3.3.1 抛物线及其标准方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

得(1一k2)x2十2kx-2=0. 由题意，知{1一≠0， {4=4:+8(1-)>0,解得 一√2<k<2且k≠士1. 所以实数k的取值范围为（一√2，一1）U: (-1,1)U(1,√2). (2)设A(x1y),B(x2), 由(1)，得西十西=一 1-,1x2- 2k 2 又直线1恒过，点D(0,一1)， 则①当E1x2<0时，S△AB=S△oAD +S△oBD 1 ②当x1x2>0时， S△aAB=|S△aAD-S△0BD 1 x1-x2 =√2. 所以(x1一x)P=(x1十x2)2-4x1x2= (2√2)2， 即（1- 2k1 十1-女=8，解得=0或 8 2 由(1)，知上述k的值符合题意，所以k=0: 或k=土 2 素养演练·提升技能 1.A[双曲线后一苦-1的渐近线方程是 千士号=0，即3x士4y=0.由点到直线的 距离公式，得点(3,0)到渐近线3.x士4y=0 的距寿为器号北这入灯 2.A[由题意，得PF一PF2|=2PF, =2a,所以PF1=3a,PF,=a.在i △PFF2中，由余弦定理，得 2aX 3a 曲线C的离心率为汽故选A.] 3.ABD[选项A中，因为PF=2PF, |PF1|-1PF2=2a,所以|PF1=4a, PF,=2a, 又因为2c>2a,4a>2a,所以∠PF1Fgi =30°， 所以cos∠PFE:=16e±4c-4a 2X4a×2c 2 解得c=√3a,即e=√3，故A正确； 选项B中，C=二=。=3， a2 a 所以-2 所以之=区，所以渐近线方程为y= 士√厄x,故B正确： 选项C中，由e=√3，得2c=25a,又P℉2i =16a2,PF32+FF32=4a2+4c2,所以 PFP=PFI+FFI,所以∠PFFi =90°，因为AF=c十a=(3+1)a,PF2 =2a,所以|AF≠|PF,所以∠PAF,≠i 45°，所以C不正确： x+2y-2=0, :即时小练 远项D中，联立 得2(2-：1.(1)/ =1, a22a2 (2)×提示由于定点F(1,0)在直线x十 2y)2-y2=2a,所以7y -16y+8-2a21 y一1=0上，所以点P的轨迹不是抛物线. =0, (3)/(4) 所以△=162-4×7×(8-2a2)=32+ !2.D「厂由题意知，动圆的圆心到点A的距离 56a2>0, 与到y轴的距离相等，满足抛物线的定 所以直线x十2y一2=0与双曲线有两个！ 义，故选D. 公共点，所以D正确.故远A、B、D.门 (二) x-y十m=0, - 0， x=一 士1[由 x2、y 2=1, 消去y,得x2 卫焦点到准线 2 2m.x-m2-2=0.则△=4n2+4n2+8= 8n2+8>0. ·即时小练 设A(1y),B(x2y2), :1.B2.y=2 则十2-2m,”十为=五十x4十2m34[椭圆后+兰 =1的右焦点为(2,0)， =4m, 所以线段AB的中点坐标为(m,2m). 所以抛物线y=2px(p>0)的焦点为(2， 0),则p=4. 又，点(m,2n)在x2十y2=5上，所以n2十 !关键能力·合作探究 (2m)2=5,得m=士1.] 题点一 解(1)因为ME-MF,=2<FF,[典例]解 (1)由于焦点在x轴的负半轴 根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以 上，且 F,F2为焦点的双曲线的右支 由题意，得c=√17，MF,一MFg=2a =2,p=4, 2 =2,所以a=1. ∴.抛物线的标准方程为y2=一8x 又2=a2+b,所以17=1十 (2):焦点在y轴正半轴上，且号=1， 则2=16. y .p=2, 所以C的方程为x 6-1(x≥1). ∴，抛物线的标准方程为x=4y (3)由题意，抛物线方程可设为 ,A(x1y1),B(x2,y2), y2=m.x(m≠0)或x2=ny(n≠0)， 将点A(2,3)的坐标代入， 直线AB的方程为y=-一）十4， 得32=m·2或22=n·3, 将此方程代入x一 ∴.m =1,得(k2-16)x 9 +(24-)x+子e-+f+16=0, “所求抛物线的标准方程为广=是x或 x2=3 4 k2-2kt 所以x1十xk2-16 (④)由焦点到准线的距高为。 1k2-k++16 4 ① k-16 可知= 设P(x,y),Q(x,y),直线PQ的方程 ∴.所求抛物线的标准方程为y=5.x或 y2=-5.x或x2-5y或x2=-5y. 为y=k(一】 十t,将此方程代入x2对点训练 1.B[因为抛物线的焦点为F(a,0)(a =1,得(：-16)2+(21-)z 2 0), +-++16=0. 所以可设抛物线的标准方程为y=一2p江 (p>0). k'2-2k1 所以西十x一k2一16 由题意知，一=a,故p=一2a. 2 所以抛物线的标准方程为y一4a.x,故 1k-kt+P+16 远B. 3=- k2-16 .② 2.A[由双曲线的离心率为2知，e= 由TA·|TB=TP·TQ1, =2, 得1+)（西）(） =(1+ ∴.c=2a,从而a十b2=4a2,即=3a2, 因此，双曲线的渐近线方程为y=士 )·(3）(-) =士√3x,易知抛物线C2的焦点为0， 0 )依题意，得 2 =2,解得p=8 √/3+1 ③ (负值舍去)，∴，抛物线C2的方程为x2= 将①②代入③并整理，得k=k2 16y.故选A.] 因为k≠k'≠0，所以k十k'=0. :题点二 3.3.1抛物线及其标准方程 1角度1 [典例](1)A(2)(6,9)或（一6,9） 必备知识·自主梳理 [(1)由题意，知抛物线的准线方程为x 距离相等焦点准线 213 因为AF=号，根据抛物线的定义，得； 而-，所以=1,2p=2, 程为x=3,由题意知3一x一9，即x=一6. 代入y2=-12x,得y=72,即y= +=AF=子 故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0). 士6√2 !题点三 所以x。=1,故远A. 「典例门解(1) 因此P(-6,6√2)或P(-6,-6√2).] (2)设点P(x,%), 以顶点为原，点 5.解(1)如图， 由抛物线方程x2-4y, 焦点所在直线为 以经过点B且 知焦点坐标为(0,1)， x轴，建立平面 垂直于1（垂足 准线方程为y一一1. 直角 坐 为K)的直线为 2 由抛物线的定义，得 系Oxy, y轴，线段BK PF=%+1=10, 设抛物线的方程 的中点O为原 所以%=9， 为y=2px(p>0),代入点(0.5,2.4)， 点，建立平面直角坐标系Oxy,则B(0, 代入抛物线方程得x0=士6. 得2.4=2p·0.5, 2),A(2,4) .P点坐标为（士6,9）.] 解得p=5.76, 因为曲线形公路PQ上任意一，点到B地 角度2 即抛物线的方程为y一11.52x,焦，点为 的距离等于到高铁线I的距离，所以PQ 工典例]解法一（直接法） 设点P的 (2.88,0). 所在的曲线是以B(0,2)为焦点，1为准线 (2)设抛物线的方程为y=2nx(n>0), 的抛物线 坐标为(x,y),则有√/(x一1)2十y=x +1. 代入点(0.5,2.6)，得2.62=2m·0.5, 设抛物线方程为x2=2py(p>0),则 D=4, 两边平方并化简，得y2=2.x十2x. 解得m=6.76, y={4x(x≥0， 即抛物线的方程为y2=13.52x,焦点为 故曲线形公路PQ所在曲线的方程为 0(x0), (3.38,0) x2=8y ∴.动，点P的轨迹方程为y=4x(x≥0)或 ·对点训练 (2)要使架设电路所用电线长度最短， y=0(x0). 解以拱顶O为原点，拱高OD所在直线 即MA十MB值最小. 法二（定义法）由题意，动点P到定点 为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 如图所示，过M作MH⊥l,垂足为H, F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于 设抛物线方程为x2=-2pv(>0)》 依题意，得MB=MH, 点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0 .AB是OD的4倍 所以|MA+MB=MA+MH,故 时，直线y=0上的点都符合题意； 点B的坐标为 当A,M,H三，点共线时，MA十MH取 当x≥0时，题中条件等于点P到，点F(1, 得最小值，即MA十MB取得最小值， 0)的距离与到直线x=一1的距离相等， 故，点P的轨迹是以F为焦点，直线x= 此时M(2,）故变电房M建在A地正 一1为准线的抛物线，轨迹方程为y2=4x, 由点B在抛物线上，得 -2p 7 km时，所用电线 故所求动点P的轨迹方程为y=4x(x≥ 南方向且与A地相距 0)或y=0(x0) 长度最短，最短长度为6km 角度3 「典例]解(1)如图，易 兰心抛物线方程为2=一ay 3.3.2 抛物线的简单几何性质 .= 知抛物线的焦点为 设点E(0.8,yo)为抛物线上一点， 必备知识·自主梳理 F(1,0),准线为x=一1， (一) 由抛物线的定义知：点P 代入方程x2=一ay,得0.82=-aw, 到直线x= 一1的距离等 0(0,0)y=0x=0 F(-o) 于点P到焦点F的距离 %=-0.64 a 于是，问题转化为：在曲 e=1 线上求一点P,使点P到点A(一1,1)的 ·点E到拱底AB的距高h=号 F0,- ) x≥0，y∈Rx≤0， 距离与点P到F(1,0)的距离之和最小 a0.64 y∈Ry≥0，x∈R y0,x∈R向右 显然，连接AF与抛物线的交点即为所求 4 a 向左向上向下 点P,故最小值为√2十1=√5 令>3，则号0643，解得>6+2V2四即时小练 (2)易知B在抛物线 1.(1)/(2)/(3)/(4) 内部.如图，过点B作 7B3.2) 或46-2四（舍去】 2.D[:抛物线x2=2py(p>0)的准线经 BQ垂直准线于，点Q 5 ,a的最小整数值为13. 过点(-1，-1)，-=-1，即p=2, 交抛物线于，点P1 此时， 素养演练·提升技能 ∴.抛物线的焦点坐标为(0,1).门 P,Q=PF1,那 1.C[根据抛物线的定义及题意，得点A到！3.2√巨[双曲线x-y=1的左焦点为 么PB|+|PF≥ C的准线x= P B+PQ=BQ=4, 台的距高为12，周为点A (-区，0)，所以-=-2，故力=22] 即最小值为4. +9=12,解得，（二） 对点训练 到y轴的距离为9，所以号 相离相切相交 1.C「由题意知，抛物线v2=8x的焦点为 p=6.故远C.] 即时小练 F(2,0),点P到准线x=一2的距离为d十 2.C [抛物线y=x的准线方程为x= 1.D[当直线l与y轴平行或重合时，直线 1,于是PF=d+1,所以d+PA= ,由抛物线定义，知AF|十BF= l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交 |PF一1+PA的最小值为AF一1=· 4 点，此时直线1与抛物线是相交的，当直线 4-1=3.故远C.] A十十号=3，A十xB= 5 l的斜率存在，且直线1与抛物线x2=2py 2.解由于位于y轴右侧的动点M到 ∴线段AB的中点到y轴的距离为 (p>0)只有一个交点时，直线1与抛物线 F(，0)的距高比它到y轴的距离 相切.故选D.] 2 大立 3.D[.a>0,.y2=ax的准线方程为x= 2.C[抛物线x=8,即y=8工，可得2p 日，因此通径长为令故选C] 所以动点M到F(,0)的距离与它到 4 圆的方程可化为(x一3)”十y2=16. :3.16[由抛物线y=8.x的焦点坐标为(2， 直线14=一之的距高相等 由直线与圆相切，得3十号=4，解得a= 0),得直线的方程为y=x一2，代入y= 8.x,得(x-2)2=8x,即x2一12x十4=0. 由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F 4.故远D.] 为焦点，1为准线的抛物线（不包含原点)，4.(-6,6②)或(-6，-62)[设所求点 设弦的两端点的坐标为（，y),(, y2),所以x1十x2=12,弦长为x1十x2十p 其方程应为y=2px(p>0)的形式， 为P(x,y),抛物线y2=一12x的准线方 =12+4=16.] 214第三章圆锥曲线的方程 5.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-√/17， 课堂小结 0),F2(√17,0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2. 记M的轨迹为C. 重要思想与方法 (1)求C的方程. (1)确定双曲线几何性质的基本步骤 (2)设点T在直线x=?上，过T的两条直线分别 ①把双曲线方程化为标准形式；②确定焦点位置：③求a,b, c;④写出几何性质 交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|·TB引= (2)求双曲线离心率及范围的方法 |TP|·|TQI,求直线AB的斜率与直线PQ的斜 ①直接法；②方程法 率之和。 直线与双曲线 范围 的位置关系 对称性 顶点 实轴、虚轴 双曲线的简 渐近线 单几何性质 离心率e>1 温馨提示 请做课时分层检测（二十五） 3.3.1 抛物线及其标准方程 【课标要求】1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程.2.明确抛物线方程中参数p的几何意义， 3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题 【素养要求】通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)抛物线的定义 (4)抛物线准线与坐标轴的交点和抛物线的焦 平面内与一个定点F和一条定直线(1不经过： 点关于原点对称 () 点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F 2.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 叫做抛物线的 ,直线1叫做抛物线的 ( A.圆 B.椭圆 即时小练 C.直线 D.抛物线 1.判断正误 (二)抛物线的标准方程 (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x=一2的： 抛物线的标准方程有以下四种不同的形式 距离相等，则点P的轨迹是抛物线 ( (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+ 标准 y=2pa(p>0) y2=-2px(>0)x2=2py(p>0 =-2py(p>0 方程 y一1=0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线」 ( (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x= 图形 2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线， 97 数学 选择性必修第一册 即时小练 焦点 坐标 (÷ (台) 1.抛物线x2=一2y的焦点坐标是 A(0,) B(0,-) 准线 y多 C.(1,0) D.(-1,0) 方程 2.抛物线y=一 2的准线方程为 D的几 3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆足 的距离 何意义 y2 =1的右焦点重合，则p的值为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一 求抛物线的标准方程 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定 [典例们 分别求满足下列条件的抛物线的标准 抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方 方程 程，求出饣值即可.若抛物线的焦点位置不确 (1)焦点为(-2,0)： 定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线 (2)准线为y=-1; 方程可设为y2=a.x(a≠0)，焦点在y轴上的 (3)过点A(2,3); 抛物线方程可设为x2=ay(a≠0)， (4)焦点到准线的距离为 2 对点训练 [听课记录] 1.已知抛物线的焦点为F(a,0)(a<0),则抛物线 的标准方程是 ( ) A.y2=2ax B.y2=4ax C.y2=-2a.x D.y2=-4a.x y2 2.已知双曲线C:2行 =1(a>0,b>0)的离心 率为2，若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到 双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2 的方程是 ( A.x2=16y B.x2=8y C.x2=83 D.x2=163 33 题点二 抛物线定义的应用 角度1焦半径公式及其应用 [典例](1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F, Ax06)是C上一点，AF=是，则 等于 ( A.1 B.2 C.4 D.8 98 第三章圆锥曲线的方程 (2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是： /方法技巧/ 10,则P点的坐标为 解决有关抛物线的轨迹问题的方法 [听课记录] 求解有关抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法 直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物 线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到 定点的距离等于动点到定直线的距离这个条 件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到 满足抛物线定义的条件。 角度3最值问题 :[典例]设点P是抛物线y2=4x上的一个 动点。 (1)求点P到A(一1,1)的距离与点P到直线 x=一1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2),求|PB+|PF|的最小值. /方法技巧/ [听课记录] 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点 的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线 定义可以实现点点距离与点线距离的相互转 化，从而简化某些问题。 角度2与抛物线有关的轨迹问题 [典例]平面上一动点P到定点F(1,0)的距离： 比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹 方程， [听课记录] /方法技巧/ 最值问题的处理方法 解决与抛物线上的点到定点、定直线的距离有 关的最值问题时，常利用抛物线定义，将抛物 线上的点到抛物线的焦点的距离和到准线的 距离相互转化.即化折线为直线解决问题. 99 数学选择性必修第一册 [听课记录] 对点训练 1.设点A的坐标为(1，√15)，点P在抛物线y2= 8x上移动，P到直线x=一1的距离为d,则 d+|PA的最小值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 2.若位于y轴右侧的动点M到F(?,0)的距离 比它到y轴的距离大).求点M的轨迹方程。 /方法技巧/ 求解抛物线实际应用题的步骤 建系 建立适当的坐标系 假设 设出合适的抛物线标准方程 计算 通过计算求出抛物线标准方程 求解 求出所要求的量 还原 还原到实际问题中，从而解决实际问题 对点训练 一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通 过断面为抛物线形的隧道，如图 题点三抛物线的实际应用 所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍. 若拱口宽为am,求能使卡车通过的a的最小 [典例]一种卫星接收天线的轴截面如图所示， 整数值. 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线 的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天 线的口径（直径）为4.8m,深度为0.5m. (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程 和焦点坐标」 (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的 口径增大为5.2m,求此时卫星波束反射聚集 点的坐标 100 第三章圆锥曲线的方程 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点： (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置 A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9， (方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长 则= 度最短？并求出最短长度 ( A.2 B.3 C.6 D.9 2.已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物： 线上的两点，|AF|十|BF|=3,则线段AB的： 中点到y轴的距离为 ( B.1 c D. 4 3.已知抛物线y2=a.x(a>0)的准线与圆x2十y2 一6x一7=0相切，则a的值为 A. B.1 C.2 D.4 4.在抛物线y2=一12x上，与焦点的距离等于9 课堂小结 的点的坐标是 5.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距 重要思想与方法 (1)应用抛物线的定义时要抓住动点到定点与定直线的距 2√2km处，B地与东西走向的高铁线（近似看 离相等 成直线)l相距4km.已知曲线形公路PQ上任： (2)抛物线的标准方程只有一个参数，求其方程，只需求 意一点到B地的距离等于到高铁线1的距离， 出p的值，常用待定系数法，首先确定焦点位置与开口方 现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公 向，如果开口方向不确定，可设为y2=a.x(a≠0)或者x2= αy;当抛物线不在标准位置时，用定义来求， 路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地 送电 焦点 抛 义 北 准线 Q ,东 物 线 标准方程 实际应用 --l (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路 温馨提示 请做课时分层检测（二十六） PQ所在曲线的轨迹方程； 101