课时分层检测(7) 距离问题-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

7 课时分层检测（七） 则A(2,0,0),C(0,2,0),C(0,2,4),P(0,t, x-3y-4=0, 3, 基础达标练 2t),t∈[0,2]，Q(2-m,m,0),n∈L0,2], -2.x-y- 42=0, 1.D[法一 连接BD,AC交于点O(图1 3, ∴.PQ=√/(2-m)2+(m-)2+(-21)2 略)，则DO= (2a)2+ v2 32 所以x:y:= 3y:y: 24 2 +6,当且 为所求 2:3:(-4).] 法二如图建立空间直角坐标系， 仅当-m时，Q取最小值子选C] 3.解以D为坐标原 易得C(a,a,0),D1(0, 点，建立如图所示的 5.D[在平面直角坐标 a,2a), D 空间直角坐标系，设 系中，已知A(一1,6) 正方体棱长为2a,则 取a=CD1=(-a,0, B(2,一6)，沿x轴将坐 B(2a,2a,0), 2a), 标平面折成平面角为 D B B1(2a,2a,2a), AC 60的二面角后，作AC E(2a,a,0),G(a, i= 22 Lx轴，交x轴于C 0,0),F(0,2a,a), AC 点，作BDx轴，交x A(2a,0,0). (1)设异面直线B,E与BG所成角为0， 轴于D点，如图所示，则AC=6,CD1 B1E=(0,-a,-2a),BG=(-a,-2a, 3,DBI =6,ACLCD,CDLDB,AC,DB 则点D到直线AC的距离为 BE.BG 的夹角为120°，：AB=AC+CD+DB, 2a2 0),.cos0= √a-(a·w)=√ B EIBGI W5a·√5a 2a.] ..AB =AC2+CD:+DB+2 AC.CD+ 2.C[以D为坐标原点，DA,D,DD,的方！ 2CD·DB+2AC·DB=62+32+62+2 ，即异面直线BE与BG所成角的余弦 2 向分别为x,y,之轴的正方向建立如图所！ X6x6×(-号）=45应=36， 值为号 示的空间直角坐标系， 则C(0,12,0), 即折叠后A,B两点间的距离为3√.故 (2)假设在棱CD上存在点T(0,t,0),t∈ D1(0,0,5). D 选D.] [0,2a],使得AT∥平面B,EF,易得B1E 设B(x,12,0) B(x,12,5) 6.366 [:AP=(-6,0,0),n=(6,3, =(0,-a,-2a),EF=(-2a,a,a),AT= 61 (x>0). (一2a,t,0),设平面B1EF的法向量为ni 设平面A,BCD 4),d= A·n -36 =(xy2》, 的法向量为n n √36+9+16 (BE·n=-ay-2ae=0, (a,b,c), 36V6I EF.n=-2ax+ay+az=0, 由nLBC,n⊥CD, 61 令之=1，则y=一2，x= 2 得n…BC二(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax2.49☑ 17 [设平面ABC的法向量为n= =0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)= ∴n=(--21 -12b+5c=0, (xy,),AB=(2,-2,1),AC-(4,0,6), ∴7·n=a-21=0,解得=号， 所以a=0,b= 2,所以可取n=(0,5, :0即2-2+=0， {n·Ac=, {4x十6x=0, 12). DT=子DC,棱CD上存在点T,满足 令=-2,得x=3,y=2,则n=(3,2, 又B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面 -2) DT=DC,使得AT∥平面BEF A1BCD1的距离为 B1B·n_60 又AD=(-7,-7,7),点D到平面 n 13 4.解(1)证明以D为坐标原点，建立如 因为BC∥平面ABCD,所以BC到· ABC的距离为d=A西：n=49 图所示的空间直角坐标系，由已知得 n 17 B(2,2,0),C1(0,2, 面A,BCD,的距高为器] 2), 3.B [连接DA, 17 E(2,1,0),F(1,0, AC1,则O点在 8.解连接AO,建立 0). 如图所示的空间直角 P(0,0,A),M(2,1 A1C1上，建立如图 D 所示的空间直角坐 坐标系，则A(2,0 2),V(1,0,2),BC 标系，则D(0,0,0), 0),0(0,0,2),C(0 =(-2,0,2),Fp- E A 1 3,0),A0=(-2, (-1,0,A),E C(0,1,1).0 0,2),AC=(-2,3, (1,1,0),M=(-1,-1,0),Np=(-1, 0,入-2). 则D=1,0,1).ò= AO·AC 0), ,∴.O到直线AC 当A=1时，FP=(-1,0,1), AC /13 因为BC=(-2,0,2) 易知DA,为平面 A01·A0 所以BC=2FP,即BC∥FP ABCD的一个法向量，故O点到平面！ 的距离d= (AO)2 又BC与FP无公共点，所以BC∥FP DA1·CO 7 而FPC平面EFPQ,且BC,T平面EFPQ, ABC1D1的距离为d= 故直线BC1∥平面EFPQ. DA 2286 3 (2)假设存在符合题意的入.设平面EFPQ 9.解取CD的中点O,连接OB,(OM,则OB 的法向量为n=(x,y,x), CD,OMCD,又平面MCD平面 则由正n=0,」 RFP.n=0, :4C建立如困所示的空间直角坐标系， BCD,所以M)⊥平面BCD.以O为原点， 分别以直线OC,BO,(OM为x轴、y轴，z 于是可取n=(,一，1).同理可得平面 轴建立空间直角坐标系 PQMN的一个法向量为m=(a-2,2-入，1).： B Oxyz,如图所示。因为 则m·n=(λ-2,2-入，1)·（λ，一入，1）=0,1 △BCD与△MCD都是边长 即λ（λ-2）-λ(2-λ)十1=0， 为2的正三角形，所以OE 解得-1士 =O0M=√5，则0(0,0,0) 2 C(1,0,0),M(0,0,√5)， 故存在=1土 2 ,使平面EFPQ⊥平面： B(0,-3,0),A(0,-3, PQMN. 2√5)，所以BC=(1,√5,0)， 222 BM-(0,N尽，√3).设平面MBC的法向量！4.解(1)存在.如图建 （一2,0,1).连接AC,易证AC⊥平面 为n=(x,y,z), 立空间直角坐标系 BB1D1D,.平面BB1D1D的一个法向量 由nE武=0 D1xyz,则A(1,0,1), 得5y0,取x= 为a=AC=(-2,2,0) B1(1,1,0),B(1,1 n·BM=0 1√5y+√3z=0, ∴所求角的正弦值为cos(a,BC)= 1),设F(0,0,h), √3，可得平面MBC的一个法向量为n=1 E(m,1,1),则AB= |a·BC1 4 (5,-1,1).又BA=(0,0,2√5)，所以所： (0,1,0),B1E=(m- lal BC8X5 求距离d=B函·n=?正 1,0,1),FA=(1,0, [设A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,a) 5 6号 能力提升练 1-h),若B,E⊥平面ABF,则FA.B正 =0,∴.h=m,即E,F满足DF=CE时， (a>0),则AC=(-3,0,a),AB=(-3,4, 1.D「以D为原点，DA为x轴，DC为y 轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系（图： BE⊥平面ABF 0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,x), 略)，则M(2,入，2)，D1(0,0,2),E(2,0,1), (2)由(1)知，B1E⊥平面ABF,则平面 剥0即{—48：取 {AB·n=0, F(2,2,1),ED,=(-2,0,1),EF-(0,2, ABF的-个法向量为B1正-(- 2,0, 0),EM=(0,A,1). 1,则x=号y=n=（号， 设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z), 1又BB=(0,0,-1)B到平面 取平面Oxy的一个法向量为m=(0,0, 则n·ED=-2x+2=0, 1),则cos(m,n)- 0+0+1=2 {n·E=2v=0, BB.B它25 2 ABF的距离为 5 取x-1,得n=(1,0,2), BE W9+i6+1 所以点M到平面D1EF的距离为：d= 课时分层检测（八） 解得a=号又a>0a=是] EM·n-2-25 基础达标练 30 n 5 5 「以D为坐标 10 因为N为EM的中点，所以N到平面 D,EF的距离为，故选D] 而cosa=cos0.] 原点，建系如图，则 B(1,2,0),C1(0,2, 2C[线面角的范图是[0，受]：(a,n) 2),A(1,0,0),E(0, 2.11[以D为原点，DA,DC,DD1所在： 直线分别为x轴y轴、之轴建立空间直角： 红，1与法向量所在直线所成的角为！ 2,1),所以BC 3 坐标系（如图），则 (-1,0,2),AE= D(0,0,0),A(2,0, 1与a所成的角为] (-1,2,1).则cos(BC,A2=,所以 0 0),B(2,2,0),C(0, A 3.A [厂建立如图所示的空间直角坐标系，则 异面直线BC1与AE所成的角的余弦值 2,0),C1(0,2,2√2) E(0,2,2),DB-(2, 为」 2,0),DE=(0,2W2. ! 8.解如图建立空间 D 设n=(x,y,z)是平 直角坐标系，设棱 面BDE的法向量， A 长为1，则B(1,1, 则n·D市=2x+2y=0, 0),C(0,1,0), D(0,0,0),C(0, {n·DE=2y+√2z=0, 1,1),D(0,0,1), 所以x=一y, D(0,0.）B(22.0,A20,0 则B币=(-1， 1z=-√2y, C(0,2,0).所以BD= (-2-2,号 -1,1),DB=(1, 令y=1,则x=一1，之=一√2， AC=(-2,2,0)所以cos(BDi,AC)= 1,0),CC=(0,0,1),DC=(0,1,0).BP .n=(-1,1,一√2)为平面BDE的一个1 法向量 BD,·AC =2PD=号d-(-号号， =0,即AC与BD,所成角 又DA=(2,0,0),所以点A到平面BDE BDI·AC 的距离是 的余弦值为0. ) d=n·DA -1×2+0+0 4.B[以A为原，点，分别 n /(-1)2+12+(-2) 以AB,AD,AE所在直 1D-+市-1,10)+(-号 =1. 线为x轴、y轴、x轴，建 连接AC,易知AC1∥平面BED,所以点 立如图所示的空间直角 C1到平面BED的距离也是1.门] 坐标系，则E(0,0,1), 号号)-（分青号）心 DP.CC 3.解以A为原点，AB,AC,AA的方向分 B(1,0,0),C(1,1,0), CC'所成的角为0，则cos0 EB=(1,0,-1),E元= DPICC 别为x轴、y轴、之轴正方向，建立空间直 角坐标系（图略），则A(0,0,0),A1(0,0,1 (1,1,-1).设平面BCE的法向量为n= 2 3 2),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0), (x,y,), 则有n…或=x一=0， ,∴.DP与CC所 √+。+哥 3 E(0,2,1),F(1,1,0) 令x一1，则1 (1)易知A1B=(2,0,-2),E亦=(1，-1， {n·E-x+y-=0, z=1,y=0,则n=(1,0,1)是平面BCE的 -1),.cos 0=cos (A B,EF= 一个法向量.又平面ADE的一个法向量 成角的会孩值为气 A B.EF 4 为AB=(1,0,0),所以cos(n,AB》= 2)由1)知亦-（合子，号）易证 A1BE市2EX53 1 (2)设平面AEF的一个法向量为n=(a, √2×1 ，故平面ADE与平面BCE的 3 DC⊥平面AA'D'D,.DC=(0,1,0)为 平面AA'D'D的一个法向量，设DP与 b,c),AE=(0,2,1),AF=(1,1,0), 夹角为45°.] 平面AA'D'D所成的角为a, 、了a-A五—0，￥52—O、令x1。到 「如图所 D.D元 {n·AF=0,符{a+b=0, ∴sina=-cos(Dp,Dd)l= 示，建立空间直角 A DPIDCI b=-1,c=2,,n=(1,-1,2),又AB= 坐标系，则A(2, (2,0,2),∴.点B1到平面AEF的距离为： 0,0),B(2,2,0), 3 6 AB·n=6. C(0,2,0),C(0, 4 6 2,1),∴BC 9 9 n 223班级 姓名 得分 课时分层检测（七） 距离问题 7.已知点A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7), …0 基础达标练。… D(-5,一4,8)，则点D到平面ABC的距离 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC= 为 a,AA1=2a,则点D1到直线AC的距离为 8.在长方体OABC-O1A1BC1中，OA=2,AB= ( 3,AA1=2,求O1到直线AC的距离. A.3a B.V3a C.22a D.32a 2 2 2.如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A=5, A AB=12,则直线B1C1到 D 平面A1BCD1的距离是 ( A.5 B.8 C. n.号 3.如图，正方体ABCD-A1B1CD1 D 的棱长为1，O是底面 A 9.如图，△BCD与△MCD都是边 A1B1C1D1的中心，则O点 长为2的正三角形，平面MCD 到平面ABC1D1的距离是 ⊥平面BCD,AB⊥平面BCD, ( AB=2√3.求点A到平面MBC A司 B要 c号 n号 的距离 4.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4, AB=BC=2,动点P,Q分别在线段C1D, AC上，则线段PQ长度的最小值是( A.22 B.25 3 D.2 3 5.在平面直角坐标系中，已知A(-1,6),B(2, 一6)，现沿x轴将坐标平面折成平面角为 60°的二面角，则折叠后A,B两点间的距 离为 ( A.2√7 B.√4I C.17 D.3√5 6.已知向量n=(6,3,4)和直线l垂直，点A(2, 0,2)在直线1上，则点P(-4,0,2)到直线1 的距离为 123 班级 姓名 得分 :4.如图，正方体ABCD-A1BCD D …0 能力提升练 的棱长为1， 1.在棱长为2的正方体 D C (1)在BC,DD1上是否分别 ABCD-A1B1C1D1中， M A B 存在点E,F,使B1E⊥平面 E,F分别为棱AA1,BB N ABF,若存在，请证明你的结论，并求出点 的中点，M为棱A1B1上 E,F满足的条件；若不存在，请说明理由. 的一点，且A1M=入(0<入 A (2)若E,F分别是BC,DD1的中点，求B1 <2),设点N为ME的中点，则点N到平面 到平面ABF的距离. D,EF的距离为 A.√3x B竖 2.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD为正方形，AB=2,CC1=2N2,E为 CC1的中点，则点A到平面BED的距离是 ,点C1到平面BED的距离是 3.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB=AC= AA1=2,∠BAC=90°，E,F A 分别为C1C,BC的中点. R (1)求异面直线AB,EF所成角0的余 弦值； (2)求点B1到平面AEF的距离. 124