 解如图建立空间 直角坐标系，设棱 长为1，则B(1,1, 0),C(0,1,0), D(0,0,0),C(0, 1,1),D(0,0,1), D 则BD=(-1, A -1,1),DB=(1, 1,0),CC=(0,0,1),DC-(0,1,0).BP =2PD,成=号B币-(-号，-号， 2 2 ) °-i+命-11,0)+(-号 号号)=（合子，号）DP与 IDP CC CC'所成的角为0，则c0s0= DP1C亡 2 3 ,.DP与CC'所 114 成角的余弦值为 31 2)由1)知亦-（合，子，号）易证 DC⊥平面AA'D'D,.DC=(0,1,0)为 平面AA'D'D的一个法向量，设DP与 平面AA'D'D所成的角为a, DP.D元 ∴.sina=cos(Dp,DC)l= DPIDCI 1 3 √++ 4 6, .DP与平面AA'DD所成角的正弦值 为 : 9.解(1)证明设DO=a,由题设可得P): -吾A0-9AB=e,PA-PB=PC 24. 因此PA+PB=AB,从而PA⊥PB. 又PA2+PC=AC,故PA⊥PC. 因为PB∩PC=P,PBC平面PBC,PCC 平面PBC, 所以PA⊥平面PBC (2)以O为坐标原 点，OE的方向为y D 轴正方向，OE为 单位长度，建立如 图所示的空间直角 坐标系Oxyz.由题 设可得E(0,1,0), A(0,-1,0), c(÷ r0.号) 所以EC=（- 设m=(x,y,z)是平面PCE的法向量， {m·EC-0, 2 x-2y=0. 可取m(1回 由1)知-(0,1，号） 是平面PCB的： 一个法向量，记n=AP,则cos(n,m》= n·m _25 ·m 所以二面角B-PC-E的余弦值为25 5 能力提升练 1.A[不妨令CB=1,则CA=CC=2,可！ 得B(0,0,1),C(0,2,0),A(2,0,0), B(0,2,1),.BC=(0,2,-1),AB= (-2,2,1),cos(BC,AB)= BC·AB 4-1=1=5 BC AB5X955 “.直线BC与直线AB所成角的余弦值！ 为 2.(-2,2,1) 4w5 15 [不妨设AB=1,则 AA1=2,由题图可知D(0,0,2),C1(0,1, 0),B(1,1,2),C(0,1,2),B(1,1,0),DB =(1,1,0),DC=(0,1,-2),CB1=(1, 0,一2).设平面BDC1的法向量为n=(x, y,2）, 则：丽0辟=0 {n·DC=0, 1y-2x=0, 令=1，则y=2,x=一2. 故平面BDC,的一个法向量为n=(-2, 2,1),设CB,与平面BDC所成角为0， 则sin0 ncB-45.] nCB 15 解(1)在平面CDE内作EF⊥CD于点： F,,平面ABCDL平面CDE,平面ABCD ∩平面CDE=CD,,EF⊥平面ABCD.显 然EF的最大值为 ,∴.四棱锥E-ABCD1 2 的体积的最大值为V:=子×5 3 B x 1 S:号BD三3X号KCDXAD5⑤ 3 则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0), (2)由条件①得4DE·DC-EC·DC,则 D(-1,0,0),P(0,-1,2). 点N为PC的中点， 4DE1·D花1cos∠CDE-|EC1IDC1H .N(0,0,1),∴.DN=(1,0,1) cos∠DCE,4DE.DE=EC·C, CD CD,即 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y, z), 2DE=EC.CE+DE=CD=5,..DE =1,CE=2.由条件②得直线AD与BE! 由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0), 所成角的正弦值为子.：AD∥BC,BCL 可得n=(0,1,0),∴.DN·n=0. 又DN寸平面PAB,.DN∥平面PAB 平面CDE,∴∠CBE为直线AD与BE所 (2)解由(1)知AC=(0,2,0),PD 成的角，即sin∠CBE= 3,tan∠CBE (-1,1,-2). 设直线AC与PD所成的角为0，剥cos0= 2 .由条件③得sin∠EAB_EB! EC AC·PD sin∠EBA EA 2=6 空，则AD+CE 2·√66 EB 3 AC1·Pi AD十DEEA=之，若选条 EC ∴直线AC与PD所成角的余弦值为 件①④，剥DE=1CE=2且后- (3)解存在 ,AD=BC=√5.若远条件①③，则DE= 设M(x,y,z),且PM=λPD,0≤A≤1， 1,CE=2,且 AD2+CE 3 AD2+4 x=-, AD+DE AD2+1 y+1=a, .M(-入，λ-1,2-2λ) -2=-21, =兰，解得AD=后或AD=-厅（合去）， 设平面ACM的法向量为m=(x,y,z), ∴.AD=BC=√5.若选条件②③，则 2 由AC=(0,2,0),AM=(-λ，A,2-2), 5 BC,且AD+CE 利用AC·m=0, EC EC 3 AD2+DE2 =，又CE+ AM·m=0, 即∫2v=0, DE2=CD=5,∴.AD=BC=√5，则DE= -Ax十Ay十(2-2λ)z=0, 1,CE=2.故从条件①②③中任远两个作： 可得平面ACM的一个法向量为m=(2 为条件，都 21,0,λ)，由图知平面ACD的一个法向量 可以得到DE=1,CE= 为n=(0,0,1), 2,AD=BC=√5.下面 ,.cos(m,n〉= 求直线AD与平面 1·√/2十(2-2λ)月 EAB所成角的正弦值， 以A为原点，建立如图 2 所示的空间直角坐标 解得入=号或入=2（合去）. 系，则B(5,0,0),D(0 3 0,(,25=( 25同)i=5,0.0.d=0,0 所以平面ACD的一个法向量为m= W5),设平面EAB的法向量为n=(x,y, z),则n·AE=0,n·AB=0 (号号) +25=0-1，则 (V5 设BM与平面MAC所成的角为g, 即 (5.x=0, 则sin9=cos(BM,m) 12 =0y=-号m=(0,-号设直 9 线AD与平面EAB所成的角为0，则sin0 22×22 2 3 .o=30° cos (n,AD) n·AD 故存在，点M,使得平面MAC与平面ACD InADI 的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成 √5 2√29 的角为30°， 5+1×5 课时分层检测（九） 基础达标练 cos0=√1-sin0-5W2 1.C直线x=1与x轴垂直，故倾斜角 ,故直线AD 29 为90°.] 与年面EAB所成角的余孩值为5 ·2.A[设直线L1,l2,l3的倾斜角分别为a1, a2a,则由图知0°<ag<a2<90°<a1< (1)证明取BC的中点E,连接DE,交 180,..tan a<0,tan a2>tan as>0, AC于，点O,连接ON,建立如图所示的空！ <0,k2>k3>0,故远A.] 间直角坐标系， 3Bk-，解得a=0.] 224