课后分层练(三十五)　抛物线及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十五)]　抛物线及其标准方程 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．抛物线y＝8x2的焦点到准线的距离是(　　 ) A． B． C．2 D．4 解析：选B．抛物线y＝8x2的标准方程为x2＝y，所以2p＝，所以焦点到准线的距离p＝. 2．已知抛物线x2＝8y上一点P到x轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　 ) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C．点P到x轴的距离是6，故点P的纵坐标为6. 再由抛物线x2＝8y的准线为y＝－2， 结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离， 故点P到该抛物线焦点的距离是6－(－2)＝8. 3．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　 ) A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x 解析：选AC．若抛物线的焦点在x轴上， 因为抛物线经过点P(4，－2)， 可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x. 若抛物线的焦点在y轴上，因为抛物线经过点P(4，－2)， 可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4， 所以抛物线的方程为x2＝－8y. 4．(易错题)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　 ) A．2 B．3 C． D． 解析：选A． 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线， 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2. 5．(建筑艺术)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　 ) A．(0，－) B．(0，－1) C．(0，－) D．(0，－) 解析：选A．因为点A(2，－2)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，所以－2＝a×22，所以a＝－， 所以y＝－x2，即x2＝－2y， 故2p＝2，＝，且抛物线开口向下，所以该抛物线的焦点坐标是(0，－). 6．(多选)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点(6，m)到焦点的距离为m，则(　　 ) A．p＝12 B．p＝24 C．m＝12 D．p＝2m 解析：选AC．由抛物线y2＝2px(p>0)，可得其准线方程为x＝－， 因为点(6，m)到焦点的距离为m，根据抛物线的定义，可得6＋＝m，又由点(6，m)是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，可得12p＝m2， 联立方程组解得p＝m＝12. 7．(2023·新高考Ⅰ卷改编)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W，则W的方程为________． 解析：设P(x，y)，则|y|＝，两边同时平方化简得y＝x2＋， 故W：y＝x2＋. 答案：y＝x2＋ 8．根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解：(1)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝－12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF|＝. 又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， ∴抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 9．花坛水池中央有一喷泉，水管|O′P|＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m) 解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 依题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝，故得抛物线方程为x2＝－y. 设点A(x，－2)在抛物线上，代入抛物线方程得x＝，则|O′A|＝(＋1)m， 因此，所求水池的直径至少为2(1＋)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m. 【综合运用】 10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|等于(　　 ) A． B． C．3 D．2 解析：选C．过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图． ∵＝4，∴|PQ|∶|PF|＝3∶4， 又焦点F到准线l的距离为4， ∴|QF|＝|QQ′|＝3. 11．(节能减排)为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　 ) A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m 解析：选B．如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系， 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，故焦点坐标是F(0，1)， 所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m. 12．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则(　　 ) A．△PQF为等边三角形 B．|PQ|＝4 C．S△PQF＝4 D．xP＝4 解析：选ABC．如图，因为PQ∥x轴，所以∠QPF＝∠PFx＝60°， 由抛物线定义知|PQ|＝|PF|， 所以△PQF为等边三角形． 因为F(1，0)，过F作FM⊥PQ，垂足为M. 所以xM＝1，所以|MQ|＝2. 所以|PQ|＝4，所以S△PQF＝×2×4＝4，xP＝3. 13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1，0). 由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3， ||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6. 答案：6 14．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d， 于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值． 如图，连接AF，交抛物线于点P， 此时|PA|＋d最小，最小值为＝. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2， 因为2>2，所以点B在抛物线内部． 如图，过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1. 由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. 【创新探索】 15．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0).观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器． (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 解：(1)设曲线方程为y＝ax2＋，由题意可知，0＝64a＋，所以a＝－，所以曲线方程为y＝－x2＋. (2)设变轨点为C(x，y)， 联立得4y2－7y－36＝0. 所以y＝4或y＝－(不合题意，舍去). 由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去). 所以C点的坐标为(6，4)，此时|AC|＝2，|BC|＝4. 故当观测点A，B测得AC，BC距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令． 学科网（北京）股份有限公司 $