课时分层检测(3) 空间向量基本定理-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

oAd,d)=E·2a 2 ·a)=0,所以a·b十b·c十c·a=! 32+12+4=-13.] a=6(负值舍去)，AB,=AA+AB, 2 4.90°[由题意，取CD1的中点为M,则 BC=BB+BC,AB1·BC=AA· PC·PD,=(PM+MC)·(PM+ BB+AA·BC+AB·BB1+AB·BC=: MD )=(PM+MC )(PM-MC ) 1+0+0+0=1,又AB=√7，BC PMP-MC:PM-1.PA=2, ,..cos(AB,BC)= AB,·BC ,点P在以A为球心，2为半径的球面上， ABBC ∴.|PMmm=AM-2=3-2=1,.PM= 4 之CD,即PD,1PC,PC与PD的 √7X214 夹角为90°.] 9,解)D应-=(D成+D心=号[（解《迪题可知，D=马主+脑二市 -AD)+(AC-AD)]=(a-e)+( =AD-AB-AA,BD2=(AD- 一c]=安a+之b-e或成-成-市 AB-AA)=AD+AB+AA:-2 AD ·AB-2AD·AA+2AB·AA,=12+ -2+A0-i-a+2b-c, 2+3-2X(1×2+1X3-2×3)×7 C=A-AC=号AB-AC-=号a-b. 15,因此，B1D的长为√15. (2)设正四面体ABCD的棱长为1，即a: (2)由题意知，CD=BA-AA-A成，则 =b=c-1且(a,b〉=(b,c〉=(c,a〉= CD:=(AA-AB):=AA+AB- 音，则=成-又成.贰- 2A·AB=3+2-2X3×2×7=7, 子a+b-2e）(a-20)=÷(a+ab CD,1-√7，又CD·BD=(AA AB)·(AD-AB-AA)=AA·AD -2a·c-2a·b-2b+4b·c)=- 8 AA.AB-AA-AB.AD+AB*+AB DM.CN .AA =AA.AD-AA:-AB.AD+ ..cos(DM,CN)= 8 DMICNI A=1X3×号-32-1×2×号+2 2 CD·BD 异面直线DM与CV所成角的 1 9 cos(CD,Bd)= CDIBD 金弦值为日 -号 3√/105 能力提升练 7X√15 70 1.AB[如图所示， (AA+AD+AB)* 课时分层检测（三） D 基础达标练 =(AA1+AD,+ 1.D [能与p,q构成基底，则与p,q不 DC):-AC:- 共面 3AE:AC·(AE =吃9,6=P29a+2b=2p-4 2 2 -AA)=(AB+ ∴A,B,C都不合题意，因为{a,b,c}为 BC)·AB,=AB· 基底， AB+BC·A店=0：AD与AB的夹角是 ∴.a十2c与p,q不共面，可构成基底.] DC与D六夹角的补角，西DC与D有的2C[:元-a-b且a,b不共线， 夹角为0°，故AD,与A1B的夹角为120°；： ∴a,b,OC共面， 正方体的体积为ABAA1AD.综上 (OC与a,b不能构成一组空间基底.] 可知，AB正确.] !3.B[·四棱锥P-OABC的底面是矩形，！ 2.D「.PD⊥平面ABCD,DAC平面AB- OA=a,O元=b,O币=c,E是PC的中点， CD,DCC平面ABCD,.PD⊥DA,PDI DC,又底面ABCD为正方形，，'.DA ∴B成=B心+Ci=-Oi+2=-a+ DC,PA-DA-DP.DB-DA+DC,..PA ·DB=(DA-DP)·(DA+C)=DA+ 合d-0=-a+(-元+0) DA.D-D.DA-D.心=1，PA= -a-c] √/(DA-DP2=√/DA-2DA.D+DP !4.A[由题意，知d=aa十b十e=a(e1十 =√+4=5，D品=√DA+DC= e:+es)+e+e2-es)+r(e-es +es) =(a+3+y)e1+(a+3-Y)ee+(a-3+y) W√DA2+2DA.D元+D心=√1+=2， eg.又d=e1+2e2+3e,所以 5 cos(PA,Di)=PA·DB 1a十B+y-1, a=2' PA11DB5×V2 a+B-y=2,解得{B=-1,] (a-3+y=3, W1 10 ,异面直线PA与BD所成角的 1Y=-2 :5.A[取(AA,AD,AB}为空间的一个基 余弦值为] 底.根据题意，可得AE·GF-(A1A十 3.-13[图为a十b十c=0,所以(a十b十c)2 =0,所以a+b2+c2十2(a·b+b·c十c A市+D·(GC++B)=（-AM 218 +亦+合)·(--市 )=号-亦-子恋= ×4-1- ×4=0,所以A它和G萨垂直， 即AE⊥GF,故A,E与GF所成角的余弦 值为0. ②③④[空间任意的三个不共面的向量 才可以作为一个基底，故①错误：若a∥b, 则a,b与任意向量都共面，故不能构成空 间的一个基底，故②正确；若BA,BM,BN 不能构成空间的一个基底，则BA,BM, BN共面，，∴.A,B,M,N四点共面，故③正 确；.{a,b,c}是空间的一个基底，∴.a,b 与向量m=a十c一定不共面，∴，{a,b,m} 也是空间的一个基底，故④正确.] ,号(a+b+e）(2)a+b+zc [连接AC,AD(图略). 1)A市-(A花+A）-2(A弦+A市 +A）=(a+b+e). (2)-(花+）-(+ 2Ad+）=a+b+之c] 1 3 [如图所示，连 接PN,AN.MN= M 市+成号耐 A +合+ -号i+之+ B 1 P元z=-号y=,e=是x十 2 1 叶子] 解(1)DB,=DC+CB,=D元+BB, BC=a-b+c. 成-i+A+A正=-a叶名c A亦-A花+B=a+(b+c)=a+2b + (2)DD +DB+CD=DD+(CD+DB) =DD+CB=DD+DA=DAI. 如图，连接DA1,则DA即为所求 D C A B 0.解(1)假设OA,OB,OC共面，则存在实 数m,n,使OA=mOi+nOC,即e1+2e -es =m(-3e +e2 +2es)+n(e +e2 1=-3n十n, e),所以2=m十，方程组无解，所 -1=2m一n, 以OA,OB,OC不共面，因此{OA,OB, (C}可以作为空间的一个基底.令OA= a,OB=b,OC=c, e1+2e:-es=a, 由-3e1+e+2e=b, (e1+e2-e3-c, 1e1=3a-b-5c, 2),A点的坐标为(3，一1,2)，得C1的坐 得e,=a-c,所以Oi=2e-e,+ 标为(0一3,2十1,4一2)=(-3,3,2).] (e=4a-b-7c, 设DE=xCA+yCF(x,y∈R) 3e=2(3a-b-5c)-(a-c)+3(4a-b: 8.-1,-7,-1 [因为C立=CC -7c)=17a-5b-30c=17OA-5OB-: 则c-b=x(a+b)+ya+c Ci+Ai=-C-A花+A市--AM 30OC, (2)假设P,A,B,C四点共面，则存在实！ (+++, -店-亦+号亦=-店-市 数x,y,2,使OP=xOA十yOB+zOC, 且x+y+z=1.由(1)知O币-17OA- x+2y=0, 因此x=一1， 5OB-300C,但17-5-30=-18≠1， 解得x=、1, A--1-j-k. 1y=2. 故P,A,B,C四点不共面 2y=1, 所以G=(-1,-2,-1门 能力提升练 1.ACD [A M=AA+AM=AA+ 从而D正，CA,C市共面，又直线DE不在平！9解起图中的钠离子分成下、中、上三层 面ACF内，因此DE∥平面ACF, 来写它们所在位置的坐标，下层的钠离子 Ai,D市-Di+D亦-AA+A市， (2)证明依题意得BD=b-a,A正=c-a 全部在Oxy平面上，它们所在位置的竖坐 标全是0，所以这五个钠离子所在位置的 AM∥DP,又A1M与D1P无公共点， -b,则BD·AE=(b-a)·(c-a-b)= 坐标分别是(0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)， ,AM∥DP,由线面平行的判定定理可 -b十a=0, (0,1,0), 知，A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面 因此BD⊥AE,从而BD⊥AE (合，宁0）：中层的钠离子所 DPQB,故远ACD.] (3)由AB=√2CE,设a=b=2,则c1 在的平面平行于Oxy平面，与：轴交点的 2.号a+b+c[知图， =√区，假设在线段EO上存在点G,使CG! 竖坐标均为，所以这四个钠高子所在位 ⊥平面BDE,由O,G,E三点共线，设CG Ai+AN=号AB =(1-a0+aCò=之a+2b+(1 里的主标分对是（合0，）(1，合 AC)+分(A+ A)c(0≤A≤1)，由CG⊥平面BDE知CG⊥ DE,而DE=c-b,图此C花·DE= )(1）(0）上层的 11 A)=A峦+司 纳离子所在的平面平行于Oxy平面，与z 2a+2b+(1-a)c]·(c-b)=(1 轴交，点的竖坐标均为1，所以这五个钠离 AB+AC-b+(a+)+(a+e)- -x)c-号沥=2-4以=0，解得1=豆， 子所在位置的坐标分别是(0,0,1)，(1,0， 受a+b+e] 即点G是线段EO的中点时，满足题意，此！ D.1,.0,1(合 号。[设访=a,花-b,市-6，则 时 !10.解(1)由已知，得A(0,0,0),由于点B 3.年 在x轴的正半轴上，AB=4,故B(4,0, (a,b,c}是空间的一个基底，∴a=b= 课时分层检测（四） 0),同理可得D(0,3,0),A(0,0,5),由 !基础达标 于点C在坐标平面Axy内，BC⊥AB, c=aab=a·c=b:c=a.萨；1.A点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐 CD⊥AD,故C(4,3,0),同理可得B(4, 标变为原来的相反数即得A'的坐标为 0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相比，点 -亦-花=合a+b)-,萨. (-2,-3,-4). C的坐标中只有竖坐标不同，CC1= a. 2.A[由空间直角坐标系中点的坐标的定 AA1=5,则C1(4,3,5) =合a+a…b-ac= 义可知点B的坐标为（一1,1，-1）.] (2)由(1)知，C(4,3,0),C1(4,3,5),则 ,3CL由题图知，点P在x轴、y轴、x轴上 √2 a, 的射影分别为P,P。,P?,它们在坐标轴 CC的中点坐标为N(4,3号） 上的坐标分别是号，5,4，故点P的坐标是能力提升练 1.C [由定义可知，对于在x轴上的点(a, .cos〈E,AB》 E萨.AB b,c),有b=c=0,所以在x轴上的点的坐 E市AB aXa 标可记为(a,0,0),故①错误，经验证知⑨ 4.B[由已知a=2AB+AD-3AA ③④正确.] 二异面直线EF与AB所成自 2 DC-DA-3 DD =-DA+2 DC 、 2.(1,1,1) 31 (22,-1 [由题意知p 3DD,.向量a在基底{DA,DC,DD} 为平.] 下的坐标为(-1,2，-3.故选B.] =2a十b-c,则向量p在基底{2a,b,一c} 下的坐标为(1,1,1).设向量p在基底{a 4.解(1)证明设CA=a,CB=b,C己=c, 5.BC[a·b=(1,3,-2)0 十b,a一b,c}下的坐标为(x,y,z),则p= ·(4,0,2)0=(i+3j-2k) 则{a,b,c}构成空间的一个基底.根据题1 x(a十b)+y(a-b)十zc=(x十y)a+(x一 意，a=b=c,且a·b=b·c=c·a ·(4i+2k)=4+2i·k十 y)b十xc.又p=2a十b-c, 12i·j+6j·k-8k·i-4 =0.i-b+之c=-c+b- A =12c0s0,因为0<0<元， x+y=2, 3 1 05 x-y-1,解得x=，y=2,= 2a.:CB.AD-+0. 且0≠受，所以a…b≠0， =一1， -1,∴p在基底{a十b,a-b,c}下的坐标 .CE⊥A'D 故A错误；如图所示，设OB-b,OA-a,则 点A在平面Oy上，点B在之轴上，由图 (2)A--a+e.CE-+e 为（是-门 易知当工=y时，∠AOB取得最小值，即向：3.解如图，过点D作 量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根： -Ea,i-号a心.-(-a DE⊥BC,垂足为E 据“仿射”坐标的定义可得，a十b=(x1, 在Rt△BDC中 y1,21)0+(x2,2,x)0=(x1i十y1j十x1k)1 ∠BDC=90°，∠DCB +(x2i+y2j十2k)=(x1+x2)i+(y1+ =30°，BC=2,得BD y2)j+(x1十2)k=(1十x2,y+y2,x1十日 =1,CD=5,.DE x)0,故C正确；由已知可得三棱锥O ∴cos(AC,CE = a 10 即 ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S= xal 10 -CDsin 30OE-OB-BE-OB- =√3，故D错误.故选 1 BDcos60°=1- 异面直线CE与AC所成角的余弦值： 之，点D的坐标 B、C.] 为 16.(3,2,-1),(-2,4,2)L因为{i,j,k}是1 单位正交基底，根据空间向量坐标的概念！ 5.(1)证明依题意得DE=c-b, 知a=(3,2,-1),b=(-2,4,2).] 4解(1)：正方体ABCD-A1B,CD1的棱 CA=a+b, !7.(-3,3,2)[由中点M的坐标为(0,1， 长为1，根据题意知(DA,DC,DD}为单 219班级 姓名 课时分层检测（三） 0 基础达标练0… 1.已知{a,b,c}是空间的一个基底，则可以与向量 p=a十b,q=a一b构成基底的向量是( A.a B.b C.a+2b D.a+2c 2.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点，且向 量a=OA十OB+OC,向量b=OA+OB-OC, 则与a,b不能构成空间基底的向量是( A.OA B.OB c.oc D.OA或OB 3.如图，四棱锥P-OABC的底 面是矩形，若OA=a,OC=b, OP=c,E是PC的中点，则 A.=ab2 C.BE--a+zb+ze 1 n成-3a-3b 4.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底，若a= e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3, d=e1+2e2十3e3,且d=aa十b+e,则a,B, Y分别为 A-1，- 1 2 5.如图，长方体ABCD- D A1B1C1D1中，AA1=AB =2,AD=1,E,F,G分别 是DC,AB,CC1的中点， D 则异面直线A1E与GF所 成角的余弦值是( A.0 B 3 C.6 D.5 5 得分 空间向量基本定理 6.给出下列命题： ①空间任意三个向量都可以作为一个基底； ②己知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能 构成空间的一个基底； ③A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN 不能构成空间的一个基底，则A,B,M,N 共面； ④已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m= a十c,则{a,b,m}也是空间的一个基底. 其中正确命题的序号为 7.在平行六面体ABCD A'B'C'D'中，AB=a,AD =b,AA=c,P是CA'的 中点，M是CD'的中点，N 是C'D'的中点，Q是CA 上的点，且CQ:QA'=4：1,用基底{a,b,c》 表示下列各向量： (1)AP= ;(2)AM 8.在正四面体PABC中，M是PA上的点，且 PM=2MA,N是BC的中点，若MN=xPA+ yPB十之PC,则x十y十之的值为 9.如图，在平行六面体 D ABCD-A1B1C1D1中， A AB=a,AD=b,AA1= c,E为A1D1的中点，F 为BC1与B1C的交点 (1)用基底{a,b,c}表示向量DB1,BE,AF; (2)化简DD1+DB+CD,并在图中标出化 简结果 5 班级 姓名 10.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底，且Op:4 =2e1-e2+3e3,OA=e1+2e2-e3,OB= 3e1+e2+2e3,OC=e1+ez-e3. (1)能否以{OA,OB,OC}作为空间的一个 基底？若能，试用这一基底表示OP,若不 能，请说明理由. (2)判断P,A,B,C四点是否共面. 5 …0能力提升练 0… 1.（多选)如图所示，在平行 D 六面体ABCD-A1B1C1D 中，点M,P,Q分别为棱 AB,CD,BC的中点，若平 行六面体的各棱长均相 B 等，则 A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D D.AM∥平面D1PQB1 2.在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使 △A1B1C1与△ABC不共面)，连接对应顶 点.设AA1=a,AB=b,AC=c,M是BC1的 中点，N是B1C1的中点，用基底{a,b,c}表 示向量AM+AW的结果为 3.棱长为a的正四面体ABCD中，E,F分别为 棱AD,BC的中点，则异面直线EF与AB 所成角的大小是 ,线段EF的长度 为 116 得分 如图，直三棱柱ABC-A'BC 中，AC=BC=AA',∠ACB A =90°，D,E分别为AB, BB的中点. (1)求证：CE⊥A'D; (2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值. 在四棱锥E-ABCD中， 底面ABCD是正方形， AC与BD交于点O,EC ⊥底面ABCD,F为BE 的中点， (1)求证：DE∥平 面ACF; (2)求证：BD⊥AE; (3)若AB=√2CE,在线段EO上是否存在点 G.使CGL平面BDE?若存在，求出S的 值；若不存在，请说明理由.