3.3.1 抛物线及其标准方程(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.3.1　抛物线及其标准方程 1.过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（　　） A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 2.抛物线y＝－x2的准线方程为（　　） A.x＝ B.x＝1 C.y＝1 D.y＝2 3.准线与x轴垂直，且经过点（1，－）的抛物线的标准方程是（　　） A.y2＝－2x B.y2＝2x C.x2＝2y D.x2＝－2y 4.若抛物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝（　　） A. B. C.1 D.2 5.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　） A.2 B.3 C. D. 6.〔多选〕已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，｜AF｜＝2，则下列说法正确的是（　　） A.焦点F（1，0） B.准线方程为y＝－1 C.点A（1，2）或A（1，－2） D.焦点到准线的距离为4 7.〔多选〕经过点P（4，－2）的抛物线的标准方程为（　　） A.y2＝x B.x2＝8y C.x2＝－8y D.y2＝－8x 8.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么｜PF｜＝　　　　. 9.平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，则动点P的轨迹方程为　　　　. 10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程： （1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； （2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜＝5. 11.若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标为（　　） A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 12.〔多选〕设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　） A.抛物线的准线方程是x＝－1 B.当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值 C.若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 D.以线段PF为直径的圆与y轴相切 13.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为　　　　cm（碗体和碗盖的厚度忽略不计）. 14.（2025·青岛月考）如图所示，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. （1）求抛物线的方程； （2）过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标. 15.已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点. （1）求｜AM｜＋｜AN｜的值； （2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 1.D　由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义. 2.C　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1. 3.B　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0），则（－）2＝m，解得m＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x. 4.D　抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离为y0＋4，所以y0＋4＝3y0，解得y0＝2. 5.A　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2. 6.AC　由y2＝4x可知2p＝4，即p＝2，所以抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；由抛物线定义可知｜AF｜＝xA－（－1）＝2，即xA＝1，代入抛物线方程可得＝4，即yA＝±2，所以点A（1，2）或A（1，－2），故C正确；由抛物线方程可知，焦点到准线的距离为p＝2，故D错误，故选A、C. 7.AC　若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以（－2）2＝4m，解得m＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny（n≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以42＝－2n，解得n＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故选A、C. 8.8　解析：如图，设准线l与x轴交于点E，∠AFE＝60°，因为F（2，0），所以E（－2，0），则＝tan 60°，即｜AE｜＝4，所以点P的坐标为（6，4），故｜PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8. 9.y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0） 解析：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）. 10.解：（1）双曲线方程可化为－＝1，左顶点为（－3，0）， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0）且＝－3， ∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. （2）设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3）， 由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋. 又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 11.B　由抛物线方程y2＝2x可知，＝，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即｜AF｜＝x1＋＝x1＋，同理｜BF｜＝x2＋＝x2＋.故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得＝2.故线段AB的中点的横坐标是2. 12.ACD　对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0≥0，＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝，故C正确；对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D. 13.7　解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py（p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm，则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，得42＝4（h－3），解得h＝7. 14.解：（1）抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－， 于是4＋＝5，p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. （2）由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）. 又F（1，0），所以kAF＝， 则直线FA的方程为y＝（x－1）. 因为MN⊥FA，所以kMN＝－， 则直线MN的方程为y＝－x＋2. 解方程组 得所以N. 15.解：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a. 又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16， 将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0， ∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8. （2）不存在.理由如下： 假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'（图略）. ∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜. 由抛物线的定义知点P必在抛物线上， 这与点P是线段MN的中点矛盾， ∴这样的a不存在. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $